Резюме Уравнения Линия-элемент в координатах Бойера-Линдквиста:
d τ 2 знак равно ( 1 - 2 р - ℧ 2 Σ ) d т 2 - Σ Δ d р 2 - Σ d θ 2 - χ Σ грех 2 θ d ϕ 2 + 2 Λ Σ d т d ϕ {\ Displaystyle {\ rm {d \ tau ^ {2} \ = \ \ left (1 - {\ frac {2r- \ mho ^ {2}} {\ Sigma}} \ right) \ mathrm {d} t ^ {2} \ - \ {\ frac {\ Sigma} {\ Delta}} \ \ mathrm {d} r ^ {2} \ - \ \ Sigma \ d \ theta ^ {2} \ - \ {\ frac {\ chi} {\ Sigma}} \ \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi ^ {2} \ + \ 2 \ {\ frac {\ Lambda} {\ Sigma}} \ dt \ d \ phi}}}
Сокращенные термины:
Δ знак равно р 2 - 2 р + а 2 + ℧ 2 , Σ знак равно р 2 + а 2 потому что 2 θ , χ знак равно ( а 2 + р 2 ) 2 - а 2 грех 2 θ Δ , Λ знак равно а ( 2 р - ℧ 2 ) грех 2 θ {\ Displaystyle {\ rm {\ Delta = r ^ {2} -2r + a ^ {2} + \ mho ^ {2} \, \ \ Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} \ \ cos ^ {2} \ theta \, \ \ chi = (a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2} -a ^ {2} \ \ sin ^ {2} \ theta \ \ Delta \, \ \ \ Lambda = a \ (2r- \ mho ^ {2}) \ \ sin ^ {2} \ theta}}}
с безразмерным параметром спина a = Jc / G / M² и безразмерным параметром электрического заряда ℧ = Q ₑ / M · √ (K / G). Здесь G = M = c = K = 1, так что a = J и ℧ = Q ₑ, с длинами в GM / c² и временем в GM / c³.
Ко- и контравариантная метрика:
грамм μ ν знак равно ( 1 - 2 р - ℧ 2 Σ 0 0 Λ Σ 0 - Σ Δ 0 0 0 0 - Σ 0 Λ Σ 0 0 - χ грех 2 θ Σ ) → грамм μ ν знак равно ( χ Δ Σ 0 0 - а ( ℧ 2 - 2 р ) Σ ( ℧ 2 - 2 р + Σ ) χ - а Λ 0 - Δ Σ 0 0 0 0 - 1 Σ 0 - а ( ℧ 2 - 2 р ) Σ ( ℧ 2 - 2 р + Σ ) χ - а Λ 0 0 - Δ - а 2 грех 2 θ Δ Σ грех 2 θ ) {\ Displaystyle {г _ {\ му \ ню} = {\ rm {\ left ({\ begin {array} {cccc} {\ rm {1 - {\ frac {2r- \ mho ^ {2}} {\ Sigma) }}}} & 0 & 0 & {\ frac {\ Lambda} {\ Sigma}} \\ 0 & {\ rm {- {\ frac {\ Sigma} {\ Delta}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ rm {- \ Sigma }} & 0 \\ {\ frac {\ Lambda} {\ Sigma}} & 0 & 0 & - {\ frac {\ chi \ sin ^ {2} \ theta} {\ Sigma}} \ \ end {array}} \ right)} } \ \ to \ g ^ {\ mu \ nu} = {\ rm {\ left ({\ begin {array} {cccc} {\ rm {\ frac {\ chi} {\ Delta \ Sigma}}} & 0 & 0 & { \ rm {- {\ frac {a \ left ({\ rm {\ mho ^ {2} -2r}} \ right) \ Sigma} {\ rm {\ left ({\ rm {\ mho ^ {2} - 2r + \ Sigma}} \ right) \ chi -a \ Lambda}}}}} \\ 0 & {\ rm {- {\ frac {\ Delta} {\ Sigma}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ rm {- {\ frac {1} {\ Sigma}}}} & 0 \\ {\ rm {- {\ frac {a \ left ({\ rm {\ mho ^ {2} -2r}} \ right) \ Sigma} { \ rm {\ left ({\ rm {\ mho ^ {2} -2r + \ Sigma}} \ right) \ chi -a \ Lambda}}}}} & 0 & 0 & {\ rm {- {\ frac {\ Delta -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ Delta \ Sigma \ sin ^ {2} \ theta}}}} \\\ end {array}} \ right)}}}}
Контравариантный тензор Максвелла:
