Теория групп

Популярная головоломка « Кубик Рубика», изобретенная в 1974 году Эрно Рубиком , использовалась в качестве иллюстрации групп перестановок . См . Группу Кубик Рубика .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике и абстрактной алгебре , теории групп изучают алгебраические структуры , известные как группы . Концепция группы является центральной для абстрактной алгебры: другие хорошо известные алгебраические структуры, такие как кольца , поля и векторные пространства , можно рассматривать как группы, наделенные дополнительными операциями и аксиомами . Группы повторяются в математике, а методы теории групп повлияли на многие разделы алгебры. Линейные алгебраические группы и группы Ли это две ветви теории групп, которые достигли прогресса и стали самостоятельными предметными областями.

Различные физические системы, такие как кристаллы и атом водорода , можно моделировать группами симметрии . Таким образом, теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют много важных приложений в физике , химии и материаловедении . Теория групп также занимает центральное место в криптографии с открытым ключом .

Ранняя история теории групп восходит к 19 веку. Одним из наиболее важных математических достижений 20-го века ^[1] были совместные усилия, занявшие более 10 000 журнальных страниц и в основном опубликованные в период с 1960 по 1980 годы, которые завершились полной классификацией конечных простых групп .

Основные классы групп [ править ]

Диапазон рассматриваемых групп постепенно расширился от конечных групп перестановок и специальных примеров матричных групп до абстрактных групп, которые могут быть определены посредством представления с помощью генераторов и отношений .

Группы перестановок [ править ]

Первым классом групп, подвергшимся систематическому изучению, были группы перестановок . Для любого набора X и коллекции G из биекций из X в себя (известный как перестановок ), замкнутое относительно композиций и инверсий, G представляет собой группу , действующая на X . Если X состоит из n элементов, а G состоит из всех перестановок, G - симметрическая группа S _n ; вообще, любая группа подстановок G являетсяподгруппы симметрической группы X . Ранняя конструкция Кэли показывала любую группу как группу перестановок, действующую на себя ( X = G ) посредством левого регулярного представления .

Во многих случаях структуру группы перестановок можно изучить, используя свойства ее действия на соответствующем множестве. Например, таким образом , один доказывает , что для п ≥ 5 , в чередующиеся группы А _п является простым , т.е. не допускает каких - либо собственных нормальных подгрупп . Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах .

Группы матриц [ править ]

Следующий важный класс групп - это матричные или линейные группы . Здесь G - множество, состоящее из обратимых матриц заданного порядка n над полем K , замкнутым относительно произведений и обратным. Такая группа действует на п - мерном векторном пространстве К ^п от линейных преобразований . Это действие делает матричные группы концептуально аналогичных группы перестановок, а геометрия действия может быть с пользой использована для установления свойства группы G .

Группы трансформации [ править ]

Группы перестановок и группы матриц являются частными случаями групп преобразований : групп, которые действуют в определенном пространстве X, сохраняя присущую ему структуру. В случае групп перестановок X - это множество; для групп матриц X - векторное пространство . Концепция группы преобразований тесно связана с концепцией группы симметрии : группы преобразований часто состоят из всех преобразований, сохраняющих определенную структуру.

Теория групп преобразований образует мост, связывающий теорию групп с дифференциальной геометрией . Длинное направление исследований, начатое Ли и Клейном , рассматривает действия групп на многообразиях с помощью гомеоморфизмов или диффеоморфизмов . Сами группы могут быть дискретными или непрерывными .

Абстрактные группы [ править ]

Большинство групп, рассматриваемых на первом этапе развития теории групп, были «конкретными», реализованными посредством чисел, перестановок или матриц. Лишь в конце девятнадцатого века идея абстрактной группы как множества с операциями, удовлетворяющими определенной системе аксиом, начала укрепляться. Типичный способ определения абстрактной группы - представление с помощью генераторов и отношений ,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Важным источником абстрактных групп дается строительство фактор - группы , или фактор - группы , G / H , группы G с помощью нормальной подгруппы H . Класс группы из полей алгебраических чисел были одними из самых ранних примеров фактора - групп, большого интереса в теории чисел . Если группа G является группой перестановок на множестве X , фактор-группа G / H больше не действует на X ; но идея абстрактной группы позволяет не беспокоиться об этом несоответствии.

