Фиксированная точка (математика)

Функция с тремя фиксированными точками

В математике , А с фиксированной точка (иногда сокращается до фиксированной точки , также известная как инвариантная точка ) продукта в виде функции является элементом функции в области , отображенная себе функцию. То есть c является неподвижной точкой функции f, если f ( c ) = c . Это означает, что f ( f (... f ( c ) ...)) = f ⁿ ( c ) = c , важное завершающее рассмотрение при рекурсивном вычисленииf . Множество неподвижных точек иногда называют фиксированный набор .

Например, если f определяется действительными числами как

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} -3x + 4,}$

тогда 2 - неподвижная точка f , потому что f (2) = 2.

Не все функции имеют фиксированные точки: например, f ( x ) = x  + 1, не имеет фиксированных точек, поскольку x никогда не равен x  + 1 для любого действительного числа. В графических терминах, фиксированная точка х означает , что точка ( х , е ( х )) находится на линии у  =  х , или другими словами, граф из F имеет общую точку с этой линией.

Точки, которые возвращаются к одному и тому же значению после конечного числа итераций функции, называются периодическими точками . Фиксированная точка является периодическая точка с периодом , равным единице. В проективной геометрии неподвижная точка проективности называется двойной точкой . ^{[1] [2]}

В теории Галуа множество неподвижных точек множества полевых автоморфизмов - это поле, называемое фиксированным полем множества автоморфизмов.

Привлечение фиксированных точек [ править ]

Итерация с фиксированной точкой x _{n +1}  = cos x _n с начальным значением x ₁ = -1.

Привлечения неподвижной точки некоторой функция F является неподвижной точкой х ₀ из F таким образом, что при любом значении х в области , что является достаточно близко к й ₀ , в итерированную функции последовательности

${\ Displaystyle х, \ е (х), \ е (е (х)), \ е (е (е (х))), \ точки}$

сходится к x ₀ . Выражение предпосылок и доказательство существования такого решения дается теоремой Банаха о неподвижной точке .

Функция естественного косинуса («натуральный» означает в радианах , а не в градусах или других единицах) имеет ровно одну фиксированную точку, которая притягивает. В этом случае «достаточно близко» вовсе не является строгим критерием - чтобы продемонстрировать это, начните с любого действительного числа и несколько раз нажмите клавишу cos на калькуляторе (сначала проверьте, находится ли калькулятор в режиме «радиан»). В конечном итоге она сходится к 0,739085133, что является фиксированной точкой. Вот где график функции косинуса пересекает линию . ^[3]${\ displaystyle y = x}$

Не все фиксированные точки привлекают внимание. Например, x = 0 является фиксированной точкой функции f ( x ) = 2 x , но итерация этой функции для любого значения, отличного от нуля, быстро расходится. Однако, если функция f непрерывно дифференцируема в открытой окрестности неподвижной точки x ₀ , и , притяжение гарантировано.${\ Displaystyle | е \, '(x_ {0}) | <1}$

Притягивание неподвижных точек - это частный случай более широкого математического понятия аттракторов .

Притягивающая неподвижная точка называется устойчивой неподвижной точкой, если она также устойчива по Ляпунову .

Фиксированная точка называется нейтрально устойчивой фиксированной точкой, если она устойчива по Ляпунову, но не притягивает. Центр линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является примером нейтрально устойчивой неподвижной точки.

Множественные точки притяжения могут быть собраны в фиксированном наборе притяжения .

Приложения [ править ]

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Во многих областях равновесие или стабильность являются фундаментальными понятиями, которые можно описать в терминах неподвижных точек. Ниже приведены некоторые примеры.

• В экономике , равновесие Нэша из игры является фиксированной точкой игры лучшего ответа соответствия . Джон Нэш использовал теорему Какутани о неподвижной точке в своей основополагающей статье, которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.

• В физике , точнее в теории фазовых переходов , линеаризация вблизи неустойчивой фиксированной точки привела к работе Вильсона , получившей Нобелевскую премию, по изобретению ренормализационной группы и к математическому объяснению термина « критическое явление ». ^{[4] [5]}

• Компиляторы языков программирования используют вычисления с фиксированной точкой для анализа программ, например, в анализе потока данных , который часто требуется для оптимизации кода . Они также являются основным понятием, используемым в абстрактной интерпретации метода анализа общих программ . ^[6]

• В теории типов комбинатор с фиксированной точкой позволяет определять рекурсивные функции в нетипизированном лямбда-исчислении .

• Вектор значений PageRank всех веб-страниц является фиксированной точкой линейного преобразования, полученного из ссылочной структуры World Wide Web .

• Стационарное распределение цепи Маркова является фиксированной точкой функции вероятности одношагового перехода.

• Логик Саул Крипке использует фиксированные точки в своей влиятельной теории истины. Он показывает, как можно сгенерировать частично определенный предикат истины (тот, который остается неопределенным для проблемных предложений, таких как « Это предложение не соответствует действительности »), рекурсивно определяя «истину», начиная с сегмента языка, который не содержит вхождений слова, и продолжается до тех пор, пока процесс не перестанет давать новые четко определенные предложения. (Это требует счетного бесконечного количества шагов.) То есть, для языка L пусть L '(читается как «L-простое число») будет языком, созданным добавлением к L, для каждого предложения S в L предложение « S равно истина. "Фиксированная точка достигается, когда L 'равно L; здесь предложения вроде "Это предложение не соответствует действительности"остаются неопределенными, поэтому, согласно Крипке, теория подходит для естественного языка, который содержит свой собственный предикат истинности.

Свойство топологической фиксированной точки [ править ]

Топологическое пространство называется имеет свойство неподвижной точки (FPP) , если для любой непрерывной функции${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X}$

существует такое что .${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle е (х) = х}$

FPP является топологическим инвариантом , т.е. сохраняется при любом гомеоморфизме . FPP также сохраняется при любом отзыве .

Согласно теореме Брауэра о неподвижной точке , каждое компактное и выпуклое подмножество из евклидова пространства имеет FPP. Сама по себе компактность не подразумевает FPP, а выпуклость даже не является топологическим свойством, поэтому имеет смысл спросить, как топологически охарактеризовать FPP. В 1932 году Борсук спросил, может ли компактность вместе с сжимаемостью быть необходимым и достаточным условием для удержания FPP. Проблема была открыта в течение 20 лет, пока гипотеза не была опровергнута Киношита, который нашел пример компактного стягиваемого пространства без FPP. ^[7]

Обобщение на частичные порядки: prefixpoint и postfixpoint [ править ]

Понятие и терминология обобщены до частичного порядка . Пусть ≤ быть частичный порядок над множеством X , и пусть F : X → X функция над X . Тогда префиксная точка (также пишется как префиксная точка ) f - это любой p такой, что f ( p ) ≤ p . Аналогично, постфиксная точка (или постфиксная точка ) функции f - это любой p такой, что p ≤ f ( p ). ^[8]Один из способов выразить теорему Кнастера – Тарского - сказать, что у монотонной функции на полной решетке есть наименьшая фиксированная точка, которая совпадает с ее наименьшей префиксной точкой (и аналогично ее наибольшая фиксированная точка совпадает с ее наибольшей постфиксной точкой). Префиксные и постфиксные точки применяются в теоретической информатике . ^[9]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Элегантное решение для рисования фиксированной точки