Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Построение огибающей семейства кривых.

В геометрии , огибающей планарного семейства кривых является кривой , которая является касательной к каждому члену семьи в какой - то момент, и эти точки касания вместе образуют весь конверт. Классически точку на огибающей можно рассматривать как пересечение двух « бесконечно близких » кривых, что означает предел пересечений соседних кривых. Эту идею можно обобщить на оболочку поверхностей в космосе и так далее на более высокие измерения.

Чтобы иметь огибающую, необходимо, чтобы отдельные члены семейства кривых были дифференцируемыми кривыми, поскольку в противном случае концепция касания не применяется, и должен быть плавный переход, проходящий через элементы. Но этих условий недостаточно - у данной семьи может не быть конверта. Простой пример этого - семейство концентрических кругов расширяющегося радиуса.

Огибающая семейства кривых [ править ]

Пусть каждая кривая C t в семействе задана как решение уравнения f t ( xy ) = 0 (см. Неявную кривую ), где t - параметр. Запишем F ( txy ) = f t ( xy ) и предположим, что F дифференцируема.

Оболочка семейства C t определяется как множество точек ( x , y ), для которых одновременно

при некотором значении т , где является частной производной от F по отношению к т . [1]

Если t и u , tu - два значения параметра, то пересечение кривых C t и C u определяется выражением

или, что то же самое,

Устремление ut дает определение выше.

Важный частный случай - это когда F ( txy ) - многочлен от t . Это включает, очищая знаменатели , случай, когда F ( txy ) - рациональная функция от t . В этом случае определение составляет т является двойным корнем из F ( тху ), так что уравнение огибающего можно найти путем установки дискриминанта из F до 0 (потому что определение требует F = 0 при некотором t и первой производной = 0, т. е. его значение 0 и это min / max при этом t).

Например, пусть C t будет линией, точки пересечения x и y которой равны t и 11− t , это показано на анимации выше. Уравнение C t имеет вид

или, очищая фракции,

Уравнение конверта тогда

Часто, когда F не является рациональной функцией параметра, его можно свести к этому случаю соответствующей заменой. Например, если семейство задается C θ с уравнением вида u ( xy ) cos θ + v ( xy ) sin θ = w ( xy ), то полагая t = e i θ , cos θ = ( t + 1 / t ) / 2, sin θ = ( t -1 / t ) / 2 i меняет уравнение кривой на

или же

Уравнение огибающей затем задается установкой дискриминанта на 0:

или же

Альтернативные определения [ править ]

  1. Огибающая E 1 - это предел пересечений ближайших кривых C t .
  2. Огибающая E 2 является кривой, касательной ко всем C t .
  3. Огибающая E 3 является границей области, заполненной кривыми C t .

Затем , и , где - набор точек, определенных в начале родительского раздела этого подраздела.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Эти определения E 1 , E 2 и E 3 конверта могут быть разными наборами. Рассмотрим, например, кривую y = x 3, параметризованную γ: RR 2, где γ ( t ) = ( t , t 3 ) . Однопараметрическое семейство кривых будет задано касательными к γ.

Сначала вычисляем дискриминант . Производящая функция

Вычисление частной производной F t = 6 t ( x - t ) . Отсюда следует, что либо x = t, либо t = 0 . Сначала предположим, что x = t и t ≠ 0 . Подставляя в F: и так, предполагая, что t ≠ 0, следует, что F = F t = 0 тогда и только тогда, когда ( x , y ) = ( t , t 3 ) . Далее, полагая t= 0 и замена в F дает F (0, ( x , y )) = - y . Итак, предполагая t = 0 , следует, что F = F t = 0 тогда и только тогда, когда y = 0 . Таким образом, дискриминант - это исходная кривая и касательная к ней в точке γ (0):

Затем мы вычисляем E 1 . Одна кривая задается F ( t , ( x , y )) = 0, а ближайшая кривая задается F ( t + ε, ( x , y )), где ε - некоторое очень маленькое число. Точка пересечения получается из рассмотрения предела F ( t , ( x , y )) =  F ( t + ε, ( x , y )), когда ε стремится к нулю. Обратите внимание, что F ( t , ( x ,y )) =  F ( t + ε, ( x , y )) тогда и только тогда, когда

Если t ≠ 0, то L имеет только один множитель ε. Если предположить, что t ≠ 0, то пересечение задается формулой

Поскольку t ≠ 0, то x = t . Значение y вычисляется, зная, что эта точка должна лежать на касательной к исходной кривой γ: что F ( t , ( x , y )) = 0 . Подстановка и решение дают y = t 3 . При т = 0 , L делится на е 2 . Если предположить, что t = 0, то пересечение задается формулой

