Это глоссарий алгебраической геометрии .
См. Также глоссарий коммутативной алгебры , глоссарий классической алгебраической геометрии и глоссарий теории колец . Информацию о теоретико-числовых приложениях см. В глоссарии арифметики и диофантовой геометрии .
Для простоты ссылка на базовую схему часто опускается; т.е. схема будет схемой над некоторой фиксированной базовой схемой S, а морфизм - это S -морфизм.
! $ @
- Общая точка . Например, точка, связанная с нулевым идеалом для любой интегральной аффинной схемы.
- F ( п ), F ( D )
- 1. Если X - проективная схема со скручивающим пучком Серраи если F - -модуль, затем
- 2. Если D - дивизор Картье и F - дивизор -модуль ( X произвольно), то Если D является дивизором Вейля и F рефлексивно, то заменяют F ( D ) его рефлексивной оболочкой (и назовем результат по-прежнему F ( D )).
- | D |
- Полная линейная система из Weil делителей D на нормальном полном многообразии X над алгебраически замкнутым полем к ; это, . Между множеством k -рациональных точек | D | и множество эффективных делителей Вейля на X , которые линейно эквивалентен D . [1] То же определение используется, если D - дивизор Картье на полном многообразии над k .
- [X / G]
- Стопка фактора , скажем, алгебраическое пространство X при действии схемы группы G .
- GIT фактор схемы X посредством действия схемы группы G .
- L n
- Неоднозначная запись. Это обычно означает п -й тензор мощности L , но может также означать число самопересечения L . Если , структурный пучок на X , то это означает прямую сумму n копий .
- Тавтологическое Расслоение . Это двойник скручивающейся связки Серра..
- Скручивающаяся связка Серра . Это двойник тавтологического линейного расслоения. Его также называют расслоением гиперплоскостей.
- 1. Если D является эффективным дивизором Картье на X , то обратная идеального пучка D .
- 2. В большинстве случаев является образом D при естественном гомоморфизме групп из группы дивизоров Картье в группу Пикара из X , группы классов изоморфизма линейных расслоений на X .
- 3. В целом - пучок, соответствующий дивизору Вейля D (на нормальной схеме ). Он не обязательно должен быть локально свободным, только рефлексивным .
- 4. Если D - ℚ-дивизор, то является интегральной части D .
- 1. является пучок кэлеровых дифференциалов на X .
- 2. это p -я внешняя степень .
- 1. Если p равно 1, это пучок логарифмических кэлеровых дифференциалов на X вдоль D (грубо говоря, дифференциальные формы с простыми полюсами вдоль дивизора D ).
- 2. это p -я внешняя степень .
- P ( V )
- Обозначения неоднозначны. Его традиционный смысл - проективизация конечномерного k- векторного пространства V ; т.е.
- Добротность
- Нормальный сорт - это -факторный, если каждый -Дивизор Вейля -Картье.
- Спецификация ( R )
- Множество всех первичных идеалов в кольце R с топологией Зарисского; она называется простым спектром из R .
- Спецификация X ( F )
- Относительно Spec из O X - алгебры F . Он также обозначается Spec ( F ) или просто Spec ( F ).
- Spec ( R )
- Множество всех оценок кольца R с некоторой слабой топологией; он называется спектр Беркович из R .
А
- абелевский
- 1. Абелево многообразие - это полное групповое многообразие. Например, рассмотрим сложную разновидность или эллиптическая кривая над конечным полем .
- 2. Абелева схема - это (плоское) семейство абелевых многообразий.
- формула присоединения
- 1. Если D - эффективный дивизор Картье на алгебраическом многообразии X , оба допускающие дуализирующие пучки, то формула присоединения говорит:
- .
- где являются канонические делители на D и X .
Алгебраическая геометрия заняла центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся глубочайшие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие важнейшие работы Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего столетия отношение к алгебраической геометрии резко изменилось. ... Стиль мышления, который в то время был полностью развит в алгебраической геометрии, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, который в то время определял развитие математики. ... Примерно в середине нынешнего века алгебраическая геометрия претерпела в значительной степени такой процесс преобразования. В результате он снова может претендовать на позицию, которую когда-то занимал в математике.
Из предисловия к И. Р. Шафаревичу, Основы алгебраической геометрии.
B
- Функция Беренда
- Взвешенный эйлерова характеристика из (хорошей) стеки X по отношению к функции Берндт является степенью виртуального фундаментального класса из X .
- Формула следа Беренда
- Формула следа Беренда обобщает формулу следа Гротендика ; обе формулы вычисляют след Фробениуса на l -адических когомологиях.
- большой
- Большое линейное расслоение L на X размерности n - это линейное расслоение такое, что .
- бирациональный морфизм
- Бирациональный морфизм между схемами морфизм , который становится изоморфизмом после ограничиваются некоторым открытым плотным подмножеством. Один из наиболее распространенных примеров бирационального отображения - это отображение, индуцированное раздутием.
- Взрывать
- Раздутие является бирациональным преобразованием , которое заменяет замкнутую подсхему с эффективным Картием делителем. А именно, для нётеровой схемы X и замкнутой подсхемы , раздутие X вдоль Z является собственным морфизмом такой, что (1) является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором и (2) универсален относительно (1). Конкретно, он построен как относительный Proj алгебры Риса по отношению к пучок идеалов , определяющего Z .
