Линия Эйлера

Линия Эйлера (красная) - это прямая линия, проходящая через центр тяжести (оранжевый), ортоцентр (синий), центр описанной окружности (зеленый) и центр окружности из девяти точек (красный).

В геометрии , то линия Эйлера , названный в честь Леонарда Эйлера ( / ɔɪ л ər / ), является линия определяется из любого треугольника , который не является равносторонним . Это центральная линия треугольника, и она проходит через несколько важных точек, определенных из треугольника, включая ортоцентр , центр описанной окружности , центроид , точку Эксетера и центр окружности из девяти точек треугольника. ^[1]

Понятие линии Эйлера треугольника распространяется на линию Эйлера других форм, таких как четырехугольник и тетраэдр .

Треугольник с центром на линии Эйлера [ править ]

Отдельные центры [ править ]

Эйлер показал в 1765 году, что в любом треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид коллинеарны . ^[2] Это свойство также верно для другого центра треугольника, центра из девяти точек , хотя это не было определено во времена Эйлера. В равносторонних треугольниках эти четыре точки совпадают, но в любом другом треугольнике все они отличаются друг от друга, и линия Эйлера определяется любыми двумя из них.

Другие заметные точки , которые лежат на прямой Эйлера включают де Longchamps точку , в точку Schiffler , в точку Exeter , и Perspector Госсард . ^[1] Однако центр внутренней части обычно не лежит на линии Эйлера; ^[3] она находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[4] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит центры всех треугольников.

Тангенциальная треугольник опорного треугольника является касательной к последней окружности в вершинах эталонного треугольника. Центр описанной окружности тангенциального треугольника лежит на линии Эйлера контрольного треугольника. ^[5]^{: с. 447} ^[6]^{: с.104, # 211; p.242, # 346} центра сходства из orthic и касательных треугольников также на линии Эйлера. ^[5]^{: с. 447}^[6]^{: с. 102}

Векторное доказательство [ править ]

Позвольте быть треугольником. Доказательство того , что Окружность , то медианы и ортоцентр являются коллинеарна зависит от свободных векторов . Начнем с определения предпосылок. Во-первых, удовлетворяет соотношению $ABC$ $O$ $G$ $H$ $G$

{\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.

Это следует из того факта , что абсолютные барицентрические координаты из находятся . Далее проблема Сильвестра ^[7] читается как $G$ ${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}$

{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.

Теперь, используя сложение векторов, выводим, что

{\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.

Складывая эти три соотношения почленно, мы получаем, что

3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.

В заключение,, и поэтому три точки , и (в этом порядке) лежат на одной прямой. $3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}$ $O$ $G$ $H$

В книге Дорри, в ^[7] линия Эйлера и проблема Сильвестра ставятся вместе в одно доказательство. Однако большинство доказательств проблемы Сильвестра опирается на фундаментальные свойства свободных векторов, независимо от линии Эйлера.

Расстояния между центрами [ править ]

На прямой Эйлера центр тяжести G находится между центром описанной окружности O и ортоцентром H и вдвое дальше от ортоцентра, чем от центра описанной окружности: ^[6]^{: p.102}

GH=2GO;

OH=3GO.

Отрезок GH представляет собой диаметр ортоцентроидной окружности .

Центр N девятиконечной окружности лежит вдоль линии Эйлера на полпути между ортоцентром и центром описанной окружности: ^[1]

ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.

Таким образом, линия Эйлера может быть перемещена на числовой прямой с центром описанной окружности O в точке 0, центроидом G в точке 2 t , центром из девяти точек в точке 3 t и ортоцентром H в точке 6 t для некоторого масштабного коэффициента t .

Кроме того, квадрат расстояния между центроидом и центром описанной окружности вдоль линии Эйлера меньше квадрата радиуса описанной окружности R ² на величину, равную одной девятой суммы квадратов длин сторон a , b и c : ^[6]^{: стр.71}

GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Кроме того, ^[6]^{: с.102}

OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});

GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Представление [ править ]

Уравнение [ править ]

Пусть A , B , C обозначают углы при вершинах контрольного треугольника, и пусть x : y : z - переменная точка в трилинейных координатах ; то уравнение для линии Эйлера имеет вид

\sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.

Уравнение для линии Эйлера в барицентрических координатах имеет вид ^[8] $\alpha :\beta :\gamma$

(\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.

Параметрическое представление [ править ]

Другой способ представить линию Эйлера - через параметр t . Начиная с центра описанной окружности (с трилинейными координатами ) и ортоцентра (с трилинейными линиями, каждая точка на линии Эйлера, кроме ортоцентра, задается трилинейными координатами $\cos A:\cos B:\cos C$ $\sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),$

\cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B

формируется как линейная комбинация трилиней этих двух точек для некоторого t .