Отсюда следует, что x = 0 , и зная, что F ( t , ( x , y )) = 0, получаем y = 0 . Следует, что

Затем мы вычисляем E 2 . Сама кривая - это кривая, касательная ко всем своим касательным линиям. Следует, что

Наконец, мы вычисляем E 3 . Каждая точка на плоскости имеет по крайней мере одну касательную к γ, проходящую через нее, поэтому область, заполненная касательными линиями, составляет всю плоскость. Таким образом, граница E 3 - это пустое множество. Действительно, рассмотрим точку на плоскости, скажем ( x 0 , y 0 ). Эта точка лежит на касательной тогда и только тогда, когда существует t такое, что

Это кубика по t и, как таковая, имеет по крайней мере одно реальное решение. Отсюда следует, что хотя бы одна касательная к γ должна проходить через любую заданную точку на плоскости. Если y > x 3 и y > 0, то каждая точка ( x , y ) имеет ровно одну касательную к γ, проходящую через нее. То же верно, если y < x 3 y <0 . Если y < x 3 и y > 0, то каждая точка ( x , y ) имеет ровно три различных касательных к γ, проходящих через нее. То же верно, еслиу > х 3 и у <0 . Если y = x 3 и y ≠ 0, то каждая точка ( x , y ) имеет ровно две касательные к γ, проходящие через нее (это соответствует кубике, имеющей один обычный корень и один повторяющийся корень). То же верно, если yx 3 и y = 0 . Если y = x 3 и x = 0 , т. Е. X = y = 0, то через эту точку проходит единственная касательная к γ (это соответствует кубике, имеющей один действительный корень кратности 3). Следует, что

Пример 2 [ править ]

Этот график дает огибающую семейства линий, соединяющих точки ( t , 0), (0, k - t ), в которых k принимает значение 1.

В струнном искусстве принято перекрестно соединять две линии одинаково расположенных булавок. Какая кривая образуется?

Для простоты установите штифты на оси x и y ; не- ортогональным расположение является вращение и масштабирование прочь. Общая прямолинейная нить соединяет две точки (0, k - t ) и ( t , 0), где k - произвольная константа масштабирования, а семейство линий создается путем изменения параметра t . Исходя из простой геометрии, уравнение этой прямой имеет вид y = - ( k  -  t ) x / t + k  -  t. Преобразование и преобразование в форму F ( x , y , t ) = 0 дает:

Теперь дифференцируем F ( x , y , t ) по t и устанавливаем результат равным нулю, чтобы получить

Эти два уравнения совместно определяют уравнение огибающей. Из (2) имеем:

Подставляя это значение t в (1) и упрощая, получаем уравнение для огибающей:

Или, преобразовав в более элегантную форму, которая показывает симметрию между x и y:

Мы можем повернуть оси, где ось b - это линия y = x, ориентированная на северо-восток, а ось a - это линия y = -x, ориентированная на юго-восток. Эти новые оси связаны с исходными осями xy формулами x = (b + a) / 2 и y = (ba) / 2 . После подстановки в (4) и разложения и упрощения получаем

что, по-видимому, является уравнением параболы с осью вдоль a = 0 или y = x .

Пример 3 [ править ]

Пусть IR - открытый интервал, а γ: IR 2 - гладкая плоская кривая, параметризованная длиной дуги . Рассмотрим однопараметрическое семейство нормальных прямых к γ ( I ). Прямая нормальна к γ в точке γ ( t ), если она проходит через γ ( t ) и перпендикулярна касательному вектору к γ в точке γ ( t ). Пусть T обозначает единичный касательный вектор к γ и пусть N обозначает единичный вектор нормали . Использование точки для обозначения скалярного произведения, производящее семейство для однопараметрического семейства нормальных прямых задается формулой F  : I × R 2R, где

Ясно , что ( х - γ) · Т = 0 тогда и только тогда , когда х - γ перпендикулярна T , или , что эквивалентно, тогда и только тогда , когда х - γ является параллельной к N , или , что эквивалентно, тогда и только тогда , когда х = γ + λ N для некоторых А Х R . Следует, что

в точности нормальная прямая к γ в точке γ ( t 0 ). Чтобы найти дискриминант F, нам нужно вычислить его частную производную по t :

где κ - плоская кривизна кривой γ. Было видно , что F = 0 тогда и только тогда , когда х - γ = λ N для некоторого А ∈ R . Предполагая, что F = 0 дает

Если предположить, что κ ≠ 0, то λ = 1 / κ и, значит,

Это в точности эволюция кривой γ.