F μ ν знак равно ( 0 - 4 ( а 2 + р 2 ) ℧ ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 - 2 р 2 ) ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 - 8 а 2 р ℧ грех ( 2 θ ) ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 0 4 ( а 2 + р 2 ) ℧ ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 - 2 р 2 ) ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 0 0 а ℧ ( а 2 потому что 2 θ - р 2 ) ( р 2 + а 2 потому что 2 θ ) 3 8 а 2 р ℧ грех ( 2 θ ) ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 0 0 16 а р ℧ детская кроватка θ ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 0 а ℧ ( р 2 - а 2 потому что 2 θ ) ( р 2 + а 2 потому что 2 θ ) 3 - 16 а р ℧ детская кроватка θ ( потому что ( 2 θ ) а 2 + а 2 + 2 р 2 ) 3 0 ) {\ displaystyle {\ rm {F}} ^ {\ mu \ nu} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & - {\ frac {\ rm {4 (a ^ {2} + r ^ { 2}) \ \ mho \ (\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} -2r ^ {2})}} {\ rm {(\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2}) ^ {3}}}} & - {\ frac {\ rm {8a ^ {2} r \ \ mho \ sin (2 \ theta)} } {\ rm {(\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2}) ^ {3}}}} & 0 \\ {\ frac {\ rm {4 (a ^ {2} + r ^ {2}) \ \ mho \ (\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} -2r ^ {2})}} {\ rm { (\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2}) ^ {3}}}} & 0 & 0 & {\ frac {a \ \ mho \ (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta -r ^ {2})} {(r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta) ^ {3}}} \\ {\ frac { \ rm {8a ^ {2} r \ \ mho \ sin (2 \ theta)}} {\ rm {(\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2 }) ^ {3}}}} & 0 & 0 & {\ frac {\ rm {16a \ r \ \ mho \ cot \ theta}} {\ rm {(\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2}) ^ {3}}}} \\ 0 & {\ frac {\ rm {a \ \ mho \ (r ^ {2} -a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta)}} {\ rm {(r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta) ^ {3}}}} & - {\ frac {\ rm {16a \ r \ \ mho \ cot \ theta}} {\ rm {(\ cos (2 \ theta) \ a ^ {2} + a ^ {2} + 2r ^ {2}) ^ {3}}}} & 0 \\\ конец {массив}} \ right)}
Координатное ускорение пробной частицы с удельным зарядом q определяется выражением
Икс ¨ я знак равно - ∑ j знак равно 1 4 ∑ k знак равно 1 4 Икс ˙ j Икс ˙ k Γ j k я + q F я k Икс ˙ j грамм j k {\ displaystyle {\ rm {{\ ddot {x}} ^ {i} = - \ sum _ {j = 1} ^ {4} \ sum _ {k = 1} ^ {4} {\ dot {x} } ^ {j} \ {\ dot {x}} ^ {k} \ \ Gamma _ {jk} ^ {i} + q \ {F ^ {ik}} \ {{\ dot {x}} ^ {j }}}} \ {g _ {\ rm {jk}}}}
с символами Кристоффеля
Γ j k я знак равно ∑ s знак равно 1 4 грамм я s 2 ( ∂ грамм s j ∂ Икс k + ∂ грамм s k ∂ Икс j - ∂ грамм j k ∂ Икс s ) {\ displaystyle \ Gamma _ {\ rm {jk}} ^ {\ rm {i}} = \ sum _ {\ rm {s = 1}} ^ {4} {\ frac {g ^ {\ rm {is} }} {2}} \ left ({\ frac {\ partial {g} _ {\ rm {sj}}} {\ partial {\ rm {x ^ {k}}}}}} + {\ frac {\ partial {g} _ {\ rm {sk}}} {\ partial {\ rm {x ^ {j}}}}} - {\ frac {\ partial {g} _ {\ rm {jk}}} {\ partial {\ rm {x ^ {s}}}}} \ right)}
Итак, вторые производные по собственному времени равны
