Географическое расстояние

Геодезия
Основы Геодезия Геодинамика Геоматика История
Концепции Географическое расстояние Геоид Фигура Земли ( радиус Земли и окружность Земли ) Геодезические данные Геодезический Географическая система координат Горизонтальное представление положения Широта  / Долгота Проекция карты Справочный эллипсоид Спутниковая геодезия Система пространственной привязки Пространственные отношения
Технологии Global Nav. Сидел. Системы (ГНСС) Global Pos. Система (GPS) ГЛОНАСС (Россия) BeiDou (BDS) (Китай) Галилео (Европа) NAVIC (Индия) Квази-Зенит Сб. Sys. (QZSS) (Япония) Дискретная глобальная сетка и геокодирование
Стандарты (история) НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г. OSGB36 Обзор боеприпасов Великобритании, 1936 г. СК-42 Система Координат 1942 года ED50 Европейский датум 1950 г. SAD69 Южноамериканский датум 1969 г. GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г. ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г. NAD 83 Североамериканский датум 1983 г. WGS 84 Мировая геодезическая система 1984 НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г. ETRS89 Европейское наземное вещание Ref. Sys. 1989 г. GCJ-02 Китайские запутанные данные 2002 г. Географический URI Интернет-ссылка на точку 2010 Международная наземная система отсчета Идентификатор системы пространственной привязки (SRID) Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)
v т е

Географическое расстояние - это расстояние, измеренное вдоль поверхности земли . Формулы в этой статье рассчитывают расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы . Это расстояние является элементом решения второй (обратной) геодезической задачи .

Введение [ править ]

Расчет расстояния между географическими координатами основан на некотором уровне абстракции; он не дает точного расстояния, что недостижимо, если попытаться учесть все неровности на поверхности земли. ^[1] Общие абстракции для поверхности между двумя географическими точками:

• Плоская поверхность;
• Сферическая поверхность;
• Эллипсоидальная поверхность.

Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний, учитывающих изменения высоты относительно идеализированной поверхности, в этой статье не обсуждается.

Номенклатура [ править ]

Расстояние рассчитывается между двумя точками, и . Географические координаты двух точек в виде пар (широта, долгота): и соответственно. Какая из двух точек обозначена как неважно для расчета расстояния.${\ Displaystyle D, \, \!}$${\ Displaystyle P_ {1} \, \!}$${\ Displaystyle P_ {2} \, \!}$${\ displaystyle (\ phi _ {1}, \ lambda _ {1}) \, \!}$${\ displaystyle (\ phi _ {2}, \ lambda _ {2}), \, \!}$${\ Displaystyle P_ {1} \, \!}$

Координаты широты и долготы на картах обычно выражаются в градусах . В приведенных ниже формулах одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах для получения правильного результата. Если географические координаты используются в качестве аргумента тригонометрической функции, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции в градусах или радианах . Режим калькулятора должен быть совместим с единицами измерения геометрических координат.

Различия в широте и долготе помечаются и рассчитываются следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ phi & = \ phi _ {2} - \ phi _ {1}; \\\ Delta \ lambda & = \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} . \ конец {выровнено}} \, \!}$

При использовании в приведенных ниже формулах неважно, будет ли результат положительным или отрицательным.

«Средняя широта» обозначается и рассчитывается следующим образом:

${\ displaystyle \ phi _ {m} = {\ frac {\ phi _ {1} + \ phi _ {2}} {2}}. \, \!}$

Colatitude обозначается и рассчитывается следующим образом:

Для широт, выраженных в радианах:

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ phi; \, \!}$

Для широт, выраженных в градусах:

${\ Displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ} - \ phi. \, \!}$

Если не указано иное, радиус Земли для расчетов ниже равен:

${\ Displaystyle R \, \!}$= 6 371,009 км = 3 958 761 статутная миля = 3 440 069 морских миль .

