Экспоненциальная функция

Естественная экспоненциальная функция y = e ^x

Экспоненциальные функции с основанием 2 и 1/2

В математике , экспоненциальная функция является функцией вида

${\ Displaystyle е (х) = ab ^ {х},}$

где b - положительное действительное число, а аргумент x встречается как показатель степени. Для действительных чисел c и d функция формы также является экспоненциальной функцией, так как ее можно переписать как ${\ Displaystyle е (х) = ab ^ {cx + d}}$

${\ displaystyle ab ^ {cx + d} = \ left (ab ^ {d} \ right) \ left (b ^ {c} \ right) ^ {x}.}$

Как функции действительной переменной экспоненциальные функции однозначно характеризуются тем фактом, что скорость роста такой функции (то есть ее производной ) прямо пропорциональна значению функции. Константа пропорциональности этого отношения является натуральным логарифмом основания b :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} b ^ {x} = b ^ {x} \ log _ {e} b.}$

Для b > 1 функция возрастает (как показано для b = e и b = 2 ), потому что делает производную всегда положительной; в то время как для b <1 функция убывает (как показано для b =${\ displaystyle b ^ {x}}$${\ displaystyle \ log _ {e} b> 0}$1/2); а при b = 1 функция постоянна.

Константа e = 2,71828 ... является уникальной базой, для которой коэффициент пропорциональности равен 1, так что функция является собственной производной:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x} \ log _ {e} e = e ^ {x}.}$

Эта функция, также обозначаемая как exp x , называется «естественной экспоненциальной функцией», ^{[1] [2] [3]} или просто «экспоненциальной функцией». Поскольку любую экспоненциальную функцию можно записать в терминах естественной экспоненты как , с вычислительной и концептуальной точек зрения удобно свести изучение экспоненциальных функций к этой конкретной. Таким образом, естественная экспонента обозначается через${\ displaystyle b ^ {x} = e ^ {x \ log _ {e} b}}$

${\ displaystyle x \ mapsto e ^ {x} {\ text {или}} x \ mapsto \ exp x.}$

Первое обозначение обычно используется для более простых показателей степени, а второе предпочтительнее, когда показатель степени является сложным выражением. График , из является восходящим, и увеличивается быстрее , так как х возрастает. ^[4] График всегда лежит выше оси x , но становится сколь угодно близким к ней при больших отрицательных x ; таким образом, ось x является горизонтальной асимптотой . Уравнение означает , что наклон от касательной к графике в каждой точке равен его у -координаты в этой точке. Его обратная функция - натуральный логарифм${\ Displaystyle у = е ^ {х}}$${\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}}$, обозначаемый ^{[nb 1] [nb 2],} или по этой причине в некоторых старых текстах ^[5] экспоненциальная функция называется антилогарифмом .${\ displaystyle \ log,}$ ${\ displaystyle \ ln,}$${\ displaystyle \ log _ {e};}$

Показательная функция удовлетворяет фундаментальному мультипликативному тождеству (которое также может быть расширено до комплекснозначных показателей):

${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} e ^ {y} {\ text {для всех}} x, y \ in \ mathbb {R}.}$

Можно показать, что каждое непрерывное ненулевое решение функционального уравнения является экспоненциальной функцией, причем мультипликативное тождество, наряду с определением , показывает, что для положительных целых чисел n , связывая экспоненциальную функцию с элементарным понятием возведения в степень.${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) е (у)}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto b ^ {x},}$${\displaystyle b>0.}$${\displaystyle e=e^{1}}$${\displaystyle e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ terms}}}}$

Аргументом экспоненциальной функции может быть любое действительное или комплексное число или даже математический объект совершенно другого типа (например, матрица ).

Повсеместное появление экспоненциальной функции в чистой и прикладной математике привело математика В. Рудина к выводу, что экспоненциальная функция является «наиболее важной функцией в математике». ^[6] В применяемых параметрах экспоненциальные функции моделируют взаимосвязь, в которой постоянное изменение независимой переменной дает такое же пропорциональное изменение (то есть процентное увеличение или уменьшение) зависимой переменной. Это широко применяется в естественных и социальных науках, например, в самовоспроизводящемся населении , в фонде, накапливающем сложные проценты , или в растущем объеме производственного опыта.. Таким образом, экспоненциальная функция также появляется в различных контекстах в физике , химии , инженерии , математической биологии и экономике .

