N × N евклидова случайная матрица А определяется с помощью произвольной детерминированной функции F ( г , г ') и N точек { г я } случайным образом распределены в области V в г - мерном евклидовом пространстве . Элемент A ij матрицы равен f ( r i , r j ): A ij = f ( r i , r j ).
История
Евклидовы случайные матрицы были впервые введены в 1999 году. [1] Они изучили частный случай функций f, которые зависят только от расстояний между парами точек: f ( r , r ′) = f ( r - r ′) и наложили дополнительное условие на диагональные элементы A ii ,
- A ij = f ( r i - r j ) - u δ ij ∑ k f ( r i - r k ),
мотивированы физическим контекстом, в котором они изучали матрицу. Евклидово расстояние матрица представляет собой конкретный пример евклидовой случайной матрицы либо с F ( г я - г J ) = | r i - r j | 2 или f ( r i - r j ) = | г я - г дж |. [2]
Например, во многих биологических сетях сила взаимодействия между двумя узлами зависит от физической близости этих узлов. Пространственные взаимодействия между узлами могут быть смоделированы как евклидова случайная матрица, если узлы расположены в пространстве случайным образом. [3] [4]
Характеристики
Поскольку положения точек { r i } случайны, матричные элементы A ij также случайны. Более того, поскольку элементы N × N полностью определяются только N точками и, как правило, интересует N ≫ d , между различными элементами существуют сильные корреляции.
Эрмитовы евклидовы случайные матрицы
Эрмитовы евклидовы случайные матрицы появляются в различных физических контекстах, включая переохлажденные жидкости, [5] фононы в неупорядоченных системах [6] и волны в случайных средах. [7]
Пример 1. Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией f ( r , r ′) = sin ( k 0 | r - r ′ |) / ( k 0 | r - r ′ |), где k 0 = 2π / λ 0 . Эта матрица эрмитова, а ее собственные значения Λ вещественны . Для N точек, распределенных случайным образом в кубе со стороной L и объемом V = L 3 , можно показать [7], что распределение вероятностей Λ приближенно задается законом Марченко-Пастура , если плотность точек ρ = N / V подчиняется ρλ 0 3 ≤ 1 и 2,8 Н / ( k 0 L ) 2 <1 (см. рисунок).
Неэрмитовы евклидовы случайные матрицы
Теория плотности собственных значений больших ( N ≫1) неэрмитовых евклидовых случайных матриц была разработана [8] и применялась для исследования проблемы случайного лазера . [9]
Пример 2: Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией f ( r , r ′) = exp ( ik 0 | r - r ′ |) / ( k 0 | r - r ′ |), где k 0 = 2π / λ 0 и f ( r = r ′) = 0. Эта матрица не эрмитова, а ее собственные значения Λ комплексные . Распределение вероятностей Λ можно найти аналитически [8], если плотность точки ρ = N / V подчиняется ρλ 0 3 ≤ 1 и 9 N / (8 k 0 R ) 2 <1 (см. Рисунок).
Рекомендации
- ^ Мезард, М .; Parisi, G .; Зи, А. (1999). «Спектры евклидовых случайных матриц». Ядерная физика Б . 559 (3): 689–701. arXiv : cond-mat / 9906135 . Bibcode : 1999NuPhB.559..689M . DOI : 10.1016 / S0550-3213 (99) 00428-9 .
- ^ Богомольный, Е .; Bohigas, O .; Шмит, К. (2003). «Спектральные свойства матриц расстояний». Журнал физики A: математический и общий . 36 (12): 3595–3616. arXiv : nlin / 0301044 . Bibcode : 2003JPhA ... 36.3595B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 36/12/341 .
- ^ Мьюир, Дилан; Миссис-Флогель, Томас (2015). «Оценки собственного спектра полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей» . Phys. Rev. E . 91 : 042808. Bibcode : 2015PhRvE..91d2808M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.042808 .
- ^ Грилли, Якопо; Барабас, Дьёрдь; Аллесина, Стефано (2015). «Постоянство метапопуляции в случайных фрагментированных ландшафтах» . PLOS вычислительная биология . 11 (5): e1004251. Bibcode : 2015PLSCB..11E4251G . DOI : 10.1371 / journal.pcbi.1004251 . ISSN 1553-7358 . PMC 4439033 .
- ^ Григера, ТС; Мартин-Майор, В .; Parisi, G .; Верроккьо, П. (2003). «Фононная интерпретация« бозонного пика »в переохлажденных жидкостях». Природа . 422 (6929): 289–292. Bibcode : 2003Natur.422..289G . DOI : 10,1038 / природа01475 . PMID 12646916 .
- ^ Амир, А .; Oreg, Y .; Имри, Ю. (2010). "Локализация, аномальная диффузия и медленная релаксация: матричный подход случайных расстояний". Письма с физическим обзором . 105 (7): 070601. arXiv : 1002.2123 . Bibcode : 2010PhRvL.105g0601A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.070601 . PMID 20868026 .
- ^ а б Скипетров С.Е .; Гетши, А. (2011). «Распределения собственных значений больших евклидовых случайных матриц для волн в случайных средах». Журнал физики A: математический и теоретический . 44 (6): 065102. arXiv : 1007.1379 . Bibcode : 2011JPhA ... 44f5102S . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 44/6/065102 .
- ^ а б Goetschy, A .; Скипетров, С. (2011). «Неэрмитова евклидова теория случайных матриц». Physical Review E . 84 . arXiv : 1102,1850 . Bibcode : 2011PhRvE..84a1150G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.84.011150 .
- ^ Goetschy, A .; Скипетров С.Е. (2011). «Евклидова матричная теория случайной генерации в облаке холодных атомов». EPL . 96 (3): 34005. arXiv : 1104.2711 . Bibcode : 2011EL ..... 9634005G . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 96/34005 .