Теория конечных деформаций

В механике сплошной среды , то конечная теория деформации -также называется большой теория деформации или теория больших деформаций -deals с деформациями , в котором штаммы и / или вращения являются достаточно большими , чтобы аннулирование предположений , присущих бесконечно малой деформация теории . В этом случае недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются, что требует четкого различия между ними. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .

Смещение [ править ]

Смещение тела состоит из двух компонентов: смещения твердого тела и деформации.

• Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения (физика) и вращения тела без изменения его формы или размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (Рисунок 1).${\ Displaystyle \ каппа _ {0} ({\ mathcal {B}}) \, \!}$${\ Displaystyle \ каппа _ {т} ({\ mathcal {B}}) \, \!}$

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещения . Поле смещения представляет собой векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение твердого тела.

Материальные координаты (описание Лагранжа) [ править ]

Смещение частиц, индексируемое переменной i, можно выразить следующим образом. Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации , называется вектором смещения . Используя вместо и вместо , оба из которых являются векторами от начала системы координат до каждой соответствующей точки, мы получаем лагранжевое описание вектора смещения:${\ Displaystyle P_ {я} \, \!}$${\ displaystyle p_ {i} \, \!}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} \, \!}$${\ Displaystyle P_ {я} \, \!}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} \, \!}$${\ displaystyle p_ {i} \, \!}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i} \, \!}$

Где ортонормированные единичные векторы, которые определяют основу пространственной (лабораторной) системы координат.${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$

Выраженное в терминах материальных координат поле смещения:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}\,\!}$

Где вектор смещения, представляющий перенос твердого тела.${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$

Частная производная от смещения вектора по отношению к материалу координатам дает материал тензор градиента смещения . Таким образом, мы имеем${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} =\mathbf {F} -\mathbf {I} \qquad &{\text{or}}&\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}=F_{iK}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$

где - тензор градиента деформации .${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$

Пространственные координаты (описание Эйлера) [ править ]

В эйлеровом описании вектор, идущий от частицы в недеформированной конфигурации до ее местоположения в деформированной конфигурации, называется вектором смещения :${\displaystyle P\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}\,\!}$

Где единичные векторы, определяющие основу системы координат материала (тело-рама).${\displaystyle \mathbf {E} _{i}\,\!}$

Выраженное в терминах пространственных координат поле смещения:

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,\!}$

Частная производная вектора смещения по пространственным координатам дает тензор градиента пространственного смещения . Таким образом, мы имеем${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\qquad &{\text{or}}&\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\delta _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,.\end{aligned}}}$

Взаимосвязь между материальной и пространственной системами координат [ править ]

${\displaystyle \alpha _{Ji}\,\!}$- направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами и , соответственно. Таким образом${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}\,\!}$

Соотношение между и тогда дается выражением${\displaystyle u_{i}\,\!}$${\displaystyle U_{J}\,\!}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}\,\!}$

Знаю это

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}\,\!}$

тогда

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)\,\!}$

Объединение систем координат деформированной и недеформированной конфигураций [ править ]

Обычно системы координат для деформированной и недеформированной конфигураций накладываются друг на друга, в результате чего направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т. Е.${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}\,\!}$

Таким образом, в материальных (недеформированных) координатах смещение может быть выражено как:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\,\!}$

А в пространственных (деформированных) координатах смещение может быть выражено как:

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}\,\!}$

Тензор градиента деформации [ править ]

Градиент деформации тензор связан как с ссылкой и текущей конфигурации, как видно единичных векторов , и , следовательно, является тензор по двум точкам .${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

В связи с предположением о непрерывности , имеет обратное , где является пространственным тензором деформации градиента . Тогда по теореме о неявной функции , ^[1] якобиан определитель должен быть неособо , т.е.${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0\,\!}$

