А Спираль Ферма или параболическая спираль является плоской кривой имени Пьера де Ферма . [1] Его представление в полярных координатах дается формулой
который описывает параболу с горизонтальной осью.
Спираль Ферма похожа на спираль Архимеда . Но у спирали Архимеда всегда одинаковое расстояние между соседними дугами, что неверно для спирали Ферма.
Как и другие спирали, спираль Ферма используется для непрерывного смешения кривых кривизны. [1]
В декартовых координатах
Спираль Ферма с полярным уравнением
может быть описана в декартовой системе координат ( х = г соз φ , у = г грех ф ) с помощью параметрического представления
Из параметрического представления и φ =r 2/а 2, r = √ x 2 + y 2 получаем представление уравнением :
Геометрические свойства
Подразделение самолета
Полная спираль Ферма (обе ветви) представляет собой гладкую кривую без двух точек , в отличие от архимедовой и гиперболической спирали . Он делит плоскость (как линию, круг или параболу) на две связанные области. Но это деление менее очевидно, чем деление линией, кругом или параболой. Неочевидно, с какой стороны принадлежит выбранная точка.
Полярный склон
Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула
для полярного наклона и его угла α между касательной к кривой и соответствующим полярным кругом (см. диаграмму).
Для спирали Ферма r = a √ φ получаем
Следовательно, угол наклона монотонно уменьшается.
Кривизна
Из формулы
для кривизны кривой с полярным уравнением r = r ( φ ) и его производными
получается кривизна спирали Ферма:
В начале координат кривизна равна 0. Следовательно, полная кривая имеет в начале координат точку перегиба, а ось x является ее касательной в этой точке.
Площадь между дугами
Площадь сектора спирали Ферма между двумя точками ( r ( φ 1 ), φ 1 ) и ( r ( φ 1 ), φ 1 ) равна
После увеличения обоих углов на 2 π получается
Следовательно, площадь A области между двумя соседними дугами равна
A зависит только от разницы двух углов, а не от самих углов.
В примере, показанном на схеме, все соседние полосы имеют одинаковую площадь: A 1 = A 2 = A 3 .
Это свойство используется в электротехнике для изготовления конденсаторов переменной емкости . [2]
Особый случай из-за Ферма
В 1636 году, Ферма написал письмо [3] к Мерсеннам , который содержит следующий частный случай:
Пусть φ 1 = 0, φ 2 = 2 π ; тогда площадь черной области (см. диаграмму) равна A 0 = a 2 π 2 , что составляет половину площади круга K 0 с радиусом r (2 π ) . Области между соседними кривыми (белая, синяя, желтая) имеют одинаковую площадь A = 2 a 2 π 2 . Следовательно:
- Площадь между двумя дугами спирали после полного поворота равна площади круга K 0 .
Длина дуги
Длину дуги спирали Ферма между двумя точками ( r ( φ 1 ), φ 1 ) можно вычислить с помощью интеграла :
Этот интеграл приводит к эллиптическому интегралу , который можно решить численно.
Инверсия круга
Инверсии на единичной окружности имеет в полярных координатах описания простого ( г , φ ) ↦ ( 1/р, φ ) .
- Образ спирали Ферма r = a √ φ при инверсии на единичной окружности представляет собой спираль литууса с полярным уравнением
- Когда φ = 1/а 2, обе кривые пересекаются в фиксированной точке единичной окружности.
- Касательная ( ось x ) в точке перегиба (начало координат) спирали Ферма отображается сама на себя и является асимптотической линией спирали lituus.
Золотое сечение и золотой угол
При филлотаксисе дисков , как в подсолнечнике и ромашке, сетка спиралей встречается в числах Фибоначчи, потому что дивергенция (угол следования в единой спирали) приближается к золотому сечению . Форма спиралей зависит от роста последовательно генерируемых элементов. При филлотаксисе зрелого диска , когда все элементы одинакового размера, форма спиралей такая же, как у спиралей Ферма - в идеале. Это потому, что спираль Ферма пересекает равные кольца с равными оборотами. Полная модель, предложенная Х. Фогелем в 1979 г. [4], такова:
где θ - угол, r - радиус или расстояние от центра, n - порядковый номер цветочка, а c - постоянный коэффициент масштабирования. Угол 137,508 ° - это золотой угол, который аппроксимируется соотношением чисел Фибоначчи . [5]
Полученный спиральный узор из единичных дисков следует отличать от спиралей Дойля , узоров, образованных касательными дисками геометрически увеличивающегося радиуса, размещенными на логарифмических спиралях .
Солнечные установки
Спираль Ферма также оказалась эффективной компоновкой для зеркал концентрированных солнечных электростанций . [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Анастасиос М. Леккас, Андреас Р. Даль, Мортен Брейвик, Тор И. Фоссен: «Построение траектории непрерывной кривизны с использованием спирали Ферма» . В кн . : Моделирование, идентификация и контроль . Vol. 2013, №4, 34, с. 183–198, ISSN 1890–1328 .
- ↑ Fritz Wicke: Einführung in die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013 г., ISBN 978-3-662-36804-6 , стр. 414.
- ↑ Lettre de Fermat à Mersenne du 3 июля 1636 года, данс Поль Таннери. В: Oeuvres de Fermat. Т. III, С. 277, Lire en ligne.
- ^ Фогель, Х (1979). «Лучший способ построить голову подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (44): 179–189. DOI : 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 .
- ^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Springer-Verlag. С. 101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Нет, Кори Дж .; Торрилхон, Мануэль; Мицос, Александр (декабрь 2011 г.). «Оптимизация поля гелиостата: новая эффективная с вычислительной точки зрения модель и биомиметическая схема». Солнечная энергия . DOI : 10.1016 / j.solener.2011.12.007 .
дальнейшее чтение
- Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С. 31, 186 . ISBN 0-486-60288-5.
Внешние ссылки
- Спираль Ферма в Британской энциклопедии
- "Спираль Ферма" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
- Природные спирали Ферма, в sciencenews.org