т ¨ знак равно - ( а 2 θ ˙ ( грех ( 2 θ ) ( q ℧ р + ( ℧ 2 - 2 р ) т ˙ ) - 2 а грех 3 θ потому что θ ( ℧ 2 - 2 р ) ϕ ˙ ) + {\ Displaystyle {\ rm {{\ ddot {t}} = - (a ^ {2} \ {\ dot {\ theta}} \ (\ sin (2 \ theta) (q \ \ mho \ r + (\ mho) ^ {2} -2r) \ {\ dot {t}}) - 2a \ sin ^ {3} \ theta \ cos \ theta \ (\ mho ^ {2} -2r) \ {\ dot {\ phi}} ) +}}} ( р ˙ ( ( а 2 + р 2 ) ( а 2 потому что 2 θ ( q ℧ - 2 т ˙ ) + р ( 2 ( р - ℧ 2 ) т ˙ - q ℧ р ) ) + а грех 2 θ ϕ ˙ ( 2 а 4 потому что 2 θ + {\ displaystyle {\ rm {({\ dot {r}} \ ((a ^ {2} + r ^ {2}) (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ (q \ mho - 2 {\ dot {t}}) + r (2 \ (r- \ mho ^ {2}) {\ dot {t}} - q \ \ mho \ r)) + a \ sin ^ {2} \ theta \ {\ точка {\ phi}} \ (2a ^ {4} \ cos ^ {2} \ theta +}}} а 2 ℧ 2 р ( потому что ( 2 θ ) + 3 ) - а 2 р 2 ( потому что ( 2 θ ) + 3 ) + 4 ℧ 2 р 3 - 6 р 4 ) ) ) / ( а 2 + ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) ) / ( ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 2 ) {\ displaystyle {\ rm {a ^ {2} \ mho ^ {2} r \ (\ cos (2 \ theta) +3) -a ^ {2} r ^ {2} (\ cos (2 \ theta) +3) +4 \ mho ^ {2} r ^ {3} -6r ^ {4}))) / (a ^ {2} + (r-2) r + \ mho ^ {2})) / (( а ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) ^ {2})}}}
для временной составляющей,
р ¨ знак равно ( а 2 θ ˙ грех ( 2 θ ) р ˙ ) / ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) + р ˙ 2 ( ( р - 1 ) / ( а 2 + ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) - р / ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) ) + {\ displaystyle {\ rm {{\ ddot {r}} = (a ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ sin (2 \ theta) \ {\ dot {r}}) / (a ^ { 2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) + {\ dot {r}} ^ {2} ((r-1) / (a ^ {2} + (r-2) \ r + \ mho ^ {2}) - r / (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2})) +}}} ( ( а 2 + ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) ( 8 а грех 2 θ ϕ ˙ ( а 2 потому что 2 θ ( q ℧ - 2 т ˙ ) + р ( 2 ( р - ℧ 2 ) т ˙ - q ℧ р ) ) + {\ displaystyle {\ rm {((a ^ {2} + (r-2) \ r + \ mho ^ {2}) (8a \ sin ^ {2} \ theta \ {\ dot {\ phi}} \ ( a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ (q \ \ mho -2 {\ dot {t}}) + r (2 (r- \ mho ^ {2}) {\ dot {t}} -q \ \ mho \ r)) +}}} 8 т ˙ ( а 2 потому что 2 θ ( т ˙ - q ℧ ) + р ( q ℧ р + ( ℧ 2 - р ) т ˙ ) ) + 8 р θ ˙ 2 ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 2 + {\ displaystyle {\ rm {8 {\ dot {t}} \ (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ ({\ dot {t}} - q \ \ mho) + r \ (q \ \ mho \ r + (\ mho ^ {2} -r) \ {\ dot {t}})) + 8r \ {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) ^ {2} +}}} грех 2 θ ϕ ˙ 2 ( 2 а 4 грех 2 ( 2 θ ) + р ( а 2 ( а 2 потому что ( 4 θ ) + 3 а 2 + 4 ( а - ℧ ) ( а + ℧ ) потому что ( 2 θ ) + 4 ℧ 2 ) + {\ displaystyle {\ rm {\ sin ^ {2} \ theta \ {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ (2a ^ {4} \ sin ^ {2} (2 \ theta) + r \ ( a ^ {2} (a ^ {2} \ cos (4 \ theta) + 3a ^ {2} +4 \ (a- \ mho) (a + \ mho) \ cos (2 \ theta) +4 \ mho ^ {2}) +}}} 8 р ( - а 2 грех 2 θ + 2 а 2 р потому что 2 θ + р 3 ) ) ) ) ) / ( 8 ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 3 ) {\ displaystyle {\ rm {8r \ (-a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2a ^ {2} r \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {3}))))) / (8 \ (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) ^ {3})}}}
