Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Большой круг делит сферу на два равных полушария.

Большой круг , известный также как ортодромия , из сферы является пересечением сферы и плоскости , проходящей через центральную точку сферы. Большой круг - это самый большой круг, который можно нарисовать на любой данной сфере. Любой диаметр любого большого круга совпадает с диаметром сферы, и поэтому все большие круги имеют одинаковый центр и длину окружности . Этот частный случай круга сферы противоположен маленькому кругу , то есть пересечению сферы и плоскости, которая не проходит через центр. Каждый круг вЕвклидово трехмерное пространство - это большой круг ровно одной сферы.

Для большинства пар различных точек на поверхности сферы существует уникальный большой круг, проходящий через две точки. Исключение составляет пара противоположных точек, для которых существует бесконечно много больших окружностей. Малая дуга большого круга между двумя точками - это кратчайший путь по поверхности между ними. В этом смысле малая дуга аналогична «прямым линиям» в евклидовой геометрии . Длина малой дуги большого круга берется как расстояние между двумя точками на поверхности сферы в римановой геометрии, где такие большие окружности называются римановыми окружностями . Эти большие круги являются геодезическими на сфере.

Диск , ограниченный большой круг называется большой диск : это пересечение шара и плоскостью , проходящей через его центр. В более высоких измерениях большие круги на n- сфере являются пересечением n -сферы с 2-плоскостями, которые проходят через начало координат в евклидовом пространстве R n + 1 .

Вывод кратчайших путей [ править ]

Чтобы доказать, что малая дуга большого круга является кратчайшим путем, соединяющим две точки на поверхности сферы, можно применить к ней вариационное исчисление .

Рассмотрим класс всех правильных путей от одной точки до другой . Введите сферические координаты так, чтобы они совпадали с северным полюсом. Любая кривая на сфере, которая не пересекает ни один полюс, за исключением, возможно, конечных точек, может быть параметризована следующим образом:

при условии, что мы позволяем принимать произвольные реальные значения. Бесконечно малая длина дуги в этих координатах равна

Таким образом, длина кривой от до является функционалом кривой, заданной формулой

Согласно уравнению Эйлера – Лагранжа , минимизируется тогда и только тогда, когда

,

где - независимая постоянная, а

Из первого из этих двух уравнений можно получить, что

.

Интегрируя обе части и учитывая граничное условие, действительное решение равно нулю. Таким образом, и может быть любым значением от 0 до , что указывает на то, что кривая должна лежать на меридиане сферы. В декартовых координатах это

который представляет собой плоскость, проходящую через начало координат, т. е. центр сферы.

Приложения [ править ]

Некоторые примеры больших кругов на небесной сфере включают небесный горизонт , небесный экватор и эклиптику . Большие круги также используются как довольно точные аппроксимации геодезических на поверхности Земли для воздушной или морской навигации (хотя это не идеальная сфера ), а также на сфероидальных небесных телах .

Экватор идеализированного земли является большим кругом и любой меридиан и его противоположность Meridian образует большой круг. Другой большой круг - это тот, который разделяет земное и водное полушария . Большой круг делит землю на два полушария, и если большой круг проходит через точку, он должен пройти через свою противоположную точку .

Преобразование Функ объединяет функцию по всем большим окружностям сферы.

См. Также [ править ]

  • Расстояние большого круга
  • Навигация по большому кругу
  • Линия румба

Внешние ссылки [ править ]

  • Великий круг - из описания Великого круга MathWorld , фигур и уравнений. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999 г.
  • Большие круги на карте Меркатора, автор Джон Снайдер с дополнительными вкладами Джеффа Брайанта, Пратика Десаи и Карла Волла, Wolfram Demonstrations Project .
  • Документ по навигационным алгоритмам : The Sailings.
  • Работа с картами - навигационные алгоритмы Бесплатное программное обеспечение для работы с картами: линия Rhumb, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Линии позиции «Пилотирование» - течения и береговая привязка.