Тензор деформации градиента материал представляет собой тензор второго порядка , который представляет собой градиент функции отображения или функциональной зависимости , описывающей движение сплошной среды . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения , то есть деформацию в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) элемента линии материала, исходящего из этой точки, из исходной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность в функции отображения , т.е. дифференцируемой функции от и времени , из чего следует, что трещины${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}\,\!}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle t\,\!}$а пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\end{aligned}}\,\!}$

Вектор относительного смещения [ править ]

Рассмотрим частицу или материальную точку с вектором положения в недеформированной конфигурации (рисунок 2). После смещения тела новое положение частицы, обозначенное в новой конфигурации, определяется положением вектора . Системы координат для недеформированной и деформированной конфигурации могут быть совмещены для удобства.${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}\,\!}$${\displaystyle p\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Теперь рассмотрим соседнюю материальную точку с вектором положения . В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение, задаваемое вектором положения . Предполагая, что отрезки линии и соединяющие частицы и в недеформированной, и в деформированной конфигурации, соответственно, очень малы, мы можем выразить их как и . Таким образом, из рисунка 2 мы имеем${\displaystyle Q\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$${\displaystyle q\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle \Delta X\,\!}$${\displaystyle \Delta \mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle Q\,\!}$${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}\,\!}$

где - вектор относительного смещения , который представляет относительное смещение относительно в деформированной конфигурации.${\displaystyle \mathbf {du} \,\!}$${\displaystyle Q\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$

Приближение Тейлора [ править ]

Для бесконечно малого элемента и предполагая непрерывность поля смещения, можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точки , пренебрегая членами более высокого порядка, чтобы аппроксимировать компоненты вектора относительного смещения для соседней частицы как${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle Q\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}\,\!}$

Таким образом, предыдущее уравнение можно записать как${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}\,\!}$

Производная по времени от градиента деформации [ править ]

Расчеты, которые включают зависящую от времени деформацию тела, часто требуют вычисления производной по времени от градиента деформации. Геометрически согласованное определение такой производной требует экскурсии в дифференциальную геометрию ^[2], но мы избегаем этих вопросов в этой статье.

Производная по времени от равна${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$

где - скорость. Производная справа представляет градиент скорости материала . Обычно это преобразовывают в пространственный градиент, т. Е.${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$

где - градиент пространственной скорости . Если градиент пространственной скорости постоянен, указанное выше уравнение может быть решено точно, чтобы дать${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$

предполагая на . Есть несколько методов вычисления экспоненты выше.${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$${\displaystyle t=0}$

Связанные величины , часто используемые в механике сплошной среды , являются скоростью тензора деформации и тензор спина определен, соответственно, как:

${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$

Тензор скорости деформации дает скорость растяжения элементов линии, в то время как тензор спина указывает скорость вращения или завихренность движения.

Материальная производная по времени от обратного градиента деформации (сохраняя фиксированную эталонную конфигурацию) часто требуется в анализах, которые включают конечные деформации. Эта производная

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {F} ^{-1})=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$

Вышеупомянутое соотношение можно проверить, взяв материальную производную по времени и отметив это .${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Преобразование поверхности и элемента объема [ править ]

Чтобы преобразовать величины, которые определены относительно площадей в деформированной конфигурации, в те, которые относятся к площадям в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона, выраженное как

${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} \,\!}$

где - площадь области в деформированной конфигурации, - это та же область в эталонной конфигурации, и - внешняя нормаль к элементу области в текущей конфигурации, в то время как - внешняя нормаль в эталонной конфигурации, - градиент деформации , и .${\displaystyle da\,\!}$${\displaystyle dA\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {N} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

Соответствующая формула преобразования элемента объема:

${\displaystyle dv=J~dV\,\!}$

Вывод соотношения Нансона (см. Также [3] )

Чтобы увидеть, как выводится эта формула, мы начнем с ориентированных элементов площади в эталонной и текущей конфигурациях: ${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} \,\!}$ Справочный и текущий объемы элемента ${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} \,\!}$ где .${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$ Следовательно, ${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} \,\!}$ или же, ${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} \,\!}$ так, ${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}\,\!}$ Итак, мы получаем ${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} \,\!}$ или же, ${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} \qquad \qquad \square \,\!}$