C
- Калаби-Яу
- 1. Метрика Калаби – Яу - это кэлерова метрика, кривизна Риччи которой равна нулю.
- канонический
- 1. Канонический пучок на нормальном многообразии X размерности n есть где i - включение гладкого множества U и - пучок дифференциальных форм на U степени n . Если базовое поле имеет нулевую характеристику вместо нормальности, то можно заменить i разрешением особенностей.
- 2. Канонический классна нормальном многообразии X - класс дивизоров такой, что .
- 3. Канонический дивизор является представителем канонического класса обозначается тем же символом (и не является четко определенным.)
- 4. Каноническое кольцо нормального многообразия X - это кольцо сечений канонического пучка .
- каноническая модель
- 1. Каноническая модель - это Proj канонического кольца (в предположении, что кольцо конечно порождено).
- Картье
- 1. Эффективный дивизор Картье D на схеме X над S - это замкнутая подсхема в X , плоская над S и пучок идеалов которой обратим (локально свободен от ранга один).
- Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
- Кастельнуово-Mumford регулярность когерентного пучка F на проективном пространстве по схеме S - наименьшее целое число r такое, что
- контактная сеть
- Схема называется цепной , если все цепочки между двумя неприводимыми замкнутыми подсхемами имеют одинаковую длину. Примеры включают в себя практически все, например, разнообразие на поле, и трудно построить примеры, которые не связаны цепью.
- центральное волокно
- 1. Специальное волокно.
- Чау-группа
- В K -й группы Chowгладкого многообразие X является свободной абелевой группой , порожденной замкнутыми подмногообразие размерности к (групп к - циклы ) по модулю рациональной эквивалентности .
- классифицирующий стек
- Аналог классифицирующего пространства для торсоров в алгебраической геометрии; см. классификационный стек .
- закрыто
- Замкнутые подсхемы схемы X определяются как те, которые встречаются в следующей конструкции. Пусть J - квазикогерентный пучок - идеалы . Поддержка на фактор пучкаявляется замкнутым подмножеством Z в X и это схема называется замкнутая подсхема определяется квазикогерентным пучком идеалов J . [6] Причина, по которой определение замкнутых подсхем опирается на такую конструкцию, состоит в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутое подмножество схемы не имеет уникальной структуры как подсхемы.
- Коэн – Маколей
- Схема называется Cohen-Macaulay, если все локальные кольца Cohen-Macaulay . Например, обычные схемы и Spec k [ x, y ] / ( xy ) - это Коэна – Маколея, но не является.
- связный пучок
- Когерентный пучок на нётеровой схеме X является квази-когерентным пучком , который имеет конечное число образующих , как О Й - модуле.
- конический
- Алгебраические кривые степени два.
- связанный
- Схема соединена как топологическое пространство. Поскольку компоненты связности уточняют неприводимые компоненты любой неприводимая схема подключена , но не наоборот. Аффинная схема Spec (R) , соединена тогда и только тогда кольцо R не обладают идемпотентами , отличных от 0 и 1; такое кольцо также называется связным кольцом . Примеры включают в себя схему соединенной аффинного пространства , проективное пространство , и пример схемы, которая не подключен является Spec ( K [ х ] × к [ х ])
- компактификация
- См., Например , теорему Нагаты о компактификации .
- Кольцо Кокса
- Обобщение однородного координатного кольца. См. Кольцо Кокса .
- крепант
- Крепантен морфизм между нормальными многообразиями - это такой морфизм, что .
- изгиб
- Алгебраическое многообразие размерности один.
D
- деформация
- Позволять - морфизм схем, а X - S -схема. Тогда деформация X ' X представляет собой S ' -схему вместе с квадратом оттока, в котором X является отводом X '(обычно предполагается, что X ' плоский ).
- локус вырождения
- Учитывая карту векторных расслоений над многообразием X (то есть схемным X -морфизмом между тотальными пространствами расслоений) местом вырождения является (теоретико-схемное) множество
- .
- выполняется для любого локально свободного пучка F на X ; например, если X - гладкое проективное многообразие, то это канонический пучок .
E
- Éléments de géométrie algébrique
- EGA была неполной попытка заложить основы алгебраической геометрии , основанной на понятии схемы , обобщение алгебраического многообразия. Séminaire de géométrie algébrique продолжает работу с того места, где остановилась EGA. Сегодня это один из стандартных справочников в алгебраической геометрии.
- эллиптическая кривая
- Эллиптическая кривая является гладкой проективной кривой рода один.
- по существу конечного типа
- Локализация схемы конечного типа.
- эталь
- Морфизм f : Y → X является этальным, если он плоский и неразветвленный. Есть несколько других эквивалентных определений. В случае гладких сортов а также над алгебраически замкнутым полем этальные морфизмы - это в точности те морфизмы, которые индуцируют изоморфизм касательных пространств , что совпадает с обычным понятием этального отображения в дифференциальной геометрии. Этальные морфизмы составляют очень важный класс морфизмов; они используются для построения так называемой этальной топологии и, следовательно, этальных когомологий , которая в настоящее время является одним из краеугольных камней алгебраической геометрии.
