В геометрии , Германн-Mauguin обозначение используется для представления элементов симметрии в группах точек , плоские группах и пространственных группах . Он назван в честь немецкого кристаллографа Карла Германа (который представил его в 1928 году) и французского минералога Шарля-Виктора Могена (который модифицировал его в 1931 году). Это обозначение иногда называют международным обозначением , потому что оно было принято в качестве стандарта Международными таблицами кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.
Обозначение Германа – Могена, по сравнению с обозначением Шенфлиса , предпочтительнее в кристаллографии, потому что его можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии, и оно определяет направления осей симметрии. [1]
Группы точек
Оси вращения обозначаются цифрами n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (угол поворота φ = 360 °/п). Для неправильных вращений символы Германа – Могена показывают оси вращения, в отличие от обозначений Шенфлиса и Шубникова, которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии обозначены соответствующим номером с макроном , n - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , .... 2 эквивалентно зеркальной плоскости и обычно обозначается как m . Направление плоскости зеркала определяется как направление перпендикуляра к ней (направление оси 2 ).
Символы Германа – Могена симметрично показывают неэквивалентные оси и плоскости. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа – Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одинаковое направление (т. Е. Плоскость перпендикулярна оси n ), то они обозначаются дробью п/мили н / м .
Если две или более оси имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось образует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные шаблоны соответственно. Неправильные оси вращения 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 создают 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечные шаблоны соответственно. Если ось вращения и ось вращения создают одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например, 3/мкомбинация эквивалентна 6 . Так как 6 генерирует 6 очков, а 3 генерирует только 3, 6 должен быть записан вместо 3/м (нет 6/м, поскольку 6 уже содержит зеркальную плоскость m ). Аналогично, в случае , когда оба 3 и 3 осей присутствуют, 3 должны быть записаны. Однако мы пишем 4/м, нет 4/м, потому что и 4, и 4 генерируют четыре точки. В случае 6/мкомбинация, где присутствуют оси 2, 3, 6, 3 и 6 , оси 3 , 6 и 6 все генерируют 6-точечные шаблоны, но следует использовать последний, потому что это ось вращения - символ будет 6/м.
И, наконец, символ Германн-Mauguin зависит от типа [ разъяснение необходимости ] в группе .
Группы без осей высшего порядка (оси третьего и более порядка)
Эти группы могут содержать только оси двойного сечения, зеркальные плоскости и / или центр инверсии. Это кристаллографические точечные группы 1 и 1 ( триклинная кристаллическая система ), 2, m и 2/м( моноклинический ) и 222, 2/м2/м2/м, мм 2 ( ромбическая ). (Краткая форма 2/м2/м2/мравно mmm .) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлениях x , y , z соответственно.
Группы с одной осью высшего порядка
- Первая позиция - основное направление - направление z , присвоенное оси более высокого порядка.
- Вторая позиция - симметрично эквивалентные вторичные направления, перпендикулярные оси z . Это может быть 2, м или 2/м.
- Третья позиция - симметрично эквивалентные третичные направления, переходящие между второстепенными направлениями [ требуется пояснение ] . Это может быть 2, м или 2/м.
Это кристаллографические группы 3, 32, 3 м , 3 и 3.2/м( тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4 мм , 4 , 4 2 м , 4/м, а также 4/м2/м2/м( четырехугольный ), и 6, 622, 6 мм , 6 , 6 м 2, 6/м, а также 6/м2/м2/м( шестиугольный ). Аналогично могут быть построены символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9 ...). Эти группы можно расположить в следующей таблице.
Schoenflies | Символ H – M | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
C n | п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
C nv | нм | 3 мес. | 5 мес. | 7 мес. | 9 мес. | 11 мес. | ∞ м | ||||||
нмм | 4 мм | 6 мм | 8 мм | 10 мм | 12 мм | ||||||||
S 2 н | п | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | ∞/м | ||||||
S n | 4 | 8 | 12 | ||||||||||
Cп/2час | 6 | 10 | |||||||||||
C nh | п/м | 4/м | 6/м | 8/м | 10/м | 12/м | |||||||
D n | п 2 | 32 | 52 | 72 | 92 | (11) 2 | ∞2 | ||||||
п 22 | 422 | 622 | 822 | (10) 22 | (12) 22 | ||||||||
D nd | п2/м | 32/м | 52/м | 72/м | 92/м | ( 11 ) 2/м | ∞/мм | ||||||
Dп/2d | п 2 м = п м 2 | 4 2 мес. | 8 2 мес. | ( 12 ) 2 мес. | |||||||||
Dп/2час | 6 м 2 | ( 10 ) м 2 | |||||||||||
D nh | п/м2/м2/м | 4/м2/м2/м | 6/м2/м2/м | 8/м2/м2/м | 10/м2/м2/м | 12/м2/м2/м |
Можно заметить, что в группах с осями нечетного порядка n и n третья позиция в символе всегда отсутствует, потому что все направления n , перпендикулярные оси более высокого порядка, симметрично эквивалентны. Например, на изображении треугольника все три зеркальные плоскости ( S 0 , S 1 , S 2 ) эквивалентны - все они проходят через одну вершину и центр противоположной стороны. Для осей четного порядка n и n существуют п/2 второстепенные направления и п/2третичные направления. Например, на изображении правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей - три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов может быть выбран в качестве второстепенных направлений, остальные наборы будут третичными направлениями. Следовательно, группы 4 2 m , 6 2 m , 8 2 m , ... могут быть записаны как 4 m 2, 6 m 2, 8 m 2, .... Для обозначений точечных групп этот порядок обычно не имеет значения; однако это будет важно для символов Германа – Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления представляют собой направления элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c , в то время как третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки b и c . Например, символы P 6 m 2 и P 6 2 m обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с осями нечетного порядка 3 и 3 . Перпендикулярные элементы симметрии могут идти вдоль трансляций b и c элементарной ячейки или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.