Смена точки зрения от конкретных к абстрактным группам делает естественным рассмотрение свойств групп, которые не зависят от конкретной реализации или, говоря современным языком, инвариантных относительно изоморфизма , а также классов групп с данным таким свойством: конечные группы , периодические группы , простые группы , разрешимые группы и т. д. Вместо того, чтобы исследовать свойства отдельной группы, каждый стремится установить результаты, применимые ко всему классу групп. Новая парадигма имела первостепенное значение для развития математики: она предвосхитила создание абстрактной алгебры в трудах Гильберта , Эмиля Артина., Эмми Нётер и математики их школы. ^{[ необходима цитата ]}

Группы с дополнительной структурой [ править ]

Важное развитие концепции группы происходит, если G наделен дополнительной структурой, в частности, топологическим пространством , дифференцируемым многообразием или алгебраическим многообразием . Если групповые операции m (умножение) и i (обращение),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

совместимы с этой структурой, т. е. являются непрерывными , гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, то G - топологическая группа , группа Ли или алгебраическая группа . ^[2]

Наличие дополнительной структуры связывает эти типы групп с другими математическими дисциплинами и означает, что для их изучения доступно больше инструментов. Топологические группы образуют естественную область для абстрактного гармонического анализа , тогда как группы Ли (часто реализованные как группы преобразований) являются основой дифференциальной геометрии и теории унитарных представлений . Некоторые вопросы классификации, которые не могут быть решены в целом, могут быть решены для особых подклассов групп. Таким образом, компактные связные группы Ли полностью классифицированы. Между бесконечными абстрактными группами и топологическими группами существует плодотворная связь: всякий раз, когда группа Γможет быть реализована как решетка в топологической группе G , геометрия и анализ, относящиеся к G, дают важные результаты о Γ . Сравнительно недавняя тенденция в теории конечных групп использует их связи с компактными топологическими группами ( проконечными группами ): например, единственная p -адическая аналитическая группа G имеет семейство факторов, которые являются конечными p -группами различного порядка, и свойствами группы G переводятся в свойства ее конечных частных.

Разделы теории групп [ править ]

Теория конечных групп [ править ]

В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . ^{[ необходимая цитата ]} Как следствие, была достигнута полная классификация конечных простых групп , а это означает, что теперь известны все те простые группы, из которых могут быть построены все конечные группы.

Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство полных линейных групп над конечными полями . Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием ассоциированных групп Вейля.. Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими в конечномерном евклидовом пространстве . Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия .

Представление групп [ править ]

Утверждение, что группа G действует на множестве X, означает, что каждый элемент G определяет биективное отображение на множестве X способом, совместимым со структурой группы. Когда X имеет больше структуры, полезно дополнительно ограничить это понятие: представление G в векторном пространстве V является гомоморфизмом групп :

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V),}$

где GL ( V ) состоит из обратимых линейных преобразований в V . Другими словами, для каждой группы элементов г присваивается автоморфизм р ( г ) такое , что р ( г ) ∘ р ( ч ) = р ( GH ) для любого ч в G .

Это определение можно понимать в двух направлениях, каждое из которых ведет к появлению совершенно новых областей математики. ^[3] С одной стороны, это может дать новую информацию о группе G : часто групповая операция в G задается абстрактно, но через ρ она соответствует умножению матриц , что очень явно. ^[4] С другой стороны, если хорошо изученная группа действует на сложный объект, это упрощает изучение рассматриваемого объекта. Например, если G конечна, известно, что V выше разлагается на неприводимые части. С этими частями, в свою очередь, гораздо легче справиться, чем с целым V ( в силу леммы Шура ).