Формальное определение [ править ]

Действительная экспоненциальная функция может быть охарактеризована множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенным рядом : ^{[6] [7]}${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots }$

Так как радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам z ∈ ℂ (см. § Комплексная плоскость для продолжения до комплексной плоскости). Тогда постоянная e может быть определена как${\displaystyle \exp x}$${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!).}$

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех действительных x , что приводит к еще одной общей характеристике как единственного решения дифференциального уравнения${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$${\displaystyle \exp x}$

${\displaystyle y'(x)=y(x),}$

удовлетворяющий начальному условию ${\displaystyle y(0)=1.}$

Основываясь на этой характеристике, цепное правило показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм , удовлетворяет для или Это соотношение приводит к менее распространенному определению действительной экспоненциальной функции как решения уравнения${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\log _{e}y=1/y}$${\displaystyle y>0,}$${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$${\displaystyle \exp x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$

Посредством биномиальной теоремы и определения степенного ряда экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел: ^{[8] [7]}

${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Обзор [ править ]

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или уменьшается со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Одна из таких ситуаций представляет собой постоянно усугубляемый интерес , и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 г. ^[9] к числу

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

теперь известен как e . Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучил исчисление экспоненциальной функции. ^[9]

Если основная сумма 1 приносит проценты по годовой ставке x , начисленные ежемесячно, тогда проценты, получаемые каждый месяц, равныИкс/12умноженное на текущее значение, поэтому каждый месяц общее значение умножается на (1 +Икс/12) , а значение на конец года (1 +Икс/12) ¹² . Если вместо этого начисляются ежедневные проценты, это будет (1 +Икс/365) ³⁶⁵ . Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, мы получим предельное определение экспоненциальной функции,

${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

впервые дан Леонардом Эйлером . ^[8] Это одна из нескольких характеристик экспоненциальной функции ; другие включают ряды или дифференциальные уравнения .

Из любого из этих определений можно показать, что экспоненциальная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень ,

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp x\exp y}$

что оправдывает обозначение e ^x для exp x .

Производная (скорость изменения) экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией. В более общем смысле, функция со скоростью изменения, пропорциональной самой функции (а не равной ей), может быть выражена через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному убыванию .

Экспоненциальная функция продолжается до целой функции на комплексной плоскости . Формула Эйлера связывает свои значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями . У экспоненциальной функции также есть аналоги, для которых аргументом является матрица или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли .

Производные и дифференциальные уравнения [ править ]

Важность экспоненциальной функции в математике и науках проистекает главным образом из ее свойства как уникальной функции, которая равна своей производной и равна 1, когда x = 0 . То есть,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$

Функции вида ce ^x для константы c - единственные функции, которые равны своей производной (по теореме Пикара – Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое:

• Наклон графика в любой точке - это высота функции в этой точке.
• Скорость увеличения функции в точке x равна значению функции в точке x .
• Функция решает дифференциальное уравнение y ′ = y .
• exp - фиксированная точка производной как функционала .

Если скорость роста или распада переменной пропорциональна ее размеру - как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианскую катастрофу ), непрерывно начисляемых процентов или радиоактивного распада - тогда переменная может быть записана как постоянная, умноженная на экспоненциальную функцию времени. . Явно для любой действительной константы k функция f : R → R удовлетворяет условию f ′ = kf тогда и только тогда, когда f ( x ) = ce ^kx для некоторой константы c . Постоянная k называетсяпостоянная распада , постоянная распад , ^[10] константа скорости , ^[11] или постоянное преобразование . ^[12]

Кроме того, для любой дифференцируемой функции f ( x ) по цепному правилу находим :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.}$

Продолжение дробей для e ^x [ править ]

Непрерывная дробь для е ^х может быть получена с помощью тождества Эйлера :

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

Следующая обобщенная цепная дробь для e ^z сходится быстрее: ^[13]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

или, применив замену z =Икс/у:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

со специальным случаем для z = 2 :

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, при z > 2 . Например:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Комплексная плоскость [ править ]

Как и в реальном случае, экспоненциальная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах. Наиболее распространенное определение комплексной экспоненциальной функции соответствует определению степенного ряда для вещественных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:

${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$

В качестве альтернативы, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной на сложную:

${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$

Для определения степенного ряда почленное умножение двух копий этого степенного ряда в смысле Коши , разрешенное теоремой Мертенса , показывает, что определяющее мультипликативное свойство экспоненциальных функций продолжает сохраняться для всех комплексных аргументов:

${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$

Определение комплексной экспоненциальной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции до сложных аргументов.

В частности, когда z = it ( t real), определение ряда дает разложение

${\displaystyle \exp it=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$

В этом разложении преобразование членов в действительную и мнимую части оправдывается абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части приведенного выше выражения фактически соответствуют разложениям в ряды cos t и sin t соответственно.