для радиальной составляющей,
θ ¨ знак равно - ( 2 р θ ˙ р ˙ ) / ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) - ( а 2 грех θ потому что θ р ˙ 2 ) / ( ( а 2 + ( р - 2 ) р + {\ displaystyle {\ rm {{\ ddot {\ theta}} = - (2r \ {\ dot {\ theta}} \ {\ dot {r}}) / (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) - (a ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ {\ dot {r}} ^ {2}) / ((a ^ {2} + (r-2 ) \ r +}}} ℧ 2 ) ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) ) + ( грех ( 2 θ ) ( а 2 ( 8 θ ˙ 2 ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 2 - 8 т ˙ ( 2 q ℧ р + {\ Displaystyle {\ rm {\ mho ^ {2}) (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2})) + (\ sin (2 \ theta) (a ^ {2 } (8 {\ dot {\ theta}} ^ {2} (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) ^ {2} -8 {\ dot {t}} ( 2q \ \ mho \ r +}}} ( ℧ 2 - 2 р ) т ˙ ) ) + 16 а ( а 2 + р 2 ) ϕ ˙ ( q ℧ р + ( ℧ 2 - 2 р ) т ˙ ) + ϕ ˙ 2 ( 3 а 6 + 11 а 4 р 2 + 10 а 4 р - {\ displaystyle {\ rm {(\ mho ^ {2} -2r) \ {\ dot {t}})) + 16a \ (a ^ {2} + r ^ {2}) \ {\ dot {\ phi }} (q \ \ mho \ r + (\ mho ^ {2} -2r) \ {\ dot {t}}) + {\ dot {\ phi}} ^ {2} (3a ^ {6} + 11a ^ {4} r ^ {2} + 10a ^ {4} r-}}} 5 а 4 ℧ 2 + 4 а 2 ( а 2 + 2 р 2 ) потому что ( 2 θ ) ( а 2 + ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) - 8 а 2 ℧ 2 р 2 + 16 а 2 р 4 + 16 а 2 р 3 + а 4 потому что ( 4 θ ) ( а 2 + {\ displaystyle {\ rm {5a ^ {4} \ mho ^ {2} + 4a ^ {2} (a ^ {2} + 2r ^ {2}) \ cos (2 \ theta) (a ^ {2} + (r-2) r + \ mho ^ {2}) - 8a ^ {2} \ mho ^ {2} r ^ {2} + 16a ^ {2} r ^ {4} + 16a ^ {2} r ^ {3} + a ^ {4} \ cos (4 \ theta) (a ^ {2} +}}} ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) + 8 р 6 ) ) ) / ( 16 ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 3 ) {\ displaystyle {\ rm {(r-2) r + \ mho ^ {2}) + 8r ^ {6}))) / (16 (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ { 2}) ^ {3})}}}
полоидальная составляющая и
ϕ ¨ знак равно - ( ( р ˙ ( 4 а q ℧ ( а 2 потому что 2 θ - р 2 ) - 8 а т ˙ ( а 2 потому что 2 θ + р ( ℧ 2 - р ) ) + ϕ ˙ ( 2 а 4 грех 2 ( 2 θ ) + {\ displaystyle {\ rm {{\ ddot {\ phi}} = - (({\ dot {r}} (4a \ q \ \ mho \ (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta -r) ^ {2}) - 8a \ {\ dot {t}} (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r \ (\ mho ^ {2} -r)) + {\ dot {\ phi }} \ (2a ^ {4} \ sin ^ {2} (2 \ theta) +}}} 8 р 3 ( а 2 потому что ( 2 θ ) + а 2 + ℧ 2 ) + а 2 р ( а 2 ( 4 потому что ( 2 θ ) + потому что ( 4 θ ) ) + 3 а 2 + 8 ℧ 2 ) - 4 а 2 р 2 ( потому что ( 2 θ ) + 3 ) + 8 р 5 - 16 р 4 ) ) ) / ( а 2 + {\ Displaystyle {\ rm {8r ^ {3} (a ^ {2} \ cos (2 \ theta) + a ^ {2} + \ mho ^ {2}) + a ^ {2} r \ (a ^ {2} (4 \ cos (2 \ theta) + \ cos (4 \ theta)) + 3a ^ {2} +8 \ mho ^ {2}) - 4a ^ {2} r ^ {2} (\ cos (2 \ theta) +3) + 8r ^ {5} -16r ^ {4}))) / (a ^ {2} +}}} ( р - 2 ) р + ℧ 2 ) + θ ˙ ( ϕ ˙ ( а 4 ( - грех ( 4 θ ) ) - 2 а 2 грех ( 2 θ ) ( 3 а 2 + 4 ( р - 1 ) р + 2 ℧ 2 ) + 8 ( а 2 + р 2 ) 2 детская кроватка θ ) + {\ displaystyle {\ rm {(r-2) \ r + \ mho ^ {2}) + {\ dot {\ theta}} \ ({\ dot {\ phi}} \ (a ^ {4} (- \ sin (4 \ theta)) - 2a ^ {2} \ sin (2 \ theta) (3a ^ {2} +4 (r-1) r + 2 \ mho ^ {2}) + 8 \ (a ^ { 2} + r ^ {2}) ^ {2} \ cot \ theta) +}}} 8 а детская кроватка θ ( q ℧ р + ( ℧ 2 - 2 р ) т ˙ ) ) ) / ( 4 ( а 2 потому что 2 θ + р 2 ) 2 ) {\ displaystyle {\ rm {8a \ cot \ theta \ (q \ \ mho \ r + (\ mho ^ {2} -2r) \ {\ dot {t}}))) / (4 (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2}) ^ {2})}}}
для осевой составляющей 4-го ускорения. Общее замедление времени равно
т ˙ {\ displaystyle {\ rm {\ dot {t}}}} знак равно csc 2 θ ( L z ( а Δ грех 2 θ - а ( а 2 + р 2 ) грех 2 θ ) - q ℧ р ( а 2 + р 2 ) грех 2 θ + E ( ( а 2 + р 2 ) 2 грех 2 θ - а 2 Δ грех 4 θ ) ) Δ Σ {\ displaystyle {\ rm {= {\ frac {\ csc ^ {2} \ theta \ ({L_ {z}}) (a \ \ Delta \ sin ^ {2} \ theta -a \ (a ^ {2}) + r ^ {2}) \ sin ^ {2} \ theta) -q \ \ mho \ r \ (a ^ {2} + r ^ {2}) \ sin ^ {2} \ theta + E ((a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -a ^ {2} \ Delta \ sin ^ {4} \ theta))} {\ Delta \ Sigma}}} }} знак равно а ( L z - а E грех 2 θ ) + ( р 2 + а 2 ) п / Δ Σ {\ displaystyle {\ rm {= {\ frac {a (L_ {z} -aE \ sin ^ {2} \ theta) + (r ^ {2} + a ^ {2}) P / \ Delta} {\ Сигма}}}}}
где дифференцирование идет по собственному времени τ для заряженных (q 0) и нейтральных (q = 0) частиц (μ = -1, v <1), а для безмассовых частиц (μ = 0, v = 1) - по величине пространственный аффинный параметр ŝ. Связь между первыми производными по собственному времени и локальными компонентами трех скоростей относительно ZAMO имеет вид
р ˙ знак равно v р Δ Σ ( 1 - μ 2 v 2 ) знак равно S я грамм п ( v р ) V р Σ θ ˙ знак равно v θ Σ ( 1 - μ 2 v 2 ) знак равно S я грамм п ( v θ ) V θ Σ {\ displaystyle {\ rm {{\ dot {r}} = {\ frac {v_ {r} {\ sqrt {\ Delta}}}} {\ sqrt {\ Sigma (1- \ mu ^ {2} v ^ { 2})}}}}} = {\ frac {{\ rm {Sign}} ({\ rm {v_ {r}) {\ sqrt {\ rm {V_ {r}}}}}}}} {\ Sigma }} \ \ \ \ \ \ \ \ {\ rm {{\ dot {\ theta}} = {\ frac {v _ {\ theta}} {\ sqrt {\ Sigma (1- \ mu ^ {2} v ^ {2})}}} = {\ frac {\ rm {Знак (v _ {\ theta}) {\ sqrt {\ rm {V _ {\ theta}}}}}} {\ Sigma}}}}}
ϕ ˙ знак равно а ( а 2 E - а L z - Δ E - q р ℧ + E р 2 ) + Δ L z csc 2 θ Δ Σ {\ displaystyle {\ dot {\ phi}} {\ rm {= {\ frac {a \ left (a ^ {2} E-aL_ {z} - \ Delta E-qr \ mho + Er ^ {2} \ вправо) + \ Delta L_ {z} \ csc ^ {2} \ theta} {\ Delta \ Sigma}}}}}
Местная трехскорость с точки зрения положения и постоянных движения равна