Учитывая группу G , теория представлений спрашивает , какие представления G существует. Есть несколько условий, и используемые методы и полученные результаты существенно различаются в каждом случае: теория представлений конечных групп и представления групп Ли - две основные области теории. Совокупность представлений определяется персонажами группы . Например, полиномы Фурье можно интерпретировать как символы U (1) , группы комплексных чисел с абсолютным значением 1 , действующей на L 2-пространство периодических функций.

Теория лжи [ править ]

Группа Ли - это группа, которая также является дифференцируемым многообразием со свойством совместимости групповых операций с гладкой структурой . Группы Ли названы в честь Софуса Ли , заложившего основы теории непрерывных групп преобразований . Термин "группы де Ли" впервые появился на французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли Артура Тресса , стр. 3. ^[5]

Группы Ли представляют собой наиболее развитую теорию непрерывной симметрии в математических объектах и структур , что делает их незаменимыми инструменты для многих частей современной математики, а также для современной теоретической физики . Они обеспечивают естественную основу для анализа непрерывных симметрий дифференциальных уравнений ( дифференциальная теория Галуа ) во многом так же, как группы перестановок используются в теории Галуа для анализа дискретных симметрий алгебраических уравнений . Распространение теории Галуа на случай непрерывных групп симметрии было одним из основных мотивов Ли.

Комбинаторная и геометрическая теория групп [ править ]

Группы можно описать по-разному. Конечные группы можно описать, записав групповую таблицу, состоящую из всех возможных умножений g • h . Более компактный способ определения группы - образующие и отношения , также называемые представлением группы. Любое множество F генераторов , то свободная группа , порожденная F surjects на группу G . Ядро этого отображения называется подгруппой отношений, порожденной некоторым подмножество D . Презентация обычно обозначается Например, групповая презентация${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$описывает группу, которая изоморфна Строке, состоящей из образующих символов и их обратных, называется словом .${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Комбинаторная теория групп изучает группы с точки зрения образующих и отношений. ^[6] Это особенно полезно, когда выполняются предположения о конечности, например, конечно порожденные группы или конечно определенные группы (т. Е., Кроме того, отношения конечны). В этой области используется связь графов через их фундаментальные группы . Например, можно показать, что каждая подгруппа свободной группы свободна.

Есть несколько естественных вопросов, возникающих при представлении группы. Проблема слова спрашивает, являются ли два слова фактически одним и тем же элементом группы. Связав проблему с машинами Тьюринга , можно показать, что в целом не существует алгоритма, решающего эту задачу. Другой, обычно более сложной, алгоритмически неразрешимой проблемой является проблема изоморфизма групп , которая спрашивает, действительно ли две группы, заданные разными представлениями, изоморфны. Например, группа с представлением изоморфна аддитивной группе Z целых чисел, хотя это может быть не сразу очевидно. ^[7]${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$

Геометрическая теория групп решает эти проблемы с геометрической точки зрения, рассматривая группы как геометрические объекты или находя подходящие геометрические объекты, над которыми действует группа. ^[8] Первая идея уточняется с помощью графа Кэли , вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра соответствуют правому умножению в группе. Для двух элементов строится словесная метрика, заданная длиной минимального пути между элементами. Теорема Милнора и Сварца затем гласит, что для группы G, действующей разумным образом на метрическом пространстве X , например на компактном многообразии , G являетсяквазиизометрично (т.е. похож от расстояния) к пространству X .