Это соответствие дает мотивацию для определения косинуса и синуса для всех сложных аргументов в терминах эквивалентного степенного ряда: ^[14]${\displaystyle \exp(\pm iz)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&:={\frac {\exp iz+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\quad {\text{and}}\\\sin z&:={\frac {\exp iz-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}{\text{for all }}z\in \mathbb {C} .}$

Определенные таким образом функции exp , cos и sin имеют бесконечные радиусы сходимости по критерию отношения и, следовательно, являются целыми функциями (т. Е. Голоморфными на ). Диапазон экспоненциальной функции равен , в то время как диапазоны комплексных функций синуса и косинуса полностью соответствуют теореме Пикара , которая утверждает, что диапазон непостоянной целой функции состоит либо из одного лакунарного значения , либо за его исключением .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Эти определения экспоненциальной и тригонометрической функций тривиально приводят к формуле Эйлера :

${\displaystyle \exp iz=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} }$.

В качестве альтернативы мы могли бы определить сложную экспоненциальную функцию на основе этого отношения. Если z = x + iy , где x и y действительны, то мы могли бы определить его экспоненту как

${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$

где exp , cos и sin в правой части знака определения должны интерпретироваться как функции действительной переменной, ранее определенной другими способами. ^[15]

Для , соотношение выполняется, так что для вещественного и отображает действительную прямую (mod 2 π ) в единичную окружность на комплексной плоскости. Кроме того, при переходе от к кривая, определяемая с помощью, отслеживает отрезок единичной окружности длины${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\exp it}}=\exp(-it)}$${\displaystyle |\exp it|=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t\mapsto \exp it}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp it}$

${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp it|dt=t_{0}}$,

начиная с z = 1 в комплексной плоскости и идя против часовой стрелки. Основываясь на этих наблюдениях и на том факте, что мера угла в радианах - это длина дуги на единичной окружности, образуемой углом, легко увидеть, что, ограничиваясь действительными аргументами, функции синуса и косинуса, определенные выше, совпадают с функции синуса и косинуса, введенные в элементарной математике через геометрические понятия.

Комплексная экспоненциальная функция периодична с периодом 2 πi и верна для всех .${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

Когда ее область определения расширяется от вещественной линии до комплексной плоскости, экспоненциальная функция сохраняет следующие свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\e^{0}=1\,\\e^{z}\neq 0\\{\tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$.

Расширение натурального логарифма до сложных аргументов дает комплексный логарифм log z , который является многозначной функцией .

Затем мы можем определить более общее возведение в степень:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$

для всех комплексных чисел z и w . Это также многозначная функция, даже если z вещественно. Это различие проблематично, так как многозначные функции log z и z ^w легко спутать с их однозначными эквивалентами при замене z действительным числом . Правило умножения показателей для случая положительных действительных чисел должно быть изменено в многозначном контексте:

( e ^z ) ^w ≠ e ^zw , а скорее ( e ^z ) ^w = e ^{( z + 2 niπ ) w,} многозначное по целым числам n

См. Отказ от тождества мощности и логарифма для получения дополнительной информации о проблемах с объединением полномочий.

Экспоненциальная функция отображает любую линию в комплексной плоскости в логарифмическую спираль в комплексной плоскости с центром в начале координат . Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна реальной оси, полученная спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна мнимой оси, полученная спираль представляет собой окружность некоторого радиуса.

• 3D-графики действительной части, мнимой части и модуля экспоненциальной функции
• г = Re ( е ^{х + iy} )

• z = Im ( е ^{x + iy} )

• z = | e ^{x + iy} |

Рассмотрение комплексной экспоненциальной функции как функции, включающей четыре действительные переменные:

${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$

график экспоненциальной функции представляет собой двумерную поверхность, изгибающуюся в четырех измерениях.

Начиная с окрашенной цветом части области xy , ниже представлены изображения графика, по-разному проецируемые в двух или трех измерениях.

• Графики комплексной экспоненциальной функции
• Ключ шахматной доски:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$

• Проекция на комплексную плоскость дальности (V / W). Сравните со следующей перспективной картинкой.

• Проекция в , и размеры, образуя расширяющийся рог или воронкообразную форму (задуман как 2-D перспективного изображения).${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

• Проекция в размеры y , v и w , создающая форму спирали. ( диапазон y расширен до ± 2 π , опять же как двумерное перспективное изображение).