v знак равно | - а 2 L z 2 Σ 2 ( ℧ 2 - 2 р ) 2 + 2 а L z Σ χ ( 2 р - ℧ 2 ) ( E Σ - q р ℧ ) + χ ( Δ Σ 3 - χ ( E Σ - q р ℧ ) 2 ) а L z Σ ( ℧ 2 - 2 р ) + χ ( E Σ - q р ℧ ) | {\ Displaystyle {\ rm {v = \ left | {\ frac {\ sqrt {-a ^ {2} L_ {z} ^ {2} \ Sigma ^ {2} \ left (\ mho ^ {2} -2r \ right) ^ {2} + 2aL_ {z} \ Sigma \ chi \ left (2r- \ mho ^ {2} \ right) (E \ Sigma -qr \ mho) + \ chi \ left (\ Delta \ Sigma ^ {3} - \ chi (E \ Sigma -qr \ mho) ^ {2} \ right)}} {aL_ {z} \ Sigma \ left (\ mho ^ {2} -2r \ right) + \ chi (E \ Sigma -qr \ mho)}} \ right |}}}
что сводится к
v знак равно χ ( E - L z Ω ) 2 - Δ Σ χ ( E - L z Ω ) 2 знак равно т ˙ 2 - ς 2 т ˙ {\ displaystyle {\ rm {v = {\ sqrt {\ frac {\ chi \ (E-L_ {z} \ \ Omega) ^ {2} - \ Delta \ \ Sigma} {\ chi \ (E-L_ { z} \ \ Omega) ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {{\ dot {t}} ^ {2} - \ varsigma ^ {2}}} {\ dot {t}}}} }}
если заряд пробной частицы q = 0. Скорость убегания заряженной частицы с нулевым орбитальным угловым моментом равна
v е s c знак равно | а 4 потому что 4 θ ( Δ Σ - χ ) + 2 а 2 р потому что 2 θ ( q χ ℧ + Δ р Σ - р χ ) + р 2 ( - q 2 χ ℧ 2 + 2 q р χ ℧ + р 2 ( Δ Σ - χ ) ) χ ( а 2 потому что 2 θ + р ( р - q ℧ ) ) | {\ displaystyle {\ rm {v_ {esc} = \ left | {\ frac {\ sqrt {a ^ {4} \ cos ^ {4} \ theta (\ Delta \ Sigma - \ chi) + 2a ^ {2}) r \ cos ^ {2} \ theta (q \ chi \ mho + \ Delta r \ Sigma -r \ chi) + r ^ {2} \ left (-q ^ {2} \ chi \ mho ^ {2} + 2qr \ chi \ mho + r ^ {2} (\ Delta \ Sigma - \ chi) \ right)}} {{\ sqrt {\ chi}} \ left (a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + r (rq \ mho) \ right)}} \ right |}}}
которое для нейтральной пробной частицы с q = 0 сводится к
v е s c знак равно ς 2 - 1 ς {\ displaystyle {\ rm {v_ {esc}}} = {\ frac {\ sqrt {\ varsigma ^ {2} -1}} {\ varsigma}}}
с гравитационным замедлением времени локально стационарного ZAMO
ς знак равно d т d τ знак равно | грамм т т | знак равно χ Δ Σ {\ displaystyle \ varsigma = {\ frac {\ rm {dt}} {\ rm {d \ tau}}} = {\ sqrt {| g ^ {\ rm {tt}} |}} = {\ sqrt {\ гидроразрыв {\ chi} {\ Delta \ \ Sigma}}}}
что бесконечно на горизонте. Замедление времени глобально стационарной частицы (относительно неподвижных звезд) равно
σ знак равно d т d τ знак равно | 1 / грамм т т | знак равно 1 1 - 2 р - ℧ 2 Σ {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ rm {dt}} {\ rm {d \ tau}}} = {\ sqrt {| 1 / g _ {\ rm {tt}} |}} = {\ frac { 1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ rm {2r- \ mho ^ {2}}} {\ Sigma}}}}}}
что бесконечно в эргосфере. Угловая скорость перетаскивания кадра, наблюдаемая на бесконечности, равна
ω знак равно | грамм т ϕ грамм ϕ ϕ | знак равно а ( 2 р - ℧ 2 ) / χ {\ displaystyle \ omega = \ left | {\ frac {g _ {\ rm {t \ phi}}} {g _ {\ phi \ phi}}} \ right | = {\ rm {a \ left (2r- \ mho ^ {2} \ right) / \ chi}}}
Следовательно, локальная скорость увлечения системы отсчета относительно неподвижных звезд равна