${\ Displaystyle D _ {\,} \!}$ = Расстояние между двумя точками, измеренное по поверхности земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и неоднородность широты / долготы [ править ]

Долгота имеет особенности на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ± 180 ° . Кроме того, плоские проекции кругов постоянной широты у полюсов сильно изогнуты. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельты широты / долготы ( , ) и средней широты ( ) могут не дать ожидаемого ответа для позиций вблизи полюсов или меридиана ± 180 °. Рассмотрим, например, значение («смещение на восток»), когда и находятся по обе стороны от меридиана ± 180 °, или значение («средняя широта») для двух положений ( = 89 °, = 45 °) и ( = 89 °,${\ displaystyle \ Delta \ phi \!}$${\ displaystyle \ Delta \ lambda \!}$${\ displaystyle \ phi _ {m} \!}$${\ displaystyle \ Delta \ lambda \!}$${\displaystyle \lambda _{1}\!}$${\displaystyle \lambda _{2}\!}$${\displaystyle \phi _{m}\!}$${\displaystyle \phi _{1}\!}$${\displaystyle \lambda _{1}\!}$${\displaystyle \phi _{2}\!}$${\displaystyle \lambda _{2}\!}$= −135 °).

Если расчет, основанный на широте / долготе, должен быть действителен для всех положений Земли, следует проверить правильность обработки неоднородности и полюсов. Другое решение - использовать n -вектор вместо широты / долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или сингулярностей.

Формулы плоской поверхности [ править ]

Планарное приближение для поверхности Земли может быть полезно на небольших расстояниях. Точность вычислений расстояний с использованием этого приближения становится все более неточной, так как:

• Расстояние между точками становится больше;
• Точка становится ближе к географическому полюсу.

Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости - прямая. Теорема Пифагора используется для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Даже на небольших расстояниях точность вычислений географических расстояний, предполагающих наличие плоской Земли, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы проецируются на плоскость. Проекция координат широты и долготы на плоскость - это область картографии .

Формулы, представленные в этом разделе, обеспечивают разную степень точности.

Сферическая Земля в проекции на плоскость [ править ]

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами в зависимости от широты:

${\displaystyle D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{m})\Delta \lambda )^{2}}},}$

куда:

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$и указаны в радианах;${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{m}\,\!}$ должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения ${\displaystyle \cos(\phi _{m}).\,\!}$

Чтобы преобразовать широту или долготу в радианы, используйте

${\displaystyle 1^{\circ }=(\pi /180)\,\mathrm {radians} .}$

Это приближение очень быстрое и дает довольно точный результат для малых расстояний ^{[ необходима ссылка ]} . Кроме того, при упорядочивании местоположений по расстоянию, например, в запросе к базе данных, их быстрее упорядочить по квадрату расстояния, что устраняет необходимость в вычислении квадратного корня.

Эллипсоидальная Земля в проекции на плоскость [ править ]

FCC предусматривает следующие формулы для расстояния , не превышающих 475 километров (295 миль): ^[2]

${\displaystyle D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

куда

${\displaystyle D\,\!}$ = Расстояние в километрах;

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$и находятся в градусах;${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{m}\,\!}$ должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения ${\displaystyle \cos(\phi _{m});\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{m})+0.00120\cos(4\phi _{m});\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{m})-0.09455\cos(3\phi _{m})+0.00012\cos(5\phi _{m}).\end{aligned}}\,\!}$

Где и выражены в километрах на градус. Интересно отметить, что:${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M{\frac {\pi }{180}}\,\!}$ = километров на градус разницы широты;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{m})N{\frac {\pi }{180}}\,\!}$ = километров на градус разницы долготы;

где и являются м eridional и его перпендикулярен, или « п НПУ », радиусы кривизны (выражения в формуле FCC являются производными от биномиальной серии формы расширения и , набора к Кларку 1866 г. эллипсоиду ).${\displaystyle M\,\!}$${\displaystyle N\,\!}$${\displaystyle M\,\!}$${\displaystyle N\,\!}$

Формула плоской Земли в полярных координатах [ править ]

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

где значения ширины в радианах. Для широты, измеряемой в градусах, широта в радианах может быть вычислена следующим образом:${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

Формулы сферической поверхности [ править ]

Если кто-то готов принять возможную ошибку в 0,5%, он может использовать формулы сферической тригонометрии на сфере, которая лучше всего приближается к поверхности Земли.

Кратчайшее расстояние по поверхности сферы между двумя точками на поверхности - по большому кругу, который содержит две точки.

Расстояние большого круга статья дает формулу для вычисления расстояния вдоль большого круга на сфере о размере Земли. В этой статье есть пример расчета.