- Последовательность Эйлера
- Точная последовательность связок:
- эквивариантная теория пересечений
- См. Главу II http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf.
F
- F -регулярный
- Связанный с морфизмом Фробениуса . [7]
- Фано
- Многообразие Фано является гладким проективное многообразие X , антиканонический пучок достаточно.
- волокно
- Дано между схемами, слой f над y является, как набор, прообразом ; она имеет естественную структуру схемы над полем вычетов из Y в качестве волокнистого продукта , где имеет естественную структуру схемы над Y как Spec поля вычетов y .
- волокнистый продукт
- 1. Еще один термин для обозначения « отката » в теории категорий.
- 2. Стек дано для : объект над B - это тройка ( x , y , ψ), x в F ( B ), y в H ( B ), ψ изоморфизм в G ( B ); стрелка из ( x , y , ψ) в ( x ' , y ' , ψ ') - это пара морфизмов такой, что . Полученный квадрат с очевидными проекциями не коммутирует; скорее, он коммутирует до естественного изоморфизма; то есть, это 2-коммутируют .
- окончательный
- Одна из фундаментальных идей Гротендика - подчеркнуть относительные понятия, то есть условия на морфизмы, а не условия на сами схемы. У категории схем есть последний объект - спектр кольца. целых чисел; так что любая схема является более, причем уникальным способом.
- конечный
- Морфизм F : Y → X является конечным , если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый аффинно - скажем формы - и, кроме того конечно порожден как -модуль. См. Конечный морфизм . Конечные морфизмы квазиконечны, но не все морфизмы, имеющие конечные слои, квазиконечны, а морфизмы конечного типа обычно не квазиконечны.
- конечный тип (локально)
- Морфизм f : Y → X имеет локальный конечный тип, если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается аффинными открытыми множествами где каждый конечно порожден как -алгебра. Морфизм f : Y → X имеет конечный тип, если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается конечным числом аффинных открытых множеств где каждый конечно порожден как -алгебра.
- конечные волокна
- Морфизм f : Y → X имеет конечные слои, если слой над каждой точкой - конечное множество. Морфизм квазиконечен, если он конечного типа и имеет конечные слои.
- конечное представление
- Если у есть точка Y , то морфизм F является конечной презентации на у (или конечно , представленный на у ) , если существует открытая аффинная окрестность U из F (Y) и открытая аффинная окрестность V из г такой , что F ( V ) ⊆ U и это конечно представима алгебра над . Морфизм F является локально конечным представлением , если она конечно представлена во всех точках Y . Если X локально нётерово, то f локально конечного представления тогда и только тогда, когда оно локально конечного типа. [8] Морфизм f : Y → X имеет конечное представление (или Y конечно представимо над X ), если он локально конечного представления, квазикомпактный и квази-разделенный. Если X локально нетерово, то f имеет конечное представление тогда и только тогда, когда оно имеет конечный тип. [9]
- разновидность флага
- Разнообразие флага параметризует с флагом векторных пространств.
- плоский
- Морфизм является плоским , если она приводит к плоской карте на стеблях. Если рассматривать морфизм f : Y → X как семейство схем, параметризованных точками , геометрический смысл плоскостности можно грубо описать, сказав, что волокна не меняйте слишком сильно.
- формальный
- См. Формальную схему .
грамм
- г р д .
- Для кривой C , дивизора D на ней и векторного подпространства , говорят, что линейная система является ag r d, если V имеет размерность r +1 и D имеет степень d . Один говорит С имеет аг г д , если существует такая линейная система.
- Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
- Теорема реконструкции Габриэля-Розенберг утверждает , схема X может быть извлечена из категории квазикогерентных пучков на X . [10] Теорема является отправной точкой для некоммутативной алгебраической геометрии, поскольку, принимая теорему как аксиому, определение некоммутативной схемы равносильно определению на ней категории квазикогерентных пучков. См. Также https://mathoverflow.net/q/16257
- G-связка
- Главное G-расслоение.
- общая точка
- Плотная точка.
- род
- См. # Арифметический род , # геометрический род .
- родовая формула
- Формула рода для узловой кривой в проективной плоскости говорит, что род кривой задается как
- геометрический род
- В геометрическом роде гладкой проективного многообразия X размерности п является
- геометрическая точка
- Простой спектр алгебраически замкнутого поля.
- геометрическое свойство
- Свойство схемы X над полем k является « геометрическим », если оно выполняется для для любого расширения поля .
- геометрический фактор
- Геометрический фактор схема X с действием схемы группы G является хорошим фактором таким образом, что волокна являются орбитами.
- герб
- Жерб является (австралийский ерш) а стек , локально непустое и в котором два объекта локально изоморфны.
- Коэффициент GIT
- Фактор GIT является когда а также когда .
- хороший коэффициент
- Хороший фактор схемы X с действием схемы группы G является инвариантом морфизм такой, что
- где Z - замкнутое подмногообразие многообразия X, снабженное умножением
ЧАС
- Полином Гильберта
- Многочлен Гильберта проективного схемы X над полем эйлерова характеристика .
- Комплект Ходжа
- Расслоение Ходжа на пространстве модулей кривых (фиксированного рода) примерно векторное расслоение, слой которого над кривой С есть векторное пространство .