v ϕ знак равно грамм т ϕ грамм т ϕ знак равно 1 - грамм т т грамм т т знак равно | грамм т ϕ грамм ϕ ϕ грамм т т грамм ϕ ϕ | знак равно ω р ¯ ϕ ς {\ Displaystyle v _ {\ phi} = {\ sqrt {g _ {\ rm {t \ phi}} \ g ^ {\ rm {t \ phi}}}} = {\ sqrt {1-g _ {\ rm {tt }} \ g ^ {\ rm {tt}}}} = | {\ frac {g _ {\ rm {t \ phi}}} {g _ {\ rm {\ phi \ phi}}}} {\ sqrt {g ^ {\ rm {tt}}}} \ {\ sqrt {g _ {\ rm {\ phi \ phi}}}} | = \ omega {\ bar {\ rm {R}}} _ {\ phi} \ varsigma }
который равен c в эргосфере. Осевой радиус инерции составляет
р ¯ ϕ знак равно | грамм ϕ ϕ | знак равно χ Σ грех θ {\ displaystyle {\ bar {\ rm {R}}} _ {\ phi} = {\ sqrt {| g _ {\ phi \ phi} |}} = {\ sqrt {\ frac {\ chi} {\ Sigma} }} \ \ sin \ theta}
3 сохраняемые величины: 1) полная энергия:
E знак равно грамм т т т ˙ + грамм т ϕ ϕ ˙ + q А т знак равно т ˙ ( 1 - 2 р - ℧ 2 Σ ) + ϕ ˙ а грех 2 θ ( 2 р - ℧ 2 ) Σ + ℧ q р Σ знак равно Δ Σ ( 1 - μ 2 v 2 ) χ + ω L z + ℧ q р Σ {\ displaystyle {{\ rm {E}} = g _ {\ rm {tt}} \ {\ dot {\ rm {t}}} + g _ {\ rm {t \ phi}} \ {\ rm {{\ точка {\ phi}} + {\ rm {q \ A_ {t} = {\ dot {t}} \ left (1 - {\ frac {2r- \ mho ^ {2}} {\ Sigma}} \ right ) + {\ dot {\ phi}} {\ frac {a \ sin ^ {2} \ theta \ left (2r- \ mho ^ {2} \ right)} {\ Sigma}} + {\ frac {\ mho \ q \ r} {\ Sigma}} = {\ rm {{\ sqrt {\ frac {\ Delta \ \ Sigma} {(1- \ mu ^ {2} v ^ {2}) \ \ chi}}} + \ omega \ L_ {z} + {\ frac {\ mho \ q \ r} {\ Sigma}}}}}}}}}}
2) осевой угловой момент:
L z знак равно - грамм ϕ ϕ ϕ ˙ - грамм т ϕ т ˙ - q А ϕ знак равно ϕ ˙ χ грех 2 θ Σ - т ˙ а грех 2 θ ( 2 р - Q 2 ) Σ + а р ℧ q грех 2 θ Σ знак равно v ϕ р ¯ ϕ 1 - μ 2 v 2 + ( 1 - μ 2 v 2 ) а р ℧ q грех 2 θ Σ {\ displaystyle {\ rm {L_ {z}}} = - g _ {\ phi \ phi} \ {\ dot {\ phi}} - g _ {\ rm {t \ phi}} \ {\ rm {{\ dot {t}} - q \ A _ {\ phi} = {\ rm {{\ frac {{\ dot {\ phi}} \ \ chi \ sin ^ {2} \ theta} {\ Sigma}} - {\ frac {{\ dot {t}} \ a \ \ sin ^ {2} \ theta \ left (2r-Q ^ {2} \ right)} {\ Sigma}} + {\ frac {a \ r \ \ mho \ q \ \ sin ^ {2} \ theta} {\ Sigma}}}} = {\ frac {v _ {\ phi} \ {\ bar {R}} _ {\ phi}} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2} \ v ^ {2}}}} + {\ frac {(1- \ mu ^ {2} v ^ {2}) \ a \ r \ \ mho \ q \ \ sin ^ {2} \ тета} {\ Sigma}}}}}
3) постоянная Картера:
Q знак равно v θ 2 Σ 1 - μ 2 v 2 + потому что 2 θ ( а 2 ( μ 2 - E 2 ) + L z 2 грех 2 θ ) {\ Displaystyle {\ rm {Q = {\ frac {{v _ {\ theta}} ^ {2} \ \ Sigma} {1- \ mu ^ {2} v ^ {2}}} + \ cos ^ {2 } \ theta \ left (a ^ {2} (\ mu ^ {2} -E ^ {2}) + {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \верно)}}}
Эффективный радиальный потенциал, нулевые корни которого определяют точки поворота, равен
V р знак равно п 2 - Δ ( ( L z - а E ) 2 + Q + μ 2 р 2 ) {\ Displaystyle {\ rm {V_ {r} = P ^ {2} - \ Delta \ left ((L_ {z} -aE) ^ {2} + Q + \ mu ^ {2} r ^ {2} \ right )}}}
и полоидальный потенциал
V θ знак равно v θ 2 Σ 1 - μ 2 v 2 знак равно Q - потому что 2 θ ( а 2 ( μ 2 - E 2 ) + L z 2 грех 2 θ ) {\ displaystyle {\ rm {V _ {\ theta} = {\ frac {{v _ {\ theta}} ^ {2} \ \ Sigma} {1- \ mu ^ {2} v ^ {2}}} = Q - \ cos ^ {2} \ theta \ left (a ^ {2} \ left (\ mu ^ {2} -E ^ {2} \ right) + {\ frac {\ rm {L_ {z} ^ {2 }}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right)}}}
