Маятник Furuta

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Маятник Furuta»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Вращающийся перевернутый маятник: классический педагогический пример применения теории управления

Фурута маятник или вращательный перевернутый маятник, состоит из ведомого рычага , который вращается в горизонтальной плоскости и маятнике , прикрепленный к этой руке , которая может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Он был изобретен в 1992 году в Токийском технологическом институте Кацухиса Фурута ^{[1] [2] [3] [4]} и его коллегами. Это пример сложного нелинейного осциллятора, представляющего интерес в теории систем управления . Маятник underactuated и чрезвычайно нелинейный из - за гравитационные силы и муфты , вытекающих из Кориолиса и центростремительногосилы. С тех пор десятки, возможно, сотни статей и диссертаций использовали систему для демонстрации линейных и нелинейных законов управления. ^{[5] [6] [7]} Система также была предметом двух текстов. ^{[8] [9]}

Уравнения движения [ править ]

Несмотря на большое внимание, уделяемое системе, очень немногие публикации успешно извлекают (или используют) полную динамику. Многие авторы ^{[3] [8]} рассматривали инерцию вращения маятника только для одной главной оси (или вообще пренебрегали ею ^[9] ). Другими словами, тензор инерции имеет только один ненулевой элемент (или его нет), а оставшиеся два диагональных члена равны нулю. Можно найти систему маятника, в которой момент инерции по одной из трех главных осей приблизительно равен нулю, но не двум.

Несколько авторов ^{[2] [4] [6] [10] [11] [12]} рассмотрели тонкие симметричные маятники, в которых моменты инерции для двух главных осей равны, а оставшийся момент инерции равен нулю. Из десятков публикаций, рассмотренных для этой вики, только одна статья конференции ^[13] и статья журнала ^{[14], как} было обнаружено, включают все три основных инерционных члена маятника. Обе статьи использовали лагранжевую формулировку, но каждая содержала незначительные ошибки (предположительно типографские).

Представленные здесь уравнения движения являются выдержкой из статьи ^[15] о динамике маятника Фурута, разработанной в Университете Аделаиды .

Определения [ править ]

Рассмотрим вращающийся перевернутый маятник, установленный на двигателе постоянного тока, как показано на рис. 1. Двигатель постоянного тока используется для приложения крутящего момента к рычагу 1. Связь между рычагом 1 и рычагом 2 не приводится в действие, но может вращаться. Две руки имеют длину и . Руки имеют массы и которые расположены на и соответственно, которые являются длинами от точки поворота рычага до его центра масс. Плечи имеют тензоры инерции и (относительно центра масс плеч соответственно). Каждое вращательное соединение имеет вязкое демпфирование с коэффициентами демпфирования и , где - демпфирование, обеспечиваемое подшипниками двигателя и ${\ Displaystyle \ тау _ {1}}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle l_ {1}}$${\ displaystyle l_ {2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$ это демпфирование, возникающее из-за шарнирного соединения между рычагом 1 и рычагом 2.

Правая система координат использовалась для определения входов, состояний и декартовых систем координат 1 и 2. Оси координат плеча 1 и плеча 2 являются главными осями, так что тензоры инерции диагональны.

Угловое вращение рычага 1 измеряется в горизонтальной плоскости, где направление против часовой стрелки (если смотреть сверху) является положительным. Угловое вращение рычага 2 измеряется в вертикальной плоскости, где направление против часовой стрелки (если смотреть спереди) является положительным. Когда рука опущена в устойчивом положении равновесия .${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{2}=0}$

Крутящий момент, который серводвигатель прикладывает к рычагу 1, положительный в направлении против часовой стрелки (если смотреть сверху). Возмущающий момент,, воспринимается рычагом 2, где направление против часовой стрелки (если смотреть спереди) является положительным.${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$

Предположения [ править ]

Перед выводом динамики системы необходимо сделать ряд предположений. Эти:

• Предполагается, что вал двигателя и рычаг 1 жестко соединены и имеют неограниченную жесткость.
• Предполагается, что плечо 2 бесконечно жесткое.
• Оси координат Arm1 и Arm 2 являются главными осями, так что тензоры инерции диагональны.
• Предполагается, что инерцией ротора двигателя можно пренебречь. Однако этот член можно легко добавить к моменту инерции плеча 1.
• Учитывается только вязкое демпфирование. Все другие формы демпфирования (например, кулоновские) не учитывались, однако добавить это к окончательной управляющей DE несложно.

Нелинейные уравнения движения [ править ]

Нелинейные уравнения движения приведены в ^[15]

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left(J_{1zz}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}+(J_{2yy}+m_{2}l_{2}^{2})\sin ^{2}(\theta _{2})+J_{2xx}\cos ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(2\theta _{2})(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2yy}-J_{2xx})+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

а также

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2zz})+1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2})(-m_{2}l_{2}^{2}-J_{2yy}+J_{2xx})+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

Упрощения [ править ]

Большинство маятников Furuta, как правило, имеют длинные тонкие плечи, так что момент инерции вдоль оси плеч пренебрежимо мал. Кроме того, большинство плеч обладают симметрией вращения, так что моменты инерции в двух главных осях равны. Таким образом, тензоры инерции можно аппроксимировать следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}=diag[J_{1xx},J_{1yy},J_{1zz}]=diag[0,J_{1},J_{1}]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}=diag[J_{2xx},J_{2yy},J_{2zz}]=diag[0,J_{2},J_{2}]}$

Дальнейшие упрощения можно получить, сделав следующие замены. Общий момент инерции рычага 1 относительно точки поворота (с использованием теоремы о параллельности осей) равен . Полный момент инерции рычага 2 относительно его точки поворота равен . Наконец, определите общий момент инерции, который испытывает ротор двигателя, когда маятник (плечо 2) находится в положении равновесия (свисает вертикально вниз) ,.${\displaystyle {\hat {J_{1}}}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}}$${\displaystyle {\hat {J_{2}}}=J_{2}+m_{2}l_{2}^{2}}$${\displaystyle {\hat {J_{0}}}={\hat {J}}_{1}+m_{2}L_{1}^{2}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}}$

Подстановка предыдущих определений в управляющие DE дает более компактную форму

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left({\hat {J_{0}}}+{\hat {J_{2}}}\sin ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

а также

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}{\hat {J_{2}}}-1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

См. Также [ править ]

• Перевернутый маятник
• Двойной перевернутый маятник
• Маятник инерционного колеса
• Самобалансирующийся одноколесный велосипед

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• О динамике маятника Фурута
• Маятник Фуруты: консервативная нелинейная модель для теории и практики

Внешние ссылки [ править ]

• Университет Аделаиды
• Университет Торонто
• Государственный университет Огайо
• Пример вращающегося перевернутого маятника