- гиперэллиптический
- Кривая гиперэллиптическая, если g 1 2 (т. Е. Существует линейная система размерности 1 и степени 2).
- пучок гиперплоскостей
- Другой термин для скручивающейся связки Серра. Он является двойником тавтологического линейного расслоения (отсюда и термин).
я
- изображение
- Если F : Y → X является любой морфизм схем, то схемное изображение из F является единственной замкнутой подсхемы я : Z → X , которая удовлетворяет следующему универсальным свойством :
- f фактор через i ,
- если j : Z ′ → X - любая замкнутая подсхема X такая, что f пропускается через j , то i также пропускается через j . [11] [12]
- погружение
- Погружения f : Y → X - это отображения, которые пропускаются через изоморфизмы с подсхемами. В частности, открытое погружение факторы через изоморфизм с открытой подсхемой и закрытое погружение факторы через изоморфизм с закрытой подсхемой. [13] Эквивалентно, f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомеоморфизм из основного топологического пространства Y в замкнутое подмножество основного топологического пространства X , и если морфизм сюръективно. [14] Композиция погружений - это снова погружение. [15] Некоторые авторы, такие как Хартсхорн в своей книге « Алгебраическая геометрия» и К. Лю в своей книге « Алгебраическая геометрия и арифметические кривые» , определяют погружения как совокупность открытого погружения с последующим закрытым погружением. Эти погружения являются погружениями в указанном выше смысле, но обратное неверно. Кроме того, согласно этому определению, сочетание двух иммерсий не обязательно является иммерсией. Однако эти два определения эквивалентны, когда f квазикомпактна. [16] Обратите внимание, что открытое погружение полностью описывается своим образом в смысле топологических пространств, а закрытое - нет: а также может быть гомеоморфным, но не изоморфным. Это происходит, например, если I - радикал J, но J - не радикальный идеал. При указании замкнутого подмножества схемы без упоминания структуры схемы обычно имеется в виду так называемая сокращенная структура схемы, то есть структура схемы, соответствующая единственному радикальному идеалу, состоящему из всех функций, исчезающих на этом замкнутом подмножестве.
- инд-схема
- Ind-схема является индуктивным пределом замкнутых иммерсий схем.
- обратимая связка
- Локально свободная связка первого ранга. Эквивалентно, это торсор для мультипликативной группы (т. е. линейный пакет).
- интеграл
- Схема, которая одновременно является редуцированной и неприводимой, называется интегральной . Для локально нётеровых схем быть интегральным равносильно тому, что быть связной схемой, которая покрывается спектрами областей целостности . (Строго говоря, это не локальное свойство, поскольку несвязное объединение двух интегральных схем не является целым. Однако для неприводимых схем это локальное свойство.) Например, схема Spec k [ t ] / f , f неприводимый многочлен является неотъемлемой частью, в то время как Spec A × B . ( A , B ≠ 0) нет.
- несводимый
- Схема Х называется неприводимым , когда (как топологическое пространство) не является объединением двух замкнутых подмножеств , за исключением , если один равен X . Используя соответствие простых идеалов и точек аффинной схемы, это означает, что X неприводимо тогда и только тогда, когда X связно и все кольца A i имеют ровно один минимальный простой идеал . (Кольца, обладающие ровно одним минимальным первичным идеалом, также называются неприводимыми .) Любую нётерову схему можно однозначно записать как объединение конечного числа максимальных неприводимых непустых замкнутых подмножеств, называемых ее неприводимыми компонентами . Аффинное пространство и проективное пространство неприводимы, а Spec k [ x, y ] / ( xy ) = не является.
J
- Якобиева многообразие
- Якобиево многообразие проективной кривой X является степень нуль часть многообразия Пикара.
K
- Теорема Кемпфа об исчезновении
- Теорема Кемпфа об обращении в нуль касается исчезновения высших когомологий многообразия флагов.
- klt
- Аббревиатура от термина "лог-терминал кавамата "
- Кодаира измерение
- 1. Кодаиры (также называется размерность Iitaka ) из полуобильного линейного расслоения L представляет размерность Proj секционного кольца L .
- 2. Размерность Кодаира нормального многообразия X - это размерность Кодаира его канонического пучка.
- Кодаира теорема об исчезновении
- См. Теорему об исчезновении Кодаиры .
- Карта Кураниши
- См. Структуру Кураниши .
L
- Номер Лелонга
- См. Число Лелонга .
- структура уровней
- см. http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf
- линеаризация
- Другой термин для структуры эквивариантного пучка / векторного расслоения.