Например:

В центре описанной окружности есть трилинейки, соответствующие значению параметра $\cos A:\cos B:\cos C,$ $t=0.$
Центроид имеет trilinears , соответствующее значение параметра $\cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,$ $t=1.$
Центр из девяти точек имеет трилинейки, соответствующие значению параметра $\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,$ $t=2.$
Точка де Лоншана имеет трилинейки, соответствующие значению параметра $\cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,$ $t=-1.$

Наклон [ править ]

В декартовой системе координат , обозначьте наклоны сторон треугольника как и и обозначьте наклон его линии Эйлера как . Тогда эти наклоны связаны согласно ^[9]^:^{Лемма 1} $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3},$ $m_{E}$

m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}

+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.

Таким образом, наклон линии Эйлера (если он конечный) можно выразить через наклоны сторон как

m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.

Причем прямая Эйлера параллельна стороне BC острого треугольника тогда и только тогда, когда ^[9]^{: с.173} $\tan B\tan C=3.$

Отношение к вписанным равносторонним треугольникам [ править ]

Географическое место центроидов равносторонних треугольников, вписанных в данный треугольник, образовано двумя линиями, перпендикулярными линии Эйлера данного треугольника. ^[10]^{: Coro. 4}

В особых треугольниках [ править ]

Правый треугольник [ править ]

В прямоугольном треугольнике , линия совпадает Эйлер с медианой к гипотенузе , то есть, он проходит через оба прямоугольной вершину и среднюю точку стороны , противоположные эту вершину. Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот , падает на прямоугольную вершину, а его центр описанной окружности, пересечение его серединных перпендикуляров сторон, падает на середину гипотенузы.

Равнобедренный треугольник [ править ]

Линия Эйлера равнобедренного треугольника совпадает с осью симметрии . В равнобедренном треугольнике центр впадает в линию Эйлера.

Автомедианный треугольник [ править ]

Линия Эйлера автомедианного треугольника (тот, чьи медианы находятся в тех же пропорциях, но в обратном порядке, как и стороны) перпендикулярна одной из медиан. ^[11]

Системы треугольников с параллельными линиями Эйлера [ править ]

Рассмотрим треугольник ABC с точками Ферма – Торричелли F ₁ и F ₂ . Прямые Эйлера 10 треугольников с вершинами, выбранными из A, B, C, F ₁ и F ₂ , совпадают в центре тяжести треугольника ABC . ^[12]

Прямые Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набор из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), совпадают в центре из девяти точек, общем для всех треугольников. ^[6]^{: с.111}

Обобщения [ править ]

Четырехугольник [ править ]

В выпуклом четырехугольнике , в quasiorthocenter Н , «площадь центра тяжести» G и quasicircumcenter вывод является коллинеарен в этом порядке на линии Эйлера, и HG = 2 GO . ^[13]

Тетраэдр [ править ]

Тетраэдр представляет собой трехмерный объект , ограниченный четыре треугольных граней . Семь линий, связанных с тетраэдром, совпадают в его центроиде; его шесть срединных плоскостей пересекаются в точке Монжа ; и есть описанная сфера, проходящая через все вершины, чей центр является центром описанной окружности. Эти точки определяют «линию Эйлера» тетраэдра, аналогичного треугольнику. Центроид - это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности вдоль этой линии. Центр двенадцатиточечной сферы также лежит на линии Эйлера.

Симплициальный многогранник [ править ]

Симплициальная многогранник является многогранником , чьи грани все симплекс . Например, каждый многоугольник является симплициальным многогранником. Линия Эйлера, связанная с таким многогранником, определяется его центроидом и центром описанной массы . Это определение линии Эйлера обобщает приведенные выше. ^[14]

Предположим, что это многоугольник. Линия Эйлера чувствительна к симметрии следующим образом: $P$ $E$ $P$

1. Если линия отражения симметрична , то есть либо точка на . $P$ $L$ $E$ $L$ $L$

2. Если имеет центр вращательной симметрии , то . $P$ $C$ $E=C$

3. Если все стороны, кроме одной, имеют одинаковую длину, то он ортогонален последней стороне. $P$ $E$

Связанные конструкции [ править ]

Парабола Киперта треугольника - это единственная парабола, которая касается сторон (двух из них - продолженных ) треугольника и имеет прямую Эйлера в качестве направляющей . ^[15]^{: с. 63}

Ссылки [ править ]