Полярное разложение тензора градиента деформации [ править ]

Градиент деформации , как и любой обратимый тензор второго порядка, можно разложить, используя теорему о полярном разложении , в произведение двух тензоров второго порядка (Truesdell and Noll, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т. Е.${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} \,\!}$

где тензор - собственный ортогональный тензор , т. е. и , представляющий вращение; тензор - правый тензор растяжения ; и левый тензор растяжения . Члены справа и слева означают, что они находятся справа и слева от тензора вращения соответственно. и являются положительно определенными , т. е. и для всех ненулевых , и симметричных тензоров , т. е. и второго порядка.${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}\,\!}$${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0\,\!}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Это разложение подразумевает, что деформация линейного элемента в недеформированной конфигурации на деформированную конфигурацию, т. Е. Может быть получена либо сначала растяжением элемента на , т. Е. С последующим поворотом , т. Е. или, что эквивалентно, применяя сначала жесткое вращение , т. е. с последующим растяжением , т. е. (см. рисунок 3).${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} \,\!}$

Из-за ортогональности ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}\,\!}$

так что и имеют одинаковые собственные значения или главные отрезки , но разные собственные векторы или главные направления и , соответственно. Основные направления связаны между собой${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.\,\!}$

Это полярное разложение, которое уникально, поскольку обратимо с положительным определителем, является следствием разложения по сингулярным числам .${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$

Тензоры деформации [ править ]

В механике используется несколько не зависящих от вращения тензоров деформации. В механике твердого тела наиболее популярны правые и левые тензоры деформации Коши – Грина.

Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких деформаций в деформируемом теле, в механике сплошных сред часто удобно использовать независимые от вращения меры деформации . Поскольку вращение, за которым следует обратное вращение, не приводит к изменению ( ), мы можем исключить вращение, умножив его на транспонирование .${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$

Правый тензор деформации Коши – Грина [ править ]

В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши – Грина или тензор деформации Грина , определенный как: ^{[4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.\,\!}$

Физически тензор Коши – Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т. Е. ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \,\!}$

Инварианты часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты :${\displaystyle \mathbf {C} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}\,\!}$

где - коэффициенты растяжения для единичных волокон, которые изначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (эталонного) тензора растяжения (обычно они не выровнены по трем осям систем координат).${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$

Тензор деформации пальца [ править ]

ИЮПАК рекомендует ^[5] , что обратная правого тензора деформации Коши-Грина ( так называемый тензор Коши в этом документе), т.е. , можно назвать тензором пальцев . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике.${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\,\!}$

Левый тензор деформации Коши – Грина или Фингера [ править ]

Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина – Коши приводит к левому тензору деформации Коши – Грина, который определяется как:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,\!}$

Левый тензор деформации Коши – Грина часто называют тензором деформации Фингера в честь Джозефа Фингера (1894 г.). ^{[5] [6] [7]}

Инварианты также используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}\,\!}$

где - определитель градиента деформации.${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} \,\!}$

Для несжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов:

${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J=1)~.\,\!}$

Тензор деформации Коши [ править ]

Ранее в 1828 году, ^[8] Коши ввел тензор деформации определяется как обратный тензор деформации левой Коши-Грин, . Этот тензор также называют тензором Пиолы ^[5] и тензором Фингера ^[9] в литературе по реологии и гидродинамике.${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}\,\!}$

Спектральное представление [ править ]

Если есть три различные главные растягивает , что спектральные разложения на и задаются${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {C} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$

${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}\,\!}$

Более того,

${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\,\!}$

Заметьте, что

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\,\!}$

Следовательно, из единственности спектрального разложения следует и это . Левое растяжение ( ) также называется тензором пространственного растяжения, а правое растяжение ( ) называется тензором растяжения материала .${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