На втором изображении показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:

• ноль отображается в 1
• действительная ось x отображается на положительную действительную ось v
• мнимая ось y оборачивается вокруг единичного круга с постоянной угловой скоростью
• значения с отрицательными действительными частями отображаются внутри единичного круга
• значения с положительными действительными частями отображаются за пределами единичного круга
• значения с постоянной действительной частью отображаются на круги с центром в нуле
• значения с постоянной мнимой частью отображаются на лучи, идущие от нуля

Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.

На третьем изображении показан график, вытянутый вдоль действительной оси x . Это показывает график является поверхностью вращения вокруг х осей графика вещественной экспоненциальной функции, производя рог или воронкообразную форму.

На четвертом изображении показан график, вытянутый по мнимой оси y . Это показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных значений y на самом деле не пересекается вдоль отрицательной действительной оси v , а вместо этого образует спиральную поверхность вокруг оси y . Из - за ее у значения было распространено на ± 2 П , этот образ также лучше изображает 2 л периодичность в воображаемом у значения.

Вычисление a ^b, где и a, и b являются сложными [ править ]

Комплексное возведение в степень a ^b можно определить путем преобразования a в полярные координаты и использования тождества ( e ^{ln a} ) ^b = a ^b :

${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$

Однако, когда b не является целым числом, эта функция многозначна , потому что θ не является уникальным (см. Отказ от тождеств мощности и логарифма ).

Матрицы и банаховы алгебры [ править ]

Определение степенного ряда показательной функции имеет смысл для квадратных матриц (для которых функция называется матрицей экспоненциальной ) и в более общий плане в любом унитальном банаховых алгебрах B . В этой установке, е ⁰ = 1 , и е ^х обратим с обратным е ^{- х} для любого х в B . Если xy = yx , то e ^{x + y} = e ^x e ^y , но это тождество может потерпеть неудачу для некоммутирующего xи у .

Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, e ^x можно определить как

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Или e ^x можно определить как f _x (1) , где f _x : R → B - решение дифференциального уравненияdf _x/dt( t ) = x  f _x ( t ) , с начальным условием f _x (0) = 1 ; отсюда следует , что ф _х ( т ) = е ^Те для каждого т в R .

Алгебры Ли [ править ]

Учитывая группу Ли G и связанный с ним алгебра Ли , то экспоненциальное отображение является отображением ↦ G , удовлетворяющих аналогичные свойства. Фактически, поскольку R - алгебра Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, обычная экспоненциальная функция для вещественных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли GL ( n , R ) обратимых матриц размера n × n имеет в качестве алгебры Ли M ( n , R ) , пространство всех n × n${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ матриц экспоненциальная функция для квадратных матриц является частным случаем экспоненциального отображения алгебры Ли.

Тождество exp ( x + y ) = exp x exp y может не работать для элементов алгебры Ли x и y, которые не коммутируют; формула Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа поставляет необходимые условия коррекции.

Трансцендентность [ править ]

Функция e ^z не входит в C ( z ) (т. Е. Не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами).

Для n различных комплексных чисел { a ₁ ,…, a _n } множество { e ^{a ₁ z} ,…, e ^{a _n z} } линейно независимо над C ( z ) .

Функция й ^г является трансцендентным над С ( г ) .

Вычисление [ править ]

При вычислении (приближении) экспоненциальной функции около аргумента 0 результат будет близок к 1, а вычисление значения разницы с помощью арифметики с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значащих цифр , что приведет к большая ошибка расчета, возможно, даже бессмысленный результат.${\displaystyle \exp x-1}$

Следуя предложению Уильяма Кахана , может быть полезно иметь специальную процедуру, часто вызываемую expm1, для вычисления e ^x - 1 напрямую, минуя вычисление e ^x . Например, если экспонента вычисляется с использованием ряда Тейлора

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$

можно использовать ряд Тейлора ${\displaystyle e^{x}-1:}$

${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$

Впервые это было реализовано в 1979 году в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C и предоставлялось несколькими калькуляторами, ^{[16] [17]} операционными системами (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[18] ), системами компьютерной алгебры и языками программирования ( например C99 ). ^[19]

В дополнении к базовым е , то IEEE 754-2008 стандарта определяет подобные экспоненциальные функции вблизи 0 для основания 2 и 10: и .${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$

Аналогичный подход был использован для логарифма (см. Lnp1 ). ^{[№ 3]}

Тождество в терминах гиперболического тангенса ,

${\displaystyle \operatorname {expm1} x=\exp x-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$

дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют expm1 x .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Энциклопедия науки и технологий Макгроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A .; Моисей, Климент Дж .; Мойер, Курт А. (1989), Современная физика , Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович , ISBN 0-03-004844-3
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Внешние ссылки [ править ]

• "Экспоненциальная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]