- местный
- Наиболее важные свойства схем являются локальными по своей природе , т. Е. Схема X обладает определенным свойством P тогда и только тогда, когда для любого покрытия X открытыми подсхемами X i , т. Е. X = X я , каждый X я обладаю свойством P . Обычно бывает достаточно проверить одну обложку, а не все возможные. Также говорят, что определенное свойство является локальным по Зарисскому , если нужно различать топологию Зарисского и другие возможные топологии, такие как этальная топология . Рассмотрим схему X и покрытие аффинными открытыми подсхемами Spec A i . Использование словаря между (коммутативными) кольцами и аффинными схемами , таким образом, является свойствами колец A i . Свойство P является локальным в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда соответствующее свойство колец устойчиво относительно локализации . Например, мы можем говорить о локально нётеровых схемах, а именно о тех, которые покрываются спектрами нётеровых колец . Тот факт, что локализации нётерового кольца все еще нётеровы, означает, что свойство схемы быть локально нётеровым является локальным в указанном выше смысле (отсюда и название). Другой пример: если кольцо редуцировано (т. Е. Не имеет ненулевых нильпотентных элементов), то его локализации тоже. Примером нелокального свойства является разделенность (определение см. Ниже). Любая аффинная схема отделена, поэтому любая схема отделена локально. Однако аффинные части могут патологически склеиваться, давая неразрывную схему. Ниже приводится (не исчерпывающий) список локальных свойств колец, которые применяются к схемам. Пусть X = Spec A i - покрытие схемы открытыми аффинными подсхемами. Для определенности в дальнейшем обозначим через k поле . Большинство примеров также работают с целыми числами Z в качестве основы, хотя или даже с более общими основаниями. Связная, неприводимая, приведенная, интегральная, нормальная, регулярная, Коэна-Маколея, локально нётерова, размерность, цепная связь,
- локальное полное пересечение
- Локальные кольца - это полные кольца пересечений . См. Также: обычное встраивание .
- местная униформизация
- Локальная униформизация представляет собой способ построения более слабую формы разрешения особенностей с помощью колец нормирования .
- локально факториал
- Локальные кольца - это уникальные области факторизации .
- локально конечного типа
- Морфизм f : Y → X имеет локальный конечный тип, если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается аффинными открытыми множествами где каждый конечно порожден как -алгебра.
- местно нётерский
- Я являюсь Нетеровыми кольца. Если, кроме того, X покрывает конечное число таких аффинных спектров , схема называется нётеровой . Хотя верно, что спектр нётерова кольца является нётеровым топологическим пространством , обратное неверно. Например, большинство схем в конечномерной алгебраической геометрии локально нетеровы, но не является.
- логарифмическая геометрия
- бревенчатая структура
- См. Структуру журнала . Идея принадлежит Фонтен-Иллюзи и Като.
- группа петель
- См. Группу петель (связанная статья не обсуждает группу петель в алгебраической геометрии; пока см. Также ind-схему ).
M
- модули
- См., Например, пространство модулей . В то время как большая часть ранних работ по модулям, особенно после [Mum65], делала акцент на построении тонких или грубых пространств модулей, в последнее время акцент сместился на изучение семейств многообразий, то есть на функторы модулей и стеки модулей. Основная задача - понять, какие предметы образуют «красивые» семьи. Как только будет установлена хорошая концепция «хороших семейств», существование грубого пространства модулей должно быть почти автоматическим. Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, скорее это всего лишь удобный способ отслеживать определенную информацию, которая скрыта только в функторе модулей или стеке модулей.
Коллар, Янош, Глава 1 , «Книга о модулях поверхностей».
- Программа минимальных моделей Мори
- Программа минимальных моделей - это исследовательская программа, цель которой - сделать бирациональную классификацию алгебраических многообразий размерности больше 2.
- морфизм
- 1. Морфизм алгебраических многообразий задается локально полиномами.
- 2. Морфизм схем - это морфизм локально окольцованных пространств .
- 3. Морфизм стеков (скажем, по категории S -схем) - такой функтор, что где - это структуры, отображаемые в базовую категорию.
N
- неф
- См. Пакет nef line .
- неособый
- Архаичный термин, обозначающий «гладкое», как в случае с гладкой разновидностью .
- обычный
- 1. Целостная схема называется нормальной , если локальные кольца являются целозамкнутыми областями . Например, все регулярные схемы нормальны, а особые кривые - нет.
- 2. Плавная кривая называется k -нормальным, если гиперповерхности степени k высекают полный линейный ряд . Она проективно нормальна, если она k -нормальна для всех k > 0. Таким образом, говорят, что «кривая проективно нормальна, если линейная система, которая ее вкладывает, является полной». Термин «линейно нормальный» является синонимом 1-нормального.
- 3. Замкнутое подмногообразие. называется проективно нормальным, если аффинное покрытие над X - нормальная схема ; т.е. однородное координатное кольцо X является целозамкнутой областью. Это значение соответствует значению 2.
- обычный
- 1. Если X - замкнутая подсхема схемы Y с пучком идеалов I , то нормальным пучком к X является . Если встроенный в X в Y является регулярным , он локально свободен и называется нормальным расслоением .
- 2. Нормальный конус к X есть . если X правильно вложено в Y , то нормальный конус изоморфен Общее пространство нормального расслоения X .
- нормальные переходы
- Смотрите нормальные переходы .
- нормально генерируется
- Линейное расслоение L на многообразии X называется нормально порожденным, если для каждого целого n > 0 естественное отображение сюръективно.
О
- открыто
- 1. Морфизм схем f : Y → X называется открытым ( замкнутым ), если лежащее в основе отображение топологических пространств открыто (соответственно замкнуто), т.е. если открытые подсхемы Y отображаются в открытые подсхемы X (и аналогично для закрыто). Например, конечно определенные плоские морфизмы открыты, а собственные отображения закрыты.
