Обобщенный круг , также называемый как «Cline» или «Кольцевой», представляет собой прямую линию или круг . Эта концепция в основном используется в инверсивной геометрии , потому что прямые и окружности имеют очень похожие свойства в этой геометрии и их лучше всего рассматривать вместе.
Геометрия инверсной плоскости формулируется на плоскости, продолженной одной бесконечно удаленной точкой . Тогда прямая линия рассматривается как одна из окружностей, проходящих через бесконечно удаленную асимптотическую точку. Фундаментальные преобразования в инверсивной геометрии, инверсии , обладают тем свойством, что они отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности. Преобразования Мёбиуса , являющиеся композициями инверсий, наследуют это свойство. Эти преобразования не обязательно сопоставляют линии с линиями и круги с кругами: они могут смешивать и то, и другое.
Инверсии бывают двух видов: инверсии на кругах и отражения на линиях. Поскольку эти два свойства имеют очень похожие свойства, мы объединяем их и говорим об инверсиях в обобщенных кругах.
Для любых трех различных точек на расширенной плоскости существует ровно одна обобщенная окружность, которая проходит через эти три точки.
Расширенная плоскость может быть идентифицирована со сферой с помощью стереографической проекции . Тогда бесконечно удаленная точка становится обычной точкой на сфере, а все обобщенные окружности становятся окружностями на сфере.
Уравнение в расширенной комплексной плоскости [ править ]
Расширенная плоскость инверсной геометрии может быть идентифицирована с расширенной комплексной плоскостью , так что уравнения комплексных чисел могут использоваться для описания линий, окружностей и инверсий.
Окружности Γ есть множество из точек г в плоскости, лежит в радиусе г от центральной точки Г .
Используя комплексную плоскость , мы можем рассматривать γ как комплексное число, а окружность Γ как набор комплексных чисел.
Используя свойство, состоящее в том, что комплексное число, умноженное на его сопряженное, дает нам квадрат модуля числа, и что его модуль является его евклидовым расстоянием от начала координат, мы можем выразить уравнение для Γ следующим образом:
Мы можем умножить это на действительную константу A, чтобы получить уравнение вида
где и D является реальными , а В и С являются комплексно сопряженными . Обращаясь к шагам, мы видим, что для того, чтобы это была окружность, квадрат радиуса должен быть равен BC / A 2 - D / A > 0. Таким образом, приведенное выше уравнение определяет обобщенную окружность всякий раз, когда AD <BC . Обратите внимание, что когда A равно нулю, это уравнение определяет прямую линию.
Преобразование w = 1 / z [ править ]
Теперь легко увидеть, что преобразование w = 1 / z переводит обобщенные окружности в обобщенные окружности:
Мы видим, что прямые, проходящие через начало координат ( A = D = 0), отображаются в прямые, проходящие через начало координат, прямые, не проходящие через начало координат ( A = 0; D ≠ 0), в круги, проходящие через начало координат, круги, проходящие через начало координат ( A ≠ 0; D = 0) к прямым, не проходящим через начало координат, и окружности, не проходящие через начало координат ( A ≠ 0; D ≠ 0), к окружностям, не проходящим через начало координат.
Представление эрмитовыми матрицами [ править ]
Данные, определяющие уравнение обобщенного круга
полезно представить в виде обратимой эрмитовой матрицы
Две такие обратимые эрмитовы матрицы задают один и тот же обобщенный круг тогда и только тогда, когда они отличаются на действительное кратное.
Для того, чтобы преобразовать обобщенный круг , описываемый с помощью преобразования Мёбиуса , принять обратное преобразования и сделать
Ссылки [ править ]
- Ганс Швердтфегер , Геометрия комплексных чисел , Courier Dover Publications , 1979 г.
- Майкл Хенле, «Современная геометрия: неевклидова, проективная и дискретная», 2-е издание, Прентис Холл , 2001 г.