В римановой геометрии и псевдо-римановой геометрии , то уравнения Гаусса-Кодацци (также называемые уравнения Гаусса-Кодацци-Mainardi или Гаусса-Петерсона-Кодацци Формулы [1] ) являются фундаментальными формулы , которые связывают вместе индуцированной метрикой и второй фундаментальной формы подмногообразие (или погружение в) риманова или псевдориманова многообразия .
Уравнения были первоначально обнаружены в контексте поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве . В этом контексте первое уравнение, часто называемое уравнением Гаусса (в честь его первооткрывателя Карла Фридриха Гаусса ), говорит, что кривизна поверхности по Гауссу в любой заданной точке диктуется производными карты Гаусса в этой точке, как кодируется второй основной формой . [2] Второе уравнение, называемое уравнением Кодацци или уравнением Кодацци-Майнарди , утверждает, что ковариантная производная второй фундаментальной формы полностью симметрична. Он назван в честь Гаспаре Майнарди.(1856) и Дельфино Кодацци (1868–1869), которые независимо получили результат [3], хотя он был открыт ранее Карлом Михайловичем Петерсоном . [4] [5]
Официальное заявление
Позволять - n -мерное вложенное подмногообразие риманова многообразия P размерности. Существует естественное включение касательного расслоения из М в том , что из Р с помощью прямого образом , а Коядро этого нормального расслоения на М :
Метрика разбивает эту короткую точную последовательность , и поэтому
Относительно этого расщепления связь Леви-Чивита из Р разлагается в тангенциальные и нормальные компоненты. Для каждогои векторное поле Y на M ,
Позволять
Формула Гаусса [6] [ требуется пояснение ] теперь утверждает, чтоявляется связностью Леви-Чивиты для M , иявляется симметричной векторнозначной формой со значениями в нормальном расслоении. Его часто называют второй фундаментальной формой .
Непосредственным следствием является уравнение Гаусса . Для,
где есть тензор кривизны Римана из Р и Р является то , что M .
Уравнение Вейнгартена является аналогом формулы Гаусса для связности в нормальном расслоении. Позволять а также нормальное векторное поле. Затем разложите объемлющую ковариантную производную отвдоль X на тангенциальную и нормальную составляющие:
потом
- Уравнение Вайнгартена :
- D X - метрическая связность в нормальном расслоении.
Таким образом, существует пара связностей:, определенная на касательном расслоении к M ; и D , определенный на нормальном расслоении М . Они объединяются , чтобы сформировать соединение по любому тензорного произведения копий T M и T ⊥ M . В частности, они определили ковариантную производную от:
Уравнение Кодацци – Майнарди имеет вид
Поскольку каждое погружение является, в частности, локальным вложением, приведенные выше формулы верны и для погружений.
Уравнения Гаусса – Кодацци в классической дифференциальной геометрии.
Постановка классических уравнений
В классической дифференциальной геометрии поверхностей уравнения Кодацци – Майнарди выражаются через вторую фундаментальную форму ( L , M , N ):
Формула Гаусса, в зависимости от того, как выбрать гауссову кривизну, может быть тавтологией . Это можно сформулировать как
где ( e , f , g ) - компоненты первой фундаментальной формы.
Вывод классических уравнений
Рассмотрим параметрическую поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,
где трехкомпонентные функции гладко зависят от упорядоченных пар ( u , v ) в некоторой открытой области U на uv- плоскости. Предположим , что эта поверхность является регулярным , а это означает , что векторы г U и г v являются линейно независимыми . Завершите это до базиса { r u , r v , n }, выбрав единичный вектор n, нормальный к поверхности. Вторые частные производные от r можно выразить с помощью символов Кристоффеля и второй фундаментальной формы.
Теорема Клеро утверждает, что частные производные коммутируют:
Если мы продифференцируем r uu по v и r uv по u , мы получим:
Теперь подставьте приведенные выше выражения для вторых производных и приравняйте коэффициенты при n :
Преобразование этого уравнения дает первое уравнение Кодацци – Майнарди.
Второе уравнение может быть получено аналогично.
Средняя кривизна
Пусть М гладкие м - мерное многообразие погружен в ( м + к ) -мерный гладкое многообразие P . Позволятьбыть локальным ортонормированный репер векторных полей , нормальных к М . Тогда мы можем написать:
Если бы сейчас является локальным ортонормированным репером (касательных векторных полей) на том же открытом подмножестве M , то мы можем определить среднюю кривизну погружения как
В частности, если M - гиперповерхность P , т. Е., то можно говорить только об одной средней кривизне. Погружение называется минимальным, если все тождественно равны нулю.
Обратите внимание, что средняя кривизна - это след или среднее значение второй фундаментальной формы для любого заданного компонента. Иногда средняя кривизна определяется умножением суммы в правой части на.
Теперь мы можем записать уравнения Гаусса – Кодацци в виде
Заключение договора компоненты дает нам
Заметим, что тензор в скобках симметричен и неотрицательно определен относительно . Предполагая, что M - гиперповерхность, это упрощается до
где а также а также . В этом случае получается еще одно сжатие,
где а также - соответствующие скалярные кривизны, а
Если , уравнение скалярной кривизны может быть более сложным.
Мы уже можем использовать эти уравнения, чтобы сделать некоторые выводы. Например, любое минимальное погружение [7] в круглую сферу должен иметь форму
где работает от 1 до а также
- лапласиан на M , а положительная константа.
Смотрите также
Заметки
- ^ Топоногов (2006)
- ^ Это уравнение является основой теоремы Гаусса egregium . Гаусс 1828 .
- ^ ( Клайн 1972 , стр. 885).
- ^ Петерсон (1853)
- ^ Иванов 2001 .
- ^ Терминология из Спивака, Том III.
- ^ Такахаши 1966
Рекомендации
Исторические ссылки
- Бонне, Оссиан (1867), «Мемуар о теории поверхностей, применимых на поверхности», Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151
- Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle координата curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Мат. Pura Appl. , 2 : 101–19
- Гаусс, Карл Фридрих (1828 г.), «Общие исследования кривых поверхностей» [Общие обсуждения криволинейных поверхностей], Comm. Soc. Должен. (на латыни), 6 («Общие обсуждения криволинейных поверхностей»)
- Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Уравнения Петерсона – Кодацци" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
- Майнарди, Гаспаре (1856), «Su la teoria generale delle superficie», Giornale dell 'Istituto Lombardo , 9 : 385–404
- Петерсон, Карл Михайлович (1853), Über die Biegung der Flächen , докторская диссертация, Дерптский университет.
Учебники
- ду Карму, Манфредо П. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Исправленное и обновленное второе издание. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2016. xvi + 510 с. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5
- ду Карму, Манфреду Пердигау. Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv + 300 с. ISBN 0-8176-3490-8
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми. Основы дифференциальной геометрии. Vol. II. Междунаучные трактаты по чистой и прикладной математике, № 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк-Лондон-Сидней, 1969 xv + 470 стр.
- О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 с. ISBN 0-12-526740-1
- В.А. Топоногов. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Краткое руководство . Birkhauser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2006. xiv + 206 с. ISBN 978-0-8176-4384-3 ; ISBN 0-8176-4384-2 .
Статьи
- Такахаши, Цунеро (1966), "Минимальные погружения римановых многообразий", Журнал математического общества Японии
- Саймонс, Джеймс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Аня. математики. (2) 88 (1968), 62–105.
Внешние ссылки
- Уравнения Петерсона – Майнарди – Кодацци - из Wolfram MathWorld
- Уравнения Петерсона – Кодацци.