Символ точечной группы 32/мможет сбивать с толку; соответствующий символ Schoenflies - D 3 d , что означает, что группа состоит из 3-кратной оси, трех перпендикулярных 2-кратных осей и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осями, поэтому кажется, что группа может быть обозначена как 32 м или 3 м 2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначений Шенфлиса, направление плоскости в символе Германа – Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D 3 d все зеркальные плоскости перпендикулярны 2-кратным осям, поэтому они должны быть написаны в том же положении, что и 2/м. Во-вторых, эти 2/мкомплексы генерируют центр инверсии, который в сочетании с осью вращения 3-кратного генерирует 3 ось rotoinversion.
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри .
Группы с несколькими осями более высокого порядка
Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы : 23, 432, 2/м3 , 4 3 м , и 4/м32/м. Все они содержат четыре диагональных оси 3-го порядка. Эти оси расположены как оси 3-го порядка в кубе, направленные по его четырем пространственным диагоналям (куб имеет 4/м32/мсимметрия). Эти символы построены следующим образом:
- Первое положение - симметрично эквивалентные направления осей координат x , y и z . Они равнозначны за счет наличия диагональных осей 3-го порядка.
- Вторая позиция - диагональ 3 или 3 оси.
- Третье положение - диагональные направления между любыми двумя из трех осей координат x , y и z . Это может быть 2, м или 2/м.
Все представленные выше символы Германа – Могена называются полными . Для многих групп их можно упростить, исключив оси вращения n-го порядка в п/мпозиции. Это может быть сделано, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ для 2/м2/м2/мэто ммм , для 4/м2/м2/м является 4/ммм , а для 4/м32/мэто м 3 м . В группах, содержащих одну ось более высокого порядка, эту ось более высокого порядка нельзя пропускать. Например, символы 4/м2/м2/м а также 6/м2/м2/мможно упростить до 4 / ммм (или 4/ммм ) и 6 / ммм (или 6/ммм ), но не до ммм ; короткий символ для 32/мсоставляет 3 м . Полный и короткий символы для всех 32 кристаллографических точечных групп приведены на странице кристаллографических точечных групп .
Помимо пяти кубических групп, существуют еще две некристаллографические группы икосаэдров ( I и I h в обозначениях Шенфлиса ) и две предельные группы ( K и K h в обозначениях Шенфлиса ). Символы Германа – Могена не предназначались для некристаллографических групп, поэтому их символы довольно условны и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. [2] [3] [4] [5] [6] Группа I может быть обозначена как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для I h : m 35 , m 5 , m 5 m , 53 m . Возможные символы для предельной группы K - ∞∞ или 2∞, а для K h - ∞/м∞, или m ∞, или ∞∞ m .
Группы самолетов
Плоские группы можно изобразить с помощью системы Германа – Могена. Первая буква - строчная p или c для обозначения примитивных или центрированных элементарных ячеек . Следующее число - вращательная симметрия, как указано выше. Наличие зеркальных плоскостей обозначено m , а отражения скольжения обозначено g .
Космические группы
Символ пространственной группы определяется сочетанием прописной буквы, описывающей тип решетки, с символами, определяющими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группа, которая получается, если удалить все трансляционные компоненты из пространственной группы). Обозначения для элементов симметрии более разнообразны, поскольку, помимо осей вращения и зеркальных плоскостей, пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии - винтовые оси (сочетание вращения и перемещения) и плоскости скольжения (сочетание зеркального отражения и перемещения). В результате одной и той же точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая разные типы решетки и плоскости скольжения, можно сгенерировать 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm , например, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.
Типы решеток
Это типы решеток Браве в трех измерениях:
- P - примитивный
- I - Телоцентрированный (от немецкого "Innenzentriert")
- F - По центру лица (от немецкого "Flächenzentriert")
- A - База с центром только на гранях A
- B - основание с центром только на гранях B.
- C - Основание центрируется только по граням C.
- R - ромбоэдрический
Примитив, P | База по центру, C | По центру лица, F | Тело по центру, я | Ромбоэдрический в шестиугольной оправе, R |
Винтовые оси
Винтовая ось отмечена числом, п , где угол поворота 360 °/п. Затем степень смещения добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Например, 2 1 - это поворот на 180 ° (в два раза), за которым следует перенос 1/2вектора решетки. 3 1 - это поворот на 120 ° (в три раза) с последующим переносом 1/3 вектора решетки.
Возможные оси винта: 2 1 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 и 6 5 . Существует 4 энантиоморфных пары осей: (3 1 - 3 2 ), (4 1 - 4 3 ), (6 1 - 6 5 ) и (6 2 - 6 4 ). Этот энантиоморфизм приводит к 11 парам энантиоморфных пространственных групп, а именно
Кристаллическая система | Тетрагональный | Тригональный | Шестиугольный | Кубический | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Номер группы первой группы | P4 1 76 | П4 1 22 91 | П4 1 2 1 2 92 | П3 1 144 | Ч3 1 12 152 | П3 1 21 151 | П6 1 169 | P6 2 171 | П6 1 22 178 | П6 2 22 180 | П4 1 32 213 |
Вторая группа Номер группы | P4 3 78 | П4 3 22 95 | П4 3 2 1 2 96 | П3 2 145 | П3 2 12 154 | П3 2 21 153 | П6 5 170 | P6 4 172 | П6 5 22 179 | П6 4 22 181 | П4 3 32 212 |
Планирующие самолеты
Плоскости скольжения отмечены буквами a , b или c в зависимости от того, по какой оси идет планирование. Есть также скольжение n