Квадратичный вычет код представляет собой тип циклического кода .
Примеры
Примеры кодов квадратичных остатков включают Кода Хэмминга над, то код двоичный Голе над и Код тройная Голе над.
Конструкции
Имеется код квадратичного остатка длины над конечным полем в любое время а также простые числа, странно, и является квадратичным вычетом по модулю. Его порождающий полином как циклический код имеет вид
где - множество квадратичных вычетов в наборе а также примитивный корень -й степени из единицы в некотором конечном поле расширения . Условие, что является квадратичным вычетом гарантирует, что коэффициенты при роды . Размер кода. Замена другим примитивом -й корень из единства либо приводит к тому же коду, либо к эквивалентному коду, в зависимости от того, является квадратичным вычетом .
Альтернативная конструкция избегает корней единства. Определять
для подходящего . Когда выберите чтобы гарантировать, что . Если странно, выберите , где или же в зависимости от того, соответствует или же по модулю . потомтакже генерирует код квадратичного остатка; точнее идеал создан соответствует квадратичному коду вычета.
Масса
Минимальный вес квадратного остатка кода длиной больше, чем ; это оценка квадратного корня .
Расширенный код
Добавление общей контрольной цифры к квадратичному коду остатка дает расширенный квадратичный код остатка . Когда (мод ) расширенный квадратичный код вычетов самодвойственный; в противном случае он эквивалентен, но не равен двойственному. По теореме Глисона – Прейнджа (названной в честь Эндрю Глисона и Юджина Прейнджа ) группа автоморфизмов расширенного квадратичного кода вычетов имеет подгруппу, изоморфную либо или же .
Метод декодирования
С конца 1980 г. было разработано множество алгоритмов алгебраического декодирования для исправления ошибок в кодах с квадратичным остатком. Эти алгоритмы могут обеспечить (истинную) способность исправлять ошибки ⌊ (d - 1) / 2⌋ кодов с квадратичным остатком с длиной кода до 113. Однако декодирование длинных двоичных кодов с квадратичным остатком и недвоичных кодов с квадратичным остатком по-прежнему оставаться проблемой. В настоящее время декодирование кодов с квадратичным остатком все еще является активной областью исследований в теории кода с исправлением ошибок.
Рекомендации
- МакВильямс Ф.Дж. и Слоан Н.Дж., Теория кодов с исправлением ошибок , North-Holland Publishing Co., Амстердам-Нью-Йорк-Оксфорд, 1977.
- Blahut, RE (сентябрь 2006 г.), "Теорема Глисона-Прейнджа", IEEE Trans. Инф. Теория , Piscataway, Нью - Джерси, США: IEEE Press, 37 (5): 1269-1273, DOI : 10,1109 / 18,133245.
- М. Элиа, Алгебраическое декодирование кода Голея (23,12,7), IEEE Transactions on Information Theory, Volume: 33, Issue: 1, pg. 150-151, январь 1987 г.
- Рид, И.С., Инь, X., Чыонг, Т.К., Алгебраическое декодирование квадратичного вычетного кода (32, 16, 8). IEEE Trans. Инф. Теория 36 (4), 876–880 (1990)
- Рид, И.С., Чыонг, Т.К., Чен, X., Инь, X., Алгебраическое декодирование кода с квадратичным вычетом (41, 21, 9). IEEE Trans. Инф. Теория 38 (3), 974–986 (1992)
- Хамфрис, Дж. Ф. Алгебраическое декодирование троичного (13, 7, 5) кода с квадратичным вычетом. IEEE Trans. Инф. Теория 38 (3), 1122–1125 (май 1992 г.)
- Чен, X., Рид, И.С., Чыонг, Т.К., Декодирование кода с квадратичным вычетом (73, 37, 13). IEE Proc., Comput. Цифра. Tech. 141, 5, 253–258 (1994).
- Хиггс, Р. Дж., Хамфрис, Дж. Ф.: Декодирование троичного (23, 12, 8) кода с квадратичным вычетом. IEE Proc., Comm. 142 (3), 129–134 (июнь 1995).
- Хе, Р., Рид, И.С., Чыонг, Т.К., Чен, X., Расшифровка кода квадратичного остатка (47, 24, 11). IEEE Trans. Инф. Теория 47 (3), 1181–1186 (2001)
- ….
- Ю. Ли, Ю. Дуан, Х. К. Чанг, Х. Лю, Т. К. Чыонг, Использование разности синдромов для декодирования кодов квадратичных остатков, IEEE Trans. Инф. Теория 64 (7), 5179-5190 (2018)