Расстояние туннеля [ править ]

Туннель между точками на Земле определяется линией через трехмерное пространство между интересующими точками. Длину хорды большого круга для соответствующей единичной сферы можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {X}=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\&\Delta {Y}=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\&\Delta {Z}=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\&C_{h}={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Расстояние туннеля между точками на поверхности сферической Земли составляет . Для коротких расстояний ( ) это занижает расстояние по большому кругу на .${\displaystyle D=RC_{h}}$${\displaystyle D\ll R}$${\displaystyle D(D/R)^{2}/24}$

Формулы эллипсоидальной поверхности [ править ]

Эллипсоид аппроксимирует поверхность Земли намного лучше, чем сфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние по поверхности эллипсоида между двумя точками на поверхности - по геодезической . Геодезические следуют более сложными путями, чем большие круги, и, в частности, они обычно не возвращаются на свои исходные позиции после одного круга земли. Это показано на рисунке справа, где f принимается равным 1/50, чтобы усилить эффект. Нахождение геодезического между двумя точками на земле, так называемый обратной геодезической проблемы было в центре внимания многих математиков и геодезистов в течение 18 - го и 19 - го века с крупными взносами Клеро , ^[3]Legendre , ^[4] Bessel , ^[5] и Helmert . ^[6] Рапп ^[7] дает хорошее резюме этой работы.

Методы вычисления геодезического расстояния широко доступны в географических информационных системах , библиотеках программного обеспечения, автономных утилитах и ​​онлайн-инструментах. Наиболее широко используемый алгоритм является Vincenty , ^[8] , который использует ряд , который является точным третьим порядком в уплощения эллипсоида, т.е. около 0,5 мм; однако алгоритм не может сходиться для точек, которые почти противоположны друг другу . (Подробности см. В формулах Винсенти .) Этот дефект устраняется в алгоритме, приведенном Карни, ^[9]который использует серии с точностью до шестого порядка выравнивания. В результате получается алгоритм, который имеет полную двойную точность и сходится для произвольных пар точек на Земле. Этот алгоритм реализован в GeographicLib. ^[10]

Приведенные выше точные методы применимы при проведении расчетов на компьютере. Они предназначены для обеспечения миллиметровой точности на линиях любой длины; можно использовать более простые формулы, если не требуется точность до миллиметра или если требуется точность до миллиметра, но линия короткая. Рапп, ^[11] гл. 6 описывает метод Пюссана, метод средних широт Гаусса и метод Боуринга. ^[12]

Формула Ламберта для длинных строк [ править ]

Формулы Ламберта ^[13] дают точность порядка 10 метров на тысячи километров. Во- первых преобразовать широты , из двух точек в уменьшенные широты , ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$

${\displaystyle \tan \beta =(1-f)\tan \phi ,}$

где это уплощение . Затем вычислить центральный угол в радианах между двумя точками и на сфере с использованием методы ортодромии ( закон косинусов или гаверсинусом формулы ), с долготами и такой же , на сфере , как на сфероиде.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$${\displaystyle \lambda _{1}\;}$${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle \mathrm {distance} =a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$

где - экваториальный радиус выбранного сфероида.${\displaystyle a}$

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта отклоняется от

0 север 0 запад до 40 север 120 запад, 12,6 метра

От 0N 0W до 40N 60W, 6,6 метра

40N от 0W до 40N 60W, 0,85 метра

Метод Боуринга для коротких линий [ править ]

Боуринг отображает точки на сферу радиуса R ′ , с широтой и долготой, представленными как φ ′ и λ ′. Определять

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

где второй квадрат эксцентриситета равен

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

Сферический радиус

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

( Гауссова кривизна эллипсоида в точке φ ₁ равна 1 / R ′ ^2. ) Сферические координаты задаются формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi }{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

где , , , . Результирующая проблема на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу для получения приближений для сфероидального расстояния и пеленга. Подробные формулы даны Раппом, ^[11] §6.5 и Боурингом. ^[12]${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$

См. Также [ править ]

• Радиус Земли
• Сферическая земля
• Расстояние по большому кругу
• Навигация по большому кругу
• Формулы Винсенти
• Дуга меридиана

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн геодезический калькулятор ( на основе GeographicLib).
• Онлайна геодезическая библиография .