Пример 4 [ править ]

Астроида как огибающей семейства линий , соединяющих точки ( с , 0), (0, т ) с s 2  +  т 2  = 1

Следующий пример показывает, что в некоторых случаях оболочка семейства кривых может рассматриваться как топологическая граница объединения множеств, границы которых являются кривыми оболочки. Для и рассмотрим (открытый) прямоугольный треугольник на декартовой плоскости с вершинами , и

Зафиксируем показатель степени и рассмотрим объединение всех треугольников, на которые наложено ограничение , то есть открытое множество

Чтобы написать декартово представление для , начните с любого , удовлетворительного и любого . Неравенство Гельдера в отношении к конъюгированным показателям и дает:

,

с равенством тогда и только тогда, когда . В терминах объединения множеств последнее неравенство читается так: точка принадлежит множеству , то есть принадлежит некоторому с , тогда и только тогда, когда она удовлетворяет

Кроме того, граница в множества является огибающей соответствующего семейства отрезков прямых

(то есть гипотенузы треугольников) и имеет декартово уравнение

Обратите внимание, что, в частности, значение дает дугу параболы в примере 1, а значение (то есть все гипотенузы являются сегментами единичной длины) дает астроиду .

Пример 5 [ править ]

Огибающая орбит снарядов (с постоянной начальной скоростью) представляет собой вогнутую параболу. Начальная скорость 10 м / с. Возьмем g = 10 м / с 2 .

Рассмотрим следующий пример конверта в движении. Предположим, что на начальной высоте 0 снаряд запускается в воздух с постоянной начальной скоростью v, но с разными углами возвышения θ. Пусть x - горизонтальная ось на поверхности движения, а y - вертикальная ось. Тогда движение дает следующую дифференциальную динамическую систему :

который удовлетворяет четырем начальным условиям :

Здесь т обозначает время движения, θ представляет угол возвышения, г обозначает ускорение силы тяжести , а v постоянная начальная скорость (не скорость ). Решение указанной выше системы может иметь неявный вид :

Чтобы найти уравнение огибающей, можно вычислить желаемую производную:

Исключив θ, можно получить следующее уравнение огибающей:

Очевидно, что полученная огибающая также является вогнутой параболой .

Огибающая семейства поверхностей [ править ]

Один-параметрическое семейство поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве задается системой уравнений

в зависимости от реального параметра a . [2] Например, касательные плоскости к поверхности вдоль кривой на поверхности образуют такое семейство.

Две поверхности, соответствующие различным значениям a и a ', пересекаются по общей кривой, определяемой

В пределе а» приближается к , эта кривая стремится к кривой , лежащей на поверхности при

Эта кривая называется характеристикой семейства в точке а . При изменении a геометрическое место этих характеристических кривых определяет поверхность, называемую огибающей семейства поверхностей.

Огибающая семейства поверхностей касается каждой поверхности в семействе вдоль характеристической кривой на этой поверхности.

Обобщения [ править ]

Идея оболочки семейства гладких подмногообразий следует естественным образом. В общем случае, если у нас есть семейство подмногообразий коразмерности c, то нам нужно иметь хотя бы c- параметрическое семейство таких подмногообразий. Например: однопараметрическое семейство кривых в трех пространствах ( c = 2), как правило, не имеет оболочки.

Приложения [ править ]

Обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

Огибающие связаны с изучением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и, в частности, сингулярных решений ОДУ. [3] Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство касательных к параболе y = x 2 . Они задаются производящим семейством F ( t , ( x , y )) = t 2 - 2 tx + y . Множество нулевого уровня F ( t 0 , ( x , y )) = 0дает уравнение касательной к параболе в точке ( t 0 , t 0 2 ). Уравнение t 2 - 2 tx + y = 0 всегда может быть решено относительно y как функции от x, поэтому рассмотрим

Подстановка

дает ОДУ

Неудивительно, что все y  = 2 tx  -  t 2 являются решениями этого ОДУ. Однако огибающая этого однопараметрического семейства линий, представляющая собой параболу y  =  x 2 , также является решением этого ОДУ. Другой известный пример - уравнение Клеро .

