В физике и технике , то оболочка из осциллирующего сигнала является гладкой кривой с изложением своих экстремумов. [1] Таким образом, огибающая обобщает понятие постоянной амплитуды до мгновенной амплитуды . На рисунке показана модулированная синусоидальная волна, изменяющаяся между верхней и нижней огибающей. Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.
Пример: бьющиеся волны [ править ]
Обычная ситуация, приводящая к огибающей функции как в пространстве x, так и во времени t, является суперпозицией двух волн почти одинаковой длины волны и частоты: [2]
который использует тригонометрическую формулу для сложения двух синусоидальных волн и приближение Δ λ ≪ λ :
Здесь длина волны модуляции λ mod определяется как: [2] [3]
Длина волны модуляции вдвое больше длины самой огибающей, поскольку каждая полуволна модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Точно так же частота биений - это частота огибающей, в два раза превышающая частоту модулирующей волны, или 2Δ f . [4]
Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с f, и амплитуда этого звука изменяется с частотой биений. [4]
Фаза и групповая скорость [ править ]
Аргумент синусоид выше, не считая множителя 2 π :
с индексами C и E, относящимися к перевозчику и конверту . Одна и та же амплитуда F волны является результатом одних и тех же значений ξ C и ξ E , каждое из которых само может возвращаться к одному и тому же значению при различных, но должным образом связанных выборах x и t . Эта инвариантность означает, что можно проследить эти формы волны в пространстве, чтобы найти скорость положения фиксированной амплитуды, когда оно распространяется во времени; для того, чтобы аргумент несущей волны оставался неизменным, выполняется условие:
который показывает, что для сохранения постоянной амплитуды расстояние Δ x связано с интервалом времени Δ t так называемой фазовой скоростью v p
С другой стороны, те же соображения показывают, что оболочка распространяется с так называемой групповой скоростью v g : [5]
Более общее выражение для групповой скорости получается путем введения волнового вектора k :
Заметим, что для небольших изменений Δ λ величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δ k , составляет:
поэтому групповая скорость может быть переписана как:
где ω - частота в радианах / с: ω = 2 π f . Во всех средствах массовой информации, частота и волновой вектор связаны с дисперсионным соотношением , ω = & omega ( K ), а групповая скорость может быть записано:
В такой среде, как классический вакуум, дисперсионное соотношение для электромагнитных волн имеет вид:
где c 0 - скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c 0 .
В так называемых диспергирующих средах дисперсия может быть сложной функцией волнового вектора, и фазовые и групповые скорости не одинаковы. Например, для нескольких типов волн, проявляемых колебаниями атомов ( фононов ) в GaAs, на рисунке показаны дисперсионные соотношения для различных направлений волнового вектора k . В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления. [7]
Пример: аппроксимация огибающей функции [ править ]
В физике конденсированного состояния собственная функция энергии для мобильного носителя заряда в кристалле может быть выражена как блоховская волна :
где n - индекс зоны (например, зоны проводимости или валентной зоны), r - пространственное положение, а k - волновой вектор . Экспонента - это синусоидально изменяющаяся функция, соответствующая медленно меняющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции u n , k, описывающей поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Огибающая ограничена k-значениями в пределах диапазона, ограниченного зоной Бриллюэна кристалла, и это ограничивает скорость ее изменения в зависимости от местоположения r .
При определении поведения носителей с использованием квантовой механики , то приближение огибающего , как правило , используются , в котором уравнение Шредингера упрощается относится только к поведению оболочки, и граничные условия применяются к функции огибающей непосредственно, а не полному волновая функция. [9] Например, волновая функция носителя, захваченного около примеси, определяется огибающей функцией F, которая управляет суперпозицией функций Блоха:
где фурье-компоненты огибающей F ( k ) находятся из приближенного уравнения Шредингера. [10] В некоторых приложениях периодическая часть u k заменяется ее значением около края зоны, скажем, k = k 0 , а затем: [9]
Пример: дифракционные картины [ править ]
Дифракционные картины от нескольких щелей имеют огибающие, определяемые дифракционной картиной с одной щелью. Для одиночной щели образец задается следующим образом: [11]
где α - угол дифракции, d - ширина щели, λ - длина волны. Для нескольких прорезей используется шаблон [11]
где q - количество щелей, g - постоянная решетки. Первый фактор, результат I 1 для одной щели , модулирует более быстро изменяющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и их расстояния.
См. Также [ править ]
- Сложный конверт
- Разложение по эмпирическим модам
- Конверт (математика)
- Детектор конверта
- Отслеживание конвертов
- Мгновенная фаза
- Модуляция
- Математика колебаний
- Пиковая мощность огибающей
- Спектральная огибающая
Ссылки [ править ]
- ↑ С. Ричард Джонсон-младший; Уильям А. Сетхарес; Эндрю Г. Кляйн (2011). «Рисунок C.1: Огибающая функции плавно очерчивает ее экстремумы». Разработка программного приемника: создайте собственную систему цифровой связи за пять простых шагов . Издательство Кембриджского университета. п. 417. ISBN 0521189446.
- ^ а б Блэр Кинсман (2002). Ветровые волны: их генерация и распространение на поверхности океана (Перепечатка изд. Prentice-Hall, 1965 г.). Courier Dover Publications . п. 186. ISBN. 0486495116.
- ^ Марк В. Денни (1993). Воздух и вода: биология и физика среды обитания . Издательство Принстонского университета . С. 289 . ISBN 0691025185.
- ^ а б Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2008). Физика для ученых и инженеров, Том 1 (6-е изд.). Макмиллан. п. 538. ISBN 142920124X.
- ^ Питер В. Милонни ; Джозеф Х. Эберли (2010). «§8.3 Групповая скорость». Лазерная физика (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . п. 336. ISBN. 0470387718.
- ^ Питер Ю. Ю.; Мануэль Кардона (2010). «Рис. 3.2: Дисперсионные кривые фононов в GaAs вдоль осей высокой симметрии». Основы полупроводников: физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. п. 111. ISBN 3642007090.
- ^ В. Червени; Властислав Червены (2005). «§2.2.9 Связь векторов фазовой и групповой скорости». Теория сейсмических лучей . Издательство Кембриджского университета . п. 35. ISBN 0521018226.
- ^ G Ублюдок; JA Brum; Р. Феррейра (1991). « Рисунок 10 в электронных состояниях в полупроводниковых гетероструктурах». У Генри Эренрайха; Дэвид Тернбулл (ред.). Физика твердого тела: полупроводниковые гетероструктуры и наноструктуры . п. 259. ISBN. 0126077444.
- ^ a b Кристиан Шюллер (2006). «§2.4.1 Приближение огибающей функции (EFA)». Неупругое рассеяние света полупроводниковыми наноструктурами: основы и последние достижения . Springer. п. 22. ISBN 3540365257.
- ^ Например, см. Marco Fanciulli (2009). «§1.1 Аппроксимация огибающей функции». Электронный спиновой резонанс и связанные с ним явления в низкоразмерных структурах . Springer. стр. 224 и далее . ISBN 354079364X.
- ^ a b Кордт Грипенкерль (2002). «Распределение интенсивности для дифракции на щели и картины интенсивности для дифракции на решетке». В Джоне У. Харрисе; Уолтер Бененсон; Хорст Штёкер; Хольгер Лутц (ред.). Справочник по физике . Springer. стр. 306 и далее . ISBN 0387952691.
Эта статья включает материал из статьи Citizendium « Функция конверта », которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не GFDL .