Связь групп и симметрия [ править ]

Для структурированного объекта X любого вида симметрия - это отображение объекта на самого себя, которое сохраняет структуру. Это происходит во многих случаях, например

1. Если X - это набор без дополнительной структуры, симметрия - это биективное отображение набора в себя, дающее начало группам перестановок .
2. Если объект X представляет собой набор точек на плоскости с его метрической структурой или любым другим метрическим пространством , симметрия - это биекция этого набора самому себе, которая сохраняет расстояние между каждой парой точек ( изометрия ). Соответствующая группа называется изометрия группой из X .
3. Если вместо этого углы сохраняются, говорят о конформных отображениях . Например, конформные отображения дают начало клейновым группам .
4. Симметрии не ограничиваются геометрическими объектами, но также включают алгебраические объекты. Например, уравнение имеет два решения и . В этом случае группа, которая меняет местами два корня, является группой Галуа, принадлежащей уравнению. Каждое полиномиальное уравнение от одной переменной имеет группу Галуа, то есть определенную группу перестановок на его корнях.${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

Аксиомы группы формализуют существенные аспекты симметрии . Симметрии образуют группу: они замкнуты, потому что если вы берете симметрию объекта, а затем применяете другую симметрию, результатом все равно будет симметрия. Тождество, удерживающее объект фиксированным, всегда является симметрией объекта. Существование инверсий гарантируется отменой симметрии, а ассоциативность исходит из того факта, что симметрии являются функциями в пространстве, а композиция функций ассоциативна.

Теорема Фрухта утверждает, что каждая группа является группой симметрий некоторого графа . Итак, каждая абстрактная группа на самом деле является симметрией некоторого явного объекта.

Выражение «сохранение структуры» объекта можно уточнить, работая с категорией . Карты, сохраняющие структуру, тогда являются морфизмами , а группа симметрии - группой автоморфизмов рассматриваемого объекта.

Приложения теории групп [ править ]

Применений теории групп предостаточно. Почти все структуры абстрактной алгебры являются частными случаями групп. Кольца , например, можно рассматривать как абелевы группы (соответствующие сложению) вместе со второй операцией (соответствующей умножению). Следовательно, теоретико-групповые аргументы лежат в основе большей части теории этих сущностей.

Теория Галуа [ править ]

Теория Галуа использует группы для описания симметрий корней многочлена (или, точнее, автоморфизмов алгебр, порожденных этими корнями). Основная теорема теории Галуа обеспечивает связь между алгебраическими расширениями полей и теорией групп. Он дает эффективный критерий разрешимости полиномиальных уравнений в терминах разрешимости соответствующей группы Галуа . Например, S ₅ , симметрическая группа из 5 элементов, не разрешима, что означает, что общее уравнение квинтикине могут быть решены радикалами, как уравнения более низкой степени. Теория, являющаяся одним из исторических корней теории групп, до сих пор плодотворно применяется для получения новых результатов в таких областях, как теория полей классов .

Алгебраическая топология [ править ]

Алгебраическая топология - еще одна область, которая явно связывает группы с объектами, интересующими теорию. Там группы используются для описания определенных инвариантов топологических пространств . Их называют «инвариантами», потому что они определены таким образом, что не изменяются, если пространство подвергается некоторой деформации . Например, фундаментальная группа «считает», сколько путей в пространстве существенно различаются. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2002/2003 гг. Григорием Перельманом , является ярким примером применения этой идеи. Однако влияние не является однонаправленным. Например, в алгебраической топологии используются пространства Эйленберга – Маклейна.которые являются пространствами с заданными гомотопическими группами . Точно так же алгебраическая K-теория в некотором роде опирается на классификацию пространств групп. Наконец, название торсионной подгруппы бесконечной группы показывает наследие топологии в теории групп.

Алгебраическая геометрия [ править ]

Алгебраическая геометрия также во многом использует теорию групп. Абелевы многообразия были введены выше. Наличие групповой операции дает дополнительную информацию, которая делает эти разновидности особенно доступными. Они также часто служат проверкой новых домыслов. ^[9] Особенно подробно изучен одномерный случай, а именно эллиптические кривые . Они интересны как теоретически, так и практически. ^[10] С другой стороны, торические многообразия - это алгебраические многообразия, на которых действует тор . Тороидальные вложения недавно привели к успехам в алгебраической геометрии , в частностиразрешение особенностей . ^[11]

Алгебраическая теория чисел [ править ]

В алгебраической теории чисел группы используются для некоторых важных приложений. Например, формула произведения Эйлера ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

фиксирует тот факт, что любое целое число уникальным образом разлагается на простые числа . Несостоятельность этого утверждения для более общих колец приводит к появлению групп классов и регулярных простых чисел , которые присутствуют в трактовке Куммером Великой теоремы Ферма .