Уравнения с частными производными [ править ]

Огибающие могут использоваться для построения более сложных решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (PDE) из более простых. [4] Пусть F ( x , u , D u ) = 0 - УЧП первого порядка, где x - переменная со значениями в открытом множестве Ω ⊂  R n , u - неизвестная вещественнозначная функция, D u - градиент из U и F является непрерывно дифференцируемая функция, регулярная в D ¯u . Предположим, что u ( x ; a) Является м параметрического семейства решений: то есть, для каждого фиксированного с  ∈  A  ⊂  R м , U ( х ; ) является решением дифференциального уравнения. Новое решение дифференциального уравнения можно построить, предварительно решив (если возможно)

для a  = φ ( x ) как функции от x . Оболочка семейства функций { u (·, a )} aA определяется равенством

а также решает дифференциальное уравнение (при условии, что оно существует как непрерывно дифференцируемая функция).

Геометрически график v ( x ) всюду касается графика некоторого члена семейства u ( x ; a ). Поскольку дифференциальное уравнение первого порядка, оно ставит условие только на касательную плоскость к графику, так что любая функция, всюду касающаяся решения, также должна быть решением. Та же идея лежит в основе решения уравнения первого порядка как интеграла от конуса Монжа . [5] Конус Монжа - это поле конусов в R n +1 пространства ( x , u) переменные, вырезанные оболочкой касательных пространств к УЧП первого порядка в каждой точке. Решение PDE тогда является огибающей конусного поля.

В римановой геометрии , если гладкое семейство геодезических, проходящее через точку P на римановом многообразии, имеет оболочку, то P имеет сопряженную точку, в которой любая геодезическая этого семейства пересекает оболочку. То же самое верно в более общем случае в исчислении вариаций : если семейство экстремалей к функциональному через данную точку Р имеет оболочку, то точку , где экстремальные пересекает конверт является сопряженной точкой P .

Каустики [ править ]

Отражающая каустика, образованная кругом и параллельными лучами

В геометрической оптики , А каустической является огибающей семейства световых лучей . На этой картинке изображена дуга круга. Световые лучи (показаны синим цветом) исходят из бесконечного источника и поэтому прибывают параллельно. Когда они попадают в дугу окружности, световые лучи рассеиваются в разные стороны по закону отражения . Когда луч света попадает на дугу в точке, свет будет отражаться так, как если бы он был отражен касательной линией дуги в этой точке. Отраженные световые лучи дают однопараметрическое семейство линий на плоскости. Огибающая этих линий - отражающая каустика.. Отражающая каустика обычно состоит из гладких точек и обычных точек возврата .

С точки зрения вариационного исчисления принцип Ферма (в его современной форме) подразумевает, что лучи света являются экстремалиями для функционала длины

среди гладких кривых γ на [ a , b ] с фиксированными концами γ ( a ) и γ ( b ). Каустический определяется в данной точке P (в изображении точка находится на бесконечности) есть множество сопряженных точек до P . [6]

Принцип Гюйгенса [ править ]

Свет может проходить через анизотропные неоднородные среды с разной скоростью в зависимости от направления и начального положения светового луча. Граница множества точек, в которые свет может пройти из данной точки q через время t , известна как фронт волны после времени t , обозначенная здесь Φ q ( t ). Он состоит из точек, в которые можно попасть из точки q за время t , путешествуя со скоростью света. Принцип Гюйгенса утверждает, что набор волнового фронта Φ q 0 ( s + t )- огибающая семейства волновых фронтов Φ q ( s ) при q  ∈ Φ q 0 ( t ). В более общем смысле точка q 0 может быть заменена любой кривой, поверхностью или замкнутым множеством в пространстве. [7]

См. Также [ править ]

  • Линейчатая поверхность
  • Каустик (математика)

Ссылки [ править ]

  1. ^ Брюс, JW; Гиблин, П.Дж. (1984), Кривые и сингулярности , Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4
  2. ^ Эйзенхарт, Лютер П. (2008), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Schwarz Press, ISBN 1-4437-3160-9
  3. ^ Форсайт, Эндрю Рассел (1959), Теория дифференциальных уравнений , Шесть томов, связанных как три, Нью-Йорк: Dover Publications , MR 0123757 , §§100-106.
  4. ^ Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0772-9.
  5. ^ Джон, Фриц (1991), уравнения в частных производных (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6.
  6. ^ Борн, Макс (октябрь 1999 г.), Принцип оптики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-64222-4, Приложение I: Вариационное исчисление.
  7. ^ Арнольд, В.И. (1997), Математические методы классической механики, 2-е изд. , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96890-2, §46.

Внешние ссылки [ править ]

  • Конверт (математика) в Британской энциклопедии
  • Вайсштейн, Эрик В. «Конверт» . MathWorld .
  • «Огибающая семейства плоских кривых» в MathCurve.