^ a b c Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium . 129 : i – xxv, 1–295.
^ Эйлер, Леонард (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometryorum difficillimorum" [Простое решение некоторых сложных геометрических задач]. Новые комментарии Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103–123. E325.Печатается в Opera Omnia , сер. I, т. XXVI, стр. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061 . Резюме: Дартмутский колледж.
^ Schattschneider, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Включенная геометрия: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях . Математическая ассоциация Америки. С. 3–4. ISBN 978-0883850992.
^ Эдмондс, Аллан Л .; Хаджа, Моваффак; Martini, Хорст (2008), "Orthocentric симплекс и biregularity", результаты по математике , 52 (1-2): 41-50, DOI : 10.1007 / s00025-008-0294-4 , МР 2430410 , Хорошо известно , что центр евклидова треугольника лежит на его линии Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности, тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный .
^ a b Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417 .
^ a b c d e f Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble, 1952).
^ a b Дёрри, Генрих, «100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая линия Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра)
^ Скотт, JA, "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.
^ a b Владимир Г. Боскофф, Лаурентиу Хоменцовски и Богдан Д. Сучава, «Перспектива Госсарда и проективные последствия», Forum Geometricorum , Volume 13 (2013), 169–184. [1]
^ Francisco Javier Garc ıA Capita н, "Локус центроидов аналогичных вписанной Треугольники", Форум Geometricorum 16, 2016, 257-267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
↑ Parry, CF (1991), «Steiner – Lehmus и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .
^ Beluhov, Николай Иванов. «Десять параллельных линий Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
↑ Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
^ Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружной центр массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (51): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007 / s00454-014-9597-2.
^ Scimemi, Бенедетто, "Простые отношения , связанные с Эллипс Штейнера треугольника", Форум Geometricorum 10, 2010: 55-77.

Внешние ссылки [ править ]

Интерактивный апплет, показывающий несколько центров треугольников, лежащих на линии Эйлера .
«Линия Эйлера» и «Континуум неевклидова треугольника» в проекте Wolfram Demonstrations
Девятиточечная коника и обобщение линии Эйлера , Дальнейшее обобщение линии Эйлера и квазиэйлерова линия четырехугольника и шестиугольника на эскизах динамической геометрии
Богомольный, Александр , « Высоты и линия Эйлера » и « Линия Эйлера и окружность из 9 точек », Cut-the-Knot
Кимберлинг, Кларк , «Центры треугольника на линии Эйлера» , Центры треугольника
Станкова, Звезделина (1 февраля 2016 г.), «У треугольников есть волшебное шоссе» , Numberphile , YouTube
Вайсштейн, Эрик В. «Линия Эйлера» . MathWorld .

[k-1] Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium . 129 : i – xxv, 1–295.

[2] Эйлер, Леонард (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometryorum difficillimorum" [Простое решение некоторых сложных геометрических задач]. Новые комментарии Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103–123. E325.Печатается в Opera Omnia , сер. I, т. XXVI, стр. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061 . Резюме: Дартмутский колледж.

[3] Schattschneider, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Включенная геометрия: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях . Математическая ассоциация Америки. С. 3–4. ISBN 978-0883850992.

[4] Эдмондс, Аллан Л .; Хаджа, Моваффак; Martini, Хорст (2008), "Orthocentric симплекс и biregularity", результаты по математике , 52 (1-2): 41-50, DOI : 10.1007 / s00025-008-0294-4 , МР 2430410 , Хорошо известно , что центр евклидова треугольника лежит на его линии Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности, тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный .

[SL-5] Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417 .

[ac-6] Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble, 1952).

[Dorrie-7] Дёрри, Генрих, «100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая линия Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра)

[8] Скотт, JA, "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.

[BHS-9] Владимир Г. Боскофф, Лаурентиу Хоменцовски и Богдан Д. Сучава, «Перспектива Госсарда и проективные последствия», Forum Geometricorum , Volume 13 (2013), 169–184. [1]

[Garcia-10] Francisco Javier Garc ıA Capita н, "Локус центроидов аналогичных вписанной Треугольники", Форум Geometricorum 16, 2016, 257-267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf

[parry-11] Parry, CF (1991), «Steiner – Lehmus и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .

[12] Beluhov, Николай Иванов. «Десять параллельных линий Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html

[13] Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .

[14] Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружной центр массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (51): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007 / s00454-014-9597-2.

[Scimemi-15] Scimemi, Бенедетто, "Простые отношения , связанные с Эллипс Штейнера треугольника", Форум Geometricorum 10, 2010: 55-77.

[1]