В линейной алгебре , в матрице Грама (или Определитель Грама , Gramian ) множества векторовв внутреннем пространстве продукта является эрмитовой матрицей из внутренних произведений , чьи записи задаются. [1] Если векторы действительны, а столбцы матрицы , то матрица Грама имеет вид .
Важным приложением является вычисление линейной независимости : набор векторов линейно независим тогда и только тогда, когда определитель Грама ( определитель матрицы Грама) отличен от нуля.
Он назван в честь Йоргена Педерсена Грама .
Примеры
Для конечномерных вещественных векторов в с обычным евклидовым скалярным произведением матрица Грама просто, где матрица, столбцами которой являются векторы . Для сложных векторов в, , где является сопряженной транспозицией из.
Даны интегрируемые с квадратом функции на интервале , матрица Грама является:
Для любой билинейной формы в конечномерном векторном пространстве над любым полем мы можем определить матрицу Грама прикреплен к набору векторов от . Матрица будет симметричной, если билинейная форма симметрично.
Приложения
- В римановой геометрии с учетом вложенного-мерное риманово многообразие и координатная карта для , объемная форма на индуцированное вложением, может быть вычислено с использованием грамиана координатных касательных векторов:
Это обобщает классический поверхностный интеграл параметризованной поверхности для :
- Если векторы являются центрированными случайными величинами , грамиан приблизительно пропорционален ковариационной матрице , а масштабирование определяется количеством элементов в векторе.
- В квантовой химии матрица Грама набора базисных векторов является матрицей перекрытия .
- В теории управления (или в более общем плане теории систем ), то управляемость Gramian и наблюдаемость Gramian определяют свойство линейной системы.
- Матрицы Грамиана возникают при подборе модели ковариационной структуры (см., Например, Jamshidian and Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volume 18, pp. 79–94).
- В методе конечных элементов матрица Грама возникает из аппроксимации функции из конечномерного пространства; тогда элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций конечномерного подпространства.
- В машинном обучении , ядро функция часто представлена в виде матриц Грама. [2]
- Поскольку матрица Грама над вещественными числами является симметричной матрицей , она диагонализуема, а ее собственные значения неотрицательны. Диагонализация матрицы Грама - это разложение по сингулярным числам .
Характеристики
Позитивная полуопределенность
Матрица Грама симметрична в том случае, если реальный продукт является вещественным; он эрмитов в общем, сложном случае по определению внутреннего продукта .
Матрица Грама является положительно полуопределенной матрицей , и каждая положительно полуопределенная матрица является матрицей Грама для некоторого набора векторов. Тот факт, что матрица Грамиана является положительно-полуопределенной, можно увидеть из следующего простого вывода:
Первое равенство следует из определения умножения матриц, второе и третье - из билинейности скалярного произведения , а последнее - из положительной определенности скалярного произведения. Обратите внимание, что это также показывает, что матрица Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы (т. е. для всех ). [1]
Нахождение векторной реализации
Для любой положительно полуопределенной матрицы , его можно разложить как:
- ,
где является сопряженной транспозицией из (или же в реальном случае).
Здесь это матрица, где это звание из. Различные способы получить такое разложение включают вычисление разложения Холецкого или извлечение неотрицательного квадратного корня из.
Колонны из можно рассматривать как n векторов в(или k -мерное евклидово пространство, в реальном случае). потом
где точечный продукт обычный внутренний продукт на .
Таким образом, эрмитова матрица положительно полуопределено тогда и только тогда, когда это матрица Грама некоторых векторов. Такие векторы называют реализацией вектора из. Бесконечномерный аналог этого утверждения - теорема Мерсера .
Единственность векторных реализаций
Если матрица Грама векторов в , затем применяя любое вращение или отражение (любое ортогональное преобразование , то есть любая евклидова изометрия, сохраняющая 0) в последовательность векторов приводит к той же матрице Грама. То есть для любого ортогональная матрица , матрица Грама это также .
Это единственный способ, которым две вещественные векторные реализации могут отличаться: векторы единственны с точностью до ортогональных преобразований . Другими словами, скалярные произведения а также равны тогда и только тогда, когда некоторое жесткое преобразование преобразует векторы к и от 0 до 0.
То же самое и в комплексном случае с унитарными преобразованиями вместо ортогональных. То есть, если матрица Грама векторов равна матрице Грама векторов в , то существует унитарный матрица (имея в виду ) такие, что для . [3]
Прочие свойства
- Матрица Грама любого ортонормированного базиса является единичной матрицей.
- Ранг матрицы Грама векторов в или же равна размерности пространства, натянутого на эти векторы. [1]
Определитель грамма
Определитель Грама или Gramian определитель матрицы Грама:
Если векторы в , то это квадрат n- мерного объема параллелоэдра, образованного векторами. В частности, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда параллелоэдр имеет ненулевой n -мерный объем, тогда и только тогда, когда определитель Грама отличен от нуля, тогда и только тогда, когда матрица Грама неособа . Когда m = n, это сводится к стандартной теореме о том, что определитель n n-мерных векторов является n-мерным объемом.
Определитель Грама также может быть выражен через внешнее произведение векторов следующим образом:
Смотрите также
- Грамиан управляемости
- Грамиан наблюдаемости
Рекомендации
- ^ a b c Horn & Johnson 2013 , стр. 441, с.441, теорема 7.2.10.
- ^ Lanckriet, GRG; Cristianini, N .; Bartlett, P .; Ghaoui, LE; Иордания, Мичиган (2004). «Изучение матрицы ядра с помощью полуопределенного программирования» . Журнал исследований в области машинного обучения . 5 : 27–72 [стр. 29].
- ^ Хорн и Джонсон (2013) , стр. 452, теорема 7.3.11
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6.
Внешние ссылки
- "Матрица Грама" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Объемы параллелограммов Фрэнка Джонса