В результате воздействия на вектор растягивается и вращается в новой ориентации , т. Е.${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {N} _{i}\,\!}$${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}\,\!}$

В том же духе,

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.\,\!}$

Примеры

Одноосное удлинение несжимаемого материала Это тот случай , когда образец растянут в 1-направлении с натяжным соотношении от . Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях такое, что или . Потом:${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}\,\!}$ Простой сдвиг ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!}$ Вращение жесткого тела ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} \,\!}$

Производные от stretch [ править ]

Производные растяжения относительно правого тензора деформации Коши – Грина используются для вывода соотношений напряжение-деформация многих твердых тел, особенно гиперупругих материалов . Эти производные

${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3\,\!}$

и из наблюдений следует, что

${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.\,\!}$

Физическая интерпретация тензоров деформации [ править ]

Пусть будет декартовой системой координат, определенной на недеформированном теле, и пусть будет другой системой, определенной на деформированном теле. Пусть кривая недеформированного тела параметризуется с помощью . Его изображение в деформированном теле есть .${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

Недеформированная длина кривой определяется выражением

${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$

После деформации длина становится равной

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$

Отметим, что правый тензор деформации Коши – Грина определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$

Следовательно,

${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$

что указывает на то, что изменения длины характеризуются .${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Тензоры конечных деформаций [ править ]

Концепция деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. ^{[1] [10]} Одной из таких деформаций для больших деформаций является лагранжев тензор конечных деформаций , также называемый тензором деформаций Грина-Лагранжа или тензором деформаций Грина-Сен-Венана , определяемый как

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,\!}$

или как функция тензора градиента смещения

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!}$

или же

${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\,\!}$

Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько сильно отличается от .${\displaystyle \mathbf {C} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

Тензор конечной деформации Эйлерово-Альманзите , привязан к деформированной конфигурации, т.е. эйлерова описания, определяются как

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,\!}$

или как функция градиентов смещения мы имеем

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\,\!}$

Вывод тензоров лагранжевых и эйлеровых конечных деформаций

Мерой деформации является разница между квадратами элемента дифференциальной линии в недеформированной конфигурации и в деформированной конфигурации (рис. 2). Деформация произошла, если разница не равна нулю, иначе произошло смещение твердого тела. Таким образом, мы имеем${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}\,\!}$ В лагранжевом описании, используя материальные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид ${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}\,\!}$ Тогда у нас есть ${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}\,\!}$ где находятся компоненты правого тензора деформации Коши-Грина , . Затем, заменив это уравнение первым уравнением, мы имеем${\displaystyle C_{KL}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}\,\!}$ или же ${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}\,\!}$ где , - компоненты тензора второго порядка, называемого тензором деформаций Грина - Сен-Венана или лагранжевым тензором конечных деформаций ,${\displaystyle E_{KL}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,\!}$ В описании Эйлера, используя пространственные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид ${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}\,\!}$ где находятся компоненты тензора деформации пространственного градиента , . Таким образом, мы имеем${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}\,\!}$ где второй порядок тензор называется тензор деформации Коши , . Тогда у нас есть${\displaystyle c_{rs}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}\,\!}$ или же ${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}\,\!}$ где , - компоненты тензора второго порядка, называемого тензором конечных деформаций Эйлера-Альманси ,${\displaystyle e_{rs}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,\!}$ И лагранжев, и эйлеров тензоры конечных деформаций удобно выразить через тензор градиента смещения . Для тензора лагранжевой деформации сначала мы дифференцируем вектор смещения относительно материальных координат, чтобы получить тензор градиента смещения материала : ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle X_{M}\,\!}$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\\end{aligned}}\,\!}$ Подставляя это уравнение в выражение для лагранжевого тензора конечных деформаций, имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}\,\!}$ или же ${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}\,\!}$ Аналогично тензор конечных деформаций Эйлера-Альманси может быть выражен как ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\,\!}$