Исключительный делитель

В математике , в частности в алгебраической геометрии , исключительный дивизор для регулярного отображения

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

многообразий - это своего рода «большое» подмногообразие, которое в определенном смысле «раздавлено» . Точнее, f имеет связанный исключительный локус, который описывает, как он идентифицирует близлежащие точки в коразмерности один, а исключительный дивизор является подходящей алгебраической конструкцией, носителем которой является исключительное множество. Те же идеи можно найти в теории голоморфных отображений комплексных многообразий .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

Точнее, предположим, что

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

является регулярным отображением разновидностей которых является бирациональным (то есть, есть изоморфизм между открытыми подмножествами и ). Подмногообразие коразмерности 1 называется исключительным, если имеет коразмерность не менее 2 как подмногообразие в . Тогда можно определить исключительный делитель числа как${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle Z \ подмножество X}$${\ Displaystyle f (Z)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я} Z_ {я} \ в Div (X),}$

где сумма ведется по всем исключительным подмногообразиям в , и является элементом группы дивизоров Вейля на .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

Рассмотрение исключительных дивизоров имеет решающее значение в бирациональной геометрии : элементарный результат (см., Например, Шафаревич, II.4.4) показывает (при подходящих предположениях), что любое бирациональное регулярное отображение, не являющееся изоморфизмом, имеет исключительный дивизор. Особенно важным примером является раздутие

${\ Displaystyle \ sigma: {\ тильда {X}} \ rightarrow X}$

подмножества

${\ displaystyle W \ subset X}$:

в этом случае исключительный дивизор является в точности прообразом .${\ displaystyle W}$

Ссылки [ править ]

• Шафаревич, Игорь (1994). Основы алгебраической геометрии, Vol. 1 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-54812-2.