с параметром
п знак равно E ( а 2 + р 2 ) - а L z + q р ℧ {\ displaystyle {\ rm {P = E \ left (a ^ {2} + r ^ {2} \ right) -aL_ {z} + qr \ mho}}}
Азимутальные и широтные параметры удара равны
б ϕ знак равно L z E , б θ знак равно Q E 2 {\ displaystyle {\ rm {b _ {\ phi} = {\ frac {L_ {z}} {E}} \, \ \ b _ {\ theta} = {\ sqrt {\ frac {Q} {E ^ {2 }}}}}}}
Горизонты и эргосферы имеют радиус Бойера-Линдквиста
р ЧАС ± знак равно 1 ± 1 - а 2 - ℧ 2 , р E ± знак равно 1 ± 1 - а 2 потому что 2 θ - ℧ 2 {\ displaystyle {\ rm {r_ {H} ^ {\ pm} = 1 \ pm {\ sqrt {1-a ^ {2} - \ mho ^ {2}}}}} \, \ \ {\ rm { r_ {E} ^ {\ pm} = 1 \ pm {\ sqrt {\ rm {1-a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta - \ mho ^ {2}}}}}}}
В этой статье полный эквивалент массы M, который также содержит энергию вращения и электрического поля, установлен равным 1; связь M с неприводимой массой есть
M я р р знак равно 2 M 2 - ℧ 2 + 2 M M 2 - ℧ 2 - а 2 2 → M знак равно 16 M я р р 4 + 8 M я р р 2 ℧ 2 + ℧ 4 16 M я р р 2 - 4 а 2 {\ displaystyle {\ rm {M _ {\ rm {irr}} = {\ frac {\ sqrt {2M ^ {2} - \ mho ^ {2} + 2M {\ sqrt {M ^ {2} - \ mho ^) {2} -a ^ {2}}}}} {2}} \ \ to \ M = {\ sqrt {\ frac {16M _ {\ rm {irr}} ^ {4} + 8M _ {\ rm {irr} } ^ {2} \ \ mho ^ {2} + \ mho ^ {4}} {16M _ {\ rm {irr}} ^ {2} -4a ^ {2}}}}}}}
где a в единицах M.
Лицензирование Я, владелец авторских прав на это произведение, публикую его под следующей лицензией:
Этот файл находится под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International . Ты свободен: делиться - копировать, распространять и передавать произведениеремикс - адаптировать произведение При следующих условиях: Атрибуция - вы должны указать соответствующий источник, предоставить ссылку на лицензию и указать, были ли внесены изменения. Вы можете сделать это любым разумным способом, но не любым способом, который предполагает, что лицензиар одобряет вас или ваше использование.делиться одинаково - если вы ремикшируете, трансформируете или опираетесь на материал, вы должны распространять свои материалы по той же или совместимой лицензии, что и оригинал. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Лицензия Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 правда правда
английский вращающаяся и заряженная черная дыра
Немецкий rotierendes und geladenes schwarzes Loch
inception<\/a>"}},"text\/plain":{"en":{"":"inception"}}},"{\"value\":{\"time\":\"+2018-04-10T00:00:00Z\",\"timezone\":0,\"before\":0,\"after\":0,\"precision\":11,\"calendarmodel\":\"http:\\\/\\\/www.wikidata.org\\\/entity\\\/Q1985727\"},\"type\":\"time\"}":{"text\/html":{"en":{"P571":"10 April 2018"}},"text\/plain":{"en":{"P571":"10 April 2018"}}}}" class="wbmi-entityview-statementsGroup wbmi-entityview-statementsGroup-P571 oo-ui-layout oo-ui-panelLayout oo-ui-panelLayout-framed">