- 2. Открытая подсхема схемы X - это открытое подмножество U со структурным пучком . [14]
- орбифолд
- В настоящее время орбифолд часто определяется как стек Делиня – Мамфорда над категорией дифференцируемых многообразий. [17]
п
- p -делимая группа
- См. P -делимая группа (примерно аналог точек кручения абелевого многообразия).
- карандаш
- Линейная система размерности один.
- Группа Пикард
- Группа Пикара из X является группой классов изоморфизма линейных расслоений на X , умножение , являющееся тензорное произведение .
- Плюккеровское вложение
- Вложение Плюккерово является замкнутым вложением из грассманианом многообразия в проективное пространство.
- Plurigenus
- В п -й plurigenus гладкого проективного многообразия . См. Также число Ходжа .
- Отображение вычетов Пуанкаре
- См. Остаток Пуанкаре .
- точка
- Схема является локально окольцованное пространство , так подавно топологическое пространство , но значения точки бывают тройными:
- точка нижележащего топологического пространства;
- а -оценочная точка это морфизм из к , для любой схемы ;
- геометрическая точка , где определен над (снабжен морфизмом на) , где это поле , это морфизм из к где является алгебраическим замыканием в.
- .
- поляризация
- вложение в проективное пространство
- Проект
- См. Строительство проекта .
- формула проекции
- Формула проекции говорит, что для морфизма схем, -модуль и локально бесплатный-модуль конечного ранга существует естественный изоморфизм
- проективный
- 1. Проективное многообразие - это замкнутое подмногообразие проективного пространства.
- 2. Проективная схема над схемой S - это S -схема, пропускаемая через некоторое проективное пространство. как закрытая подсхема.
- 3. Проективные морфизмы определяются аналогично аффинным морфизмам: f : Y → X называется проективным, если он факторизуется как замкнутое погружение, за которым следует проекция проективного пространства. к . [18] Обратите внимание, что это определение является более строгим, чем определение EGA , II.5.5.2. Последнее определяет быть проективным, если он задается глобальной Proj квазикогерентной градуированной O X -алгебры такой, что конечно порождена и порождает алгебру . Оба определения совпадают, когда является аффинным или, в более общем смысле, если он квазикомпактен, разделен и допускает обильный пучок, [19] например, если открытая подсхема проективного пространства над кольцом .
- проективный пучок
- Если E - локально свободный пучок на схеме X , проективное расслоение P ( E ) схемы E является глобальным Proj симметрической алгебры двойственного к E :
- проективно нормальный
- См. # Нормально .
- правильный
- Морфизм является собственным, если он разделен, универсально замкнут (т. Е. Такой, что его расслоенные произведения являются замкнутыми отображениями) и имеет конечный тип. Проективные морфизмы собственные; но обратное в целом неверно. Смотрите также полное разнообразие . Глубоким свойством собственных морфизмов является наличие факторизации Штейна , а именно наличие промежуточной схемы, такой, что морфизм может быть выражен как схема со связными слоями, за которыми следует конечный морфизм.
- свойство P
- Пусть P - свойство схемы, устойчивое к замене базы (конечного типа, собственное, гладкое, этальное и т. Д.). Тогда представимый морфизм называется обладающим свойством P, если для любого со схемой B , изменение базы обладает свойством P .
- чистое измерение
- Схема имеет чистую размерность d, если каждая неприводимая компонента имеет размерность d .
Q
- квазикогерентный
- Квазикогерентный пучок на схеме Нётейрана X - это пучок O X -модулей, который локально задается модулями.
- квазикомпактный
- Морфизм f : Y → X называется квазикомпактным , если для некоторого (эквивалентно: любого) открытого аффинного покрытия X некоторым U i = Spec B i прообразы f −1 ( U i ) квазикомпактны .
- квазиконечный
- Морфизм f : Y → X имеет конечные слои, если слой над каждой точкой - конечное множество. Морфизм квазиконечен, если он конечного типа и имеет конечные слои.
- квазипроективный
- Квазипроективное многообразие является локально замкнутым подмногообразием проективного пространства.
- квазиотделенный
- Морфизм f : Y → X называется квазиотделенным или ( Y квазиотделим над X ), если диагональный морфизм Y → Y × X Y квазикомпактен. Схема Y называется квази-разделенной, если Y квази-разделена над Spec ( Z ). [20]
- Схема котировки
- Quot схема параметризует факторизацией локально свободных пучков на проективной схеме.
- стек частных
- Обычно обозначаемый [ X / G ], фактор-стек обобщает фактор схемы или многообразия.
р
- рациональный
- 1. Над алгебраически замкнутым полем многообразие рационально, если оно бирационально проективному пространству. Например, рациональные кривые и рациональные поверхности являются бирациональными для .
- 2. Учитывая поля K и относительную схему X → S , A K -рациональной точка из X представляет собой S -морфизмом .
- рациональная функция
- Элемент в функциональном полегде предел пробегает все координаты кольцо открытых подмножеств U из (неприводимой) алгебраического многообразия X . См. Также функциональное поле (теория схем) .
- рациональная нормальная кривая
- Рациональна нормальная кривая представляет собой изображение
- .