Гармонический анализ [ править ]

Анализ на группах Ли и некоторых других группах называется гармоническим анализом . Меры Хаара , то есть интегралы, инвариантные относительно трансляции в группе Ли, используются для распознавания образов и других методов обработки изображений . ^[12]

Комбинаторика [ править ]

В комбинаторике понятие группы перестановок и понятие группового действия часто используются для упрощения подсчета набора объектов; см., в частности , лемму Бернсайда .

Музыка [ править ]

Наличие 12- периодичности в круге квинт дает применение элементарной теории групп в музыкальной теории множеств . Теория трансформаций моделирует музыкальные трансформации как элементы математической группы.

Физика [ править ]

В физике группы важны, потому что они описывают симметрии, которым, кажется, подчиняются законы физики. Согласно теореме Нётер , каждая непрерывная симметрия физической системы соответствует закону сохранения системы. Физиков очень интересуют представления групп, особенно групп Ли, поскольку эти представления часто указывают путь к «возможным» физическим теориям. Примеры использования групп в физике включают Стандартную модель , калибровочную теорию , группу Лоренца и группу Пуанкаре .

Химия и материаловедение [ править ]

В химии и науках о материалах , точечные группы используются для классификации правильных многогранников, а также симметрий молекул , и пространственных групп для классификации кристаллических структур . Назначенные группы затем можно использовать для определения физических свойств (таких как химическая полярность и хиральность ), спектроскопических свойств (особенно полезно для спектроскопии комбинационного рассеяния света , инфракрасной спектроскопии , спектроскопии кругового дихроизма, спектроскопии магнитного кругового дихроизма, УФ / видимой спектроскопии и флуоресцентной спектроскопии) , и построить молекулярные орбитали .

Молекулярная симметрия отвечает за многие физические и спектроскопические свойства соединений и предоставляет важную информацию о том, как протекают химические реакции. Чтобы назначить точечную группу любой данной молекуле, необходимо найти набор операций симметрии, присутствующих на ней. Операция симметрии - это действие, такое как вращение вокруг оси или отражение через плоскость зеркала. Другими словами, это операция, которая перемещает молекулу так, что она неотличима от первоначальной конфигурации. В теории групп оси вращения и зеркальные плоскости называются «элементами симметрии». Эти элементы могут быть точкой, линией или плоскостью, относительно которой выполняется операция симметрии. Операции симметрии молекулы определяют конкретную точечную группу для этой молекулы.

В химии существует пять важных операций симметрии. Это операция идентичности ( E) , операция вращения или правильного вращения ( C _n ), операция отражения ( σ ), инверсия ( i ) и операция отражения вращения или неправильное вращение ( S _n ). Операция идентичности ( E ) заключается в том, чтобы оставить молекулу такой, какая она есть. Это эквивалентно любому количеству полных оборотов вокруг любой оси. Это симметрия всех молекул, тогда как группа симметрии киральноймолекула состоит только из тождественной операции. Операция идентичности характерна для каждой молекулы, даже если она не имеет симметрии. Вращение вокруг оси ( C _n ) состоит из вращения молекулы вокруг определенной оси на определенный угол. Это поворот на угол 360 ° / n , где n - целое число, вокруг оси вращения. Например, если молекула воды вращается на 180 ° вокруг оси, проходящей через атом кислорода и между атомами водорода , она находится в той же конфигурации, что и в начале. В этом случае n = 2, поскольку его двойное применение приводит к операции идентификации. В молекулах с более чем одной осью вращения ось Cn, имеющая наибольшее значение n, является осью вращения или главной осью высшего порядка. Например, Borane (BH3), ось вращения наивысшего порядка - C ₃ , поэтому главная ось вращения оси - C ₃ .

