Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о книге. В области математики см. Сложную геометрию .
Издание 1979 г.

Геометрия комплексных чисел: круговая геометрия, преобразование Мебиуса, неевклидова геометрия - это учебник по геометрии для студентов, темы которого включают круги , комплексную плоскость , инверсивную геометрию и неевклидову геометрию . Он был написан Гансом Швердтфегером и первоначально опубликован в 1962 году в качестве 13-го тома серии «Математические выставки» издательства University of Toronto Press . Исправленное издание было опубликовано в 1979 году в серии Dover Books on Advanced Mathematics of Dover Publications ( ISBN  0-486-63830-8 ). Комитет по списку основных библиотекМатематическая ассоциация Америки предложила включить его в библиотеки математики для студентов бакалавриата. [1]

Темы [ править ]

Книга разделена на три главы, соответствующие трем частям ее подзаголовка: геометрия круга, преобразования Мёбиуса и неевклидова геометрия. Каждый из них далее разделен на разделы (которые в других книгах будут называться главами) и подразделы. Основная тема книги - представление евклидовой плоскости как плоскости комплексных чисел и использование комплексных чисел в качестве координат для описания геометрических объектов и их преобразований. [1]

Глава, посвященная окружностям, посвящена аналитической геометрии окружностей на комплексной плоскости. [2] В нем описывается представление окружностей эрмитовых матриц , [3] [4] инверсия окружностей , стереографическая проекция , пучки окружностей (некто параметрические семейства окружностей) и их двухпараметрический аналог, пучки окружностей, и кросс-отношение четырех комплексных чисел. [3]

Глава о преобразованиях Мёбиуса является центральной частью книги [4] и определяет эти преобразования как дробно-линейные преобразования комплексной плоскости (один из нескольких стандартных способов их определения). [1] Он включает материал по классификации этих преобразований, [2] по характерным параллелограммам этих преобразований, [4] по подгруппам группы преобразований, по повторяющимся преобразованиям, которые либо возвращаются к тождеству (формируя периодическую последовательность ) или производят бесконечную последовательность преобразований и геометрическую характеристику этих преобразований как сохраняющих окружность преобразований комплексной плоскости. [3]В этой главе также кратко обсуждается применение преобразований Мёбиуса в понимании проективностей и perspectivities по проективной геометрии . [1]

В главе о неевклидовой геометрии, темы включают диск модель Пуанкара в гиперболической плоскости , эллиптическую геометрию , сферическую геометрию , и (в соответствии с Феликсом Клейн «с программой Эрлангена ) преобразование группа этих геометрий как подгруппы преобразований Möbious . [1]

Эта работа объединяет несколько областей математики с целью расширения связей между абстрактной алгеброй , теорией комплексных чисел, теорией матриц и геометрией. [2] [5] Рецензент Ховард Ивс пишет, что по отбору материала и формулировке геометрии книга «в значительной степени отражает работы К. Каратеодори и Э. Картана ». [6]

Аудитория и прием [ править ]

Геометрия комплексных чисел написана для продвинутых студентов [6], и ее многочисленные упражнения (называемые «примерами») расширяют материал в ее разделах, а не просто проверяют, что читатель узнал. [4] [6] Рассматривая оригинальную публикацию, А. В. Гудман и Ховард Ивс рекомендовали использовать ее в качестве дополнительной литературы для занятий по комплексному анализу , [3] [6] и Гудман добавляет, что «каждый специалист по классической теории функций должен быть знаком с этим. материал ». [3]Однако рецензент Дональд Монк задается вопросом, не слишком ли специализирован материал книги, чтобы вписаться в какой-либо класс, и имеет некоторые незначительные претензии к деталям, которые можно было бы осветить более элегантно. [2]

К моменту написания обзора в 2015 году Марк Хуначек написал, что «книга имеет явно старомодную атмосферу», что затрудняет ее чтение, и что устаревший выбор тем делает маловероятным, что ее можно будет использовать в качестве основного текста курса. . [1] Рецензент Р.П. Берн разделяет опасения Хуначека по поводу удобочитаемости, а также жалуется, что Швердтфегер «последовательно позволяет геометрической интерпретации следовать за алгебраическим доказательством, а не позволяет геометрии играть мотивирующую роль». [7] Тем не менее, Хуначек повторяет рекомендацию Гудмана и Евса по использованию его «в качестве дополнительного чтения к курсу комплексного анализа» [1], а Берн заключает, что «переиздание приветствуется». [7]

Связанное чтение [ править ]

В качестве фона по геометрии, описанной в этой книге, рецензент Р. П. Берн предлагает две другие книги : «Современная геометрия: прямая линия и круг» К. В. Дурелла и « Геометрия: всеобъемлющий курс » Дэниела Педо . [7]

Другие книги, использующие комплексные числа для аналитической геометрии, включают « Комплексные числа и геометрию » Лян-шина Хана или « Комплексные числа от A до ... Z » Титу Андрееску и Дорина Андрица. Однако « Геометрия комплексных чисел» отличается от этих книг тем, что избегает элементарных построений в евклидовой геометрии и вместо этого применяет этот подход к концепциям более высокого уровня, таким как инверсия окружности и неевклидова геометрия. Еще одна связанная с этим книга, одна из немногих, в которых преобразования Мёбиуса рассматриваются так же подробно, как и в случае с геометрией комплексных чисел , - это « Визуальный комплексный анализ » Тристана Нидхэма . [1]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g h Хуначек, Марк (май 2015 г.), «Обзор геометрии комплексных чисел » , Обзоры МАА , Математическая ассоциация Америки
  2. ^ Б с д Монк, Д. (июнь 1963), «Обзор геометрии комплексных чисел », Труды Эдинбург математического общества , 13 (3): 258-259, DOI : 10,1017 / s0013091500010956
  3. ^ a b c d e Goodman, AW, "Обзор геометрии комплексных чисел ", Mathematical Reviews , MR 0133044 
  4. ^ Б с д Crowe, DW (март 1964), "Обзор Геометрия комплексных чисел ", Canadian математический вестник , 7 (1): 155-156, DOI : 10,1017 / S000843950002693X
  5. ^ Примулы, ЕЕФ (май 1963 г.), "Обзор Геометрия комплексных чисел ", Математическая газета , 47 (360): 170-170, DOI : 10,1017 / s0025557200049524
  6. ^ А б гр д Eves, Говард (декабрь 1962), "Обзор Геометрия комплексных чисел ", American Mathematical Monthly , 69 (10): 1021, DOI : 10,2307 / 2313225 , JSTOR 2313225  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  7. ^ Б Ĉ Burn, RP (март 1981), "Обзор Геометрия комплексных чисел ", Математическая газета , 65 (431): 68-69, DOI : 10,2307 / 3617961 , JSTOR 3617961 

Внешние ссылки [ править ]

  • Геометрия комплексных чисел (издание 1979 г.) в Интернет-архиве