- рациональные особенности
- Многообразие X над полем нулевой характеристики имеет рациональные особенности, если существует разрешение особенностей такой, что а также .
- уменьшенный
- 1. Коммутативное кольцо. будет уменьшена , если она не имеет ненулевых нильпотентных элементов, то есть, ее нильрадикал является нулевой идеал, . Эквивалентно, уменьшается, если это сокращенная схема.
- 2. Схема X редуцируется, если ее стебли редуцированные кольца. Эквивалентно X уменьшается, если для каждого открытого подмножества , является редуцированным кольцом, т. е. не имеет ненулевых нильпотентных участков.
- возвратная связка
- Когерентный пучок рефлексивен, если каноническое отображение во второй двойственный является изоморфизмом.
- обычный
- Регулярная схема является схемой , в которой локальные кольцами являются регулярными локальными кольцами . Например, гладкие многообразия над полем регулярны, а Spec k [ x, y ] / ( x 2 + x 3 - y 2 ) = не является.
- регулярное вложение
- Замкнутое вложениеявляется регулярным вложением, если каждая точка X имеет аффинную окрестность в Y, так что идеал X порождается регулярной последовательностью . Если я это регулярное вложение, то конормальный пучок из I , то есть, когда идеальный пучок X , локально свободен.
- обычная функция
- Морфизм из алгебраического многообразия к аффинной прямой .
- представимый морфизм
- Морфизм стеков таких, что для любого морфизма из схемы Б изменение базы является алгебраическим пространством. Если заменить «алгебраическое пространство» на «схему», то оно называется сильно представимым.
- разрешение особенностей
- Разрешение особенностей схемы X является собственным бирациональным морфизмомтаким образом, что Z является гладкой .
- Формула Римана – Гурвица
- Учитывая конечный сепарабельный морфизм между гладкими проективными кривыми, если является слабо разветвленным (без дикого ветвления); например, над полем нулевой характеристики формула Римана – Гурвица связывает степень π, роды X , Y и индексы ветвления :
- .
- Формула Римана – Роха
- 1. Если L представляет собой линейное расслоение степени д на гладкой проективной кривой рода г , то формула Римана-Роха вычисляет эйлерову характеристику из L :
- .
- Например, из формулы следует, что степень канонического дивизора K равна 2 g - 2.
S
- схема
- Схема является локально окольцованным пространством , что локально является простым спектр из коммутативного кольца .
- Шуберт
- 1. Клетка Шуберта - это B -орбита на грассманиане где B - стандартный борелевский; т.е. группа верхнетреугольных матриц.
- 2. Многообразие Шуберта - это замыкание клетки Шуберта.
- секущая разновидность
- Секущее разнообразие в проективное многообразие является замыканием объединения всех секущих к V в .
- секционное кольцо
- Раздел кольцо или кольцо сечений линейного расслоения L на схеме X представляет собой градуированное кольцо .
- Условия Серра S n
- См . Условия Серра о нормальности . См. Также https://mathoverflow.net/q/22228.
- Двойственность Серра
- См. #Dualizing связка
- отделенный
- Отделен морфизм является морфизмом таким образом, что волокна продукт из с собой вместе имеет свою диагональ как замкнутую подсхему - другими словами, диагональный морфизм - это замкнутое погружение .
- связка, порожденная глобальными секциями
- Сноп с набором глобальных секций, охватывающих ножку снопа в каждой точке. См. Сноп, созданный глобальными разделами .
- просто
- Термин «простая точка» - это старый термин для обозначения «гладкой точки».
- гладкий
- 1.
Многомерным аналогом этальных морфизмов являются гладкие морфизмы . Есть много разных характеристик плавности. Ниже приведены эквивалентные определения гладкости морфизма f : Y → X :
- 1) для любых у ∈ Y , имеются открытые аффинные окрестности V и U из у , х = е ( у ), соответственно, так , что ограничение F на V факторы , как этальный морфизм следует проекции аффинного п -пространства над U .
- 2) f плоская, локально конечного представления и для каждой геометрической точки из Y (морфизм из спектра алгебраически замкнутым полем к Y ) геометрический слой является гладким n -мерным многообразием над в смысле классической алгебраической геометрии.
По собственному мнению Гротендика, не должно быть почти никакой истории схем, а только история сопротивления им: ... Нет серьезного исторического вопроса о том, как Гротендик нашел свое определение схем. Это было в воздухе. Серр хорошо сказал, что никто не изобретал схем (разговор 1995 г.). Вопрос в том, что заставило Гротендика поверить в то, что он должен использовать это определение, чтобы упростить 80-страничную статью Серра до примерно 1000 страниц Éléments de géométrie algébrique ?
[1]
Т
- касательное пространство
- См. Касательное пространство Зарисского .
- пучок тавтологических линий
- Тавтологическое Расслоение проективной схемы X является двойственным крутящем пучка Серра; это, .
- теорема
- См . Основную теорему Зарисского , теорему о формальных функциях , теорему об изменении базы когомологий , Категория: Теоремы в алгебраической геометрии .
- вложение тора
- Старый термин для торической разновидности
- торическое многообразие
- Торическое многообразие является нормальным многообразием с действием тора таким образом, что тор имеет открытую плотную орбиту.
- тропическая геометрия
- Разновидность кусочно-линейной алгебраической геометрии. См. Тропическую геометрию .
- тор
- Расщепленный тор является произведением конечного числа мультипликативных групп.
U
- универсальный
- 1. Если функтор модулей F представлен некоторой схемой или алгебраическим пространством M , то универсальный объект - это элемент из F ( M ), который соответствует тождественному морфизму M → M (который является M- точкой в M ). Если значения F являются классами изоморфизма кривых, скажем, с дополнительной структурой, то универсальный объект называется универсальной кривой . Тавтологическое расслоение будет еще одним примером универсального объекта.
- 2. Пусть - модули гладких проективных кривых рода g и гладких проективных кривых рода g с единственными отмеченными точками. В литературе забывчивая карта
- повсеместно
- Морфизм обладает некоторым свойством универсально, если все базовые изменения морфизма обладают этим свойством. Примеры включают универсальную цепочку , универсальную инъекцию .
- неразветвленный
- Для точки в рассмотрим соответствующий морфизм локальных колец
- .
V
- разнообразие
- синоним «алгебраического многообразия».
- очень обильный
- Линия пучок L на многообразии X является очень обильным , если Х может быть встроен в проективное пространство так , что L есть ограничение скручивания Серра пучок , O (1) на проективном пространстве.
W
- слабо нормальный
- схема является слабо нормальной, если любой ее конечный бирациональный морфизм является изоморфизмом.
- Делитель Вейля
- Другой, но более стандартный термин для «цикла коразмерности один»; см. делитель .
- Вейль взаимность
- См. Взаимность Вейля .
Z
- Пространство Зарисского – Римана
- Зариское пространство Римана является локально окольцованным пространством, точки которого является кольцом нормирования.
Заметки
- ^ Доказательство: Пусть D дивизор Вейля на X . Если D ' ~ D , то существует ненулевая рациональная функция f на X такая, что D + ( f ) = D', и тогда f является сечением O X ( D ), если D ' эффективно. Противоположное направление похоже. □
- ^ Ален, Конн (18 сентября 2015 г.). «Очерк гипотезы Римана». arXiv : 1509.05576 .
- ^ Дейтмар, Антон (16 мая 2006 г.). «Замечания о дзета-функциях и K-теории над F1». arXiv : math / 0605429 .
- ^ Флорес, Джарет (2015-03-08). "Гомологическая алгебра коммутативных моноидов". arXiv : 1503.02309 .
- ^ Дуров, Николай (16.04.2007). «Новый подход к геометрии Аракелова». arXiv : 0704.2030 .
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1960 , 4.1.2 и 4.1.3
- ^ Смит, Карен Э .; Чжан, Вэньлян (03.09.2014). «Расщепление Фробениуса в коммутативной алгебре». arXiv : 1409.1169 .
- ^ Гротендик и Дьедонне 1964 , §1.4
- ^ Гротендик и Дьедонне 1964 , §1.6
- ^ Бранденбург, Мартин (07.10.2014). «Тензорно-категориальные основы алгебраической геометрии». arXiv : 1410,1716 .
- ^ Hartshorne 1977 , Упражнение II.3.11 (d)
- ↑ The Stacks Project , Глава 21, §4.
- Перейти ↑ Grothendieck & Dieudonné 1960 , 4.2.1
- ^ a b Хартсхорн 1977 , §II.3
- Перейти ↑ Grothendieck & Dieudonné 1960 , 4.2.5
- ^ Q. Лю, Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, упражнение 2.3
- ^ Харада, Мегуми; Крепски, Дерек (02.02.2013). «Глобальные частные среди торических стеков Делиня-Мамфорда». arXiv : 1302.0385 .
- ↑ Хартсхорн 1977 , II.4
- ^ EGA , II.5.5.4 (ii).
- Перейти ↑ Grothendieck & Dieudonné 1964 , 1.2.1
- ^ Понятие G-неразветвленный - это то, что в EGA называется «неразветвленным», но мы следуем определению «неразветвленного», данному Рейно, так что закрытые погружения не разветвляются. Подробнее см. Тег 02G4 в проекте Stacks .
Рекомендации
- Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 2 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . DOI : 10.1007 / bf02699291 . Руководство по ремонту 0217084 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . DOI : 10.1007 / bf02684274 . Руководство по ремонту 0217085 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 17 . DOI : 10.1007 / bf02684890 . Руководство по ремонту 0163911 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). "Algébrique algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 . DOI : 10.1007 / bf02684747 . Руководство по ремонту 0173675 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). "Algébrique Éléments de géométrie: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 . DOI : 10.1007 / bf02684322 . Руководство по ремонту 0199181 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . DOI : 10.1007 / bf02684343 . Руководство по ремонту 0217086 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 . DOI : 10.1007 / bf02732123 . Руководство по ремонту 0238860 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Коллар, Янош , "Книга о модулях поверхностей" доступна на его сайте [2]
- Примечания к курсу Мартина Олссона, написанные Антоном, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
- Книга разработана многими авторами.
Смотрите также
- Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
- Словарь классической алгебраической геометрии
- Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
- Словарь римановой и метрической геометрии
- Список комплексных и алгебраических поверхностей
- Список поверхностей
- Список кривых