В операции отражения ( σ ) многие молекулы имеют зеркальные плоскости, хотя они могут быть неочевидными. Операция отражения меняется влево и вправо, как если бы каждая точка перемещалась перпендикулярно плоскости в положение, находящееся точно так же далеко от плоскости, как и при ее запуске. Когда плоскость перпендикулярна главной оси вращения, ее называют σ _h (горизонтальной). Другие плоскости, которые содержат главную ось вращения, обозначены как вертикальные ( σ _v ) или двугранные ( σ _d ).

Инверсия (i) - более сложная операция. Каждая точка перемещается через центр молекулы в положение, противоположное исходному положению, и настолько далеко от центральной точки, где она начиналась. Многие молекулы, которые на первый взгляд кажутся имеющими центр инверсии, не имеют; например, метан и другие тетраэдрическиемолекулы лишены инверсионной симметрии. Чтобы увидеть это, возьмем модель метана с двумя атомами водорода в вертикальной плоскости справа и двумя атомами водорода в горизонтальной плоскости слева. Инверсия приводит к появлению двух атомов водорода в горизонтальной плоскости справа и двух атомов водорода в вертикальной плоскости слева. Следовательно, инверсия не является операцией симметрии метана, потому что ориентация молекулы после операции инверсии отличается от исходной ориентации. И последняя операция - неправильное вращение или операция отражения вращения ( S _n ) требует вращения на 360 ° / n , за которым следует отражение через плоскость, перпендикулярную оси вращения.

Статистическая механика [ править ]

Теория групп может использоваться, чтобы разрешить неполноту статистических интерпретаций механики, разработанной Уиллардом Гиббсом , относящейся к суммированию бесконечного числа вероятностей для получения значимого решения. ^[13]

Криптография [ править ]

Очень большие группы простого порядка , построенные в эллиптической кривой криптографии служат для криптографии с открытым ключом . Криптографические методы такого типа выигрывают от гибкости геометрических объектов, следовательно, их групповой структуры, а также сложной структуры этих групп, что затрудняет вычисление дискретного логарифма . Один из самых ранних протоколов шифрования, шифр Цезаря , также можно интерпретировать как (очень простую) групповую операцию. Большинство криптографических схем так или иначе используют группы. В частности, при обмене ключами Диффи – Хеллмана используются конечные циклические группы. Таким образом, термин «групповая криптография» относится в основном к криптографическим протоколам, которые используют бесконечные неабелевы группы, такие как группа кос.

История [ править ]

Теория групп имеет три основных исторических источника: теория чисел , теория алгебраических уравнений и геометрия . Теоретико-числовое направление было начато Леонардом Эйлером и развито работой Гаусса по модульной арифметике, а также аддитивным и мультипликативным группам, связанным с квадратичными полями . Ранние результаты о группах подстановок были получены Лагранжем , Руффини и Абелем в их поисках общих решений полиномиальных уравнений высокой степени. Эварист Галуа ввел термин «группа» и установил связь, известную теперь какТеория Галуа , между зарождающейся теорией групп и теорией поля . В геометрии группы сначала стали важными в проективной геометрии, а затем и в неевклидовой геометрии . Felix Klein «s программа Эрланген провозглашено теории групп, является организующим принципом геометрии.

Галуа в 1830-х годах был первым, кто использовал группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений . Артур Кэли и Огюстен Луи Коши продвинули эти исследования дальше, создав теорию групп перестановок . Второй исторический источник групп исходит из геометрических ситуаций. Пытаясь разобраться с возможными геометриями (такими как евклидова , гиперболическая или проективная геометрия ) с помощью теории групп, Феликс Кляйн инициировал программу Эрлангена . Софус Ли в 1884 году начал использовать группы (теперь называемыеГруппы Ли ), связанные с аналитическими задачами. В-третьих, группы сначала неявно, а затем явно использовались в алгебраической теории чисел .

Различный объем этих ранних источников привел к разным представлениям о группах. Теория групп была унифицирована, начиная примерно с 1880 года. С тех пор влияние теории групп постоянно росло, что привело к рождению абстрактной алгебры в начале 20 века, теории представлений и многих других влиятельных дополнительных областей. Классификация конечных простых групп является огромным телом работы с середины 20 - го века, классифицируя все конечные простые группы .

См. Также [ править ]

• Список тем теории групп
• Примеры групп

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Борель, Арманд (1991), линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0941-6 , ISBN 978-0-387-97370-8, MR  1102012
• Картер, Натан С. (2009), Теория визуальных групп , Серия материалов по учебным ресурсам, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-757-1, Руководство по ремонту  2504193
• Кэннон, Джон Дж (1969), "Компьютеры в теории групп: обзор А", Связь по АКМ , 12 : 3-12, DOI : 10,1145 / 362835,362837 , MR  0290613
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe" , Compositio Mathematica , 6 : 239–50, ISSN  0010-437X , заархивировано с оригинала на 2008-12-01
• Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2006), "Нелинейная динамика сетей: формализм группоидов", Бюлл. Амер. Математика. Soc. (NS) , 43 (03): 305-364, DOI : 10,1090 / S0273-0979-06-01108-6 , MR  2223010Показывает преимущество обобщения от группы к группоиду .
• Джадсон, Томас В. (1997), Абстрактная алгебра: теория и приложения Вводный текст для студентов в духе текстов Галлиана или Херштейна, охватывающий группы, кольца, области целостности, поля и теорию Галуа. Бесплатно загружаемый PDF-файл с лицензией GFDL с открытым исходным кодом .
• Клейнер, Израиль (1986), "Эволюция теории групп: краткий обзор", Математика Magazine , 59 (4): 195-215, DOI : 10,2307 / 2690312 , ISSN  0025-570X , JSTOR  2690312 , MR  0863090
• Ла Харп, Пьер де (2000), Темы геометрической теории групп , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-31721-2
• Ливио, М. (2005), Уравнение, которое не могло быть решено: как математический гений открыл язык симметрии , Саймон и Шустер, ISBN 0-7432-5820-7Передает практическую ценность теории групп, объясняя, как она указывает на симметрии в физике и других науках.
• Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Ронан М. , 2006. Симметрия и чудовище . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-280722-6 . Для непрофессиональных читателей. Описывает поиск основных строительных блоков для конечных групп. 
• Ротман, Джозеф (1994), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 Стандартный современный справочник.
• Schupp, Paul E .; Линдон, Роджер К. (2001), комбинаторная теория групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1
• Скотт, WR (1987) [1964], Теория групп , Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-65377-3 Недорогой и довольно читаемый, но несколько устаревший по акцентам, стилю и обозначениям.
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08017-8, MR  0347778
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .

Внешние ссылки [ править ]

• История концепции абстрактной группы
• Теория групп более высоких измерений Это представляет собой взгляд на теорию групп как на первый уровень теории, которая распространяется во всех измерениях, и имеет приложения в теории гомотопий и неабелевых методах более высоких измерений для решения локальных и глобальных проблем.
• Пакет Plus для учителей и студентов: Теория групп В этом пакете собраны все статьи по теории групп из Plus , онлайн-математического журнала, выпускаемого в рамках Millennium Mathematics Project в Кембриджском университете. группы.
• Бернсайд, Уильям (1911). "Группы, теория"  . В Чисхолме, Хью (ред.). Encyclopdia Britannica . 12 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 626–636. Это подробное изложение современного понимания теории групп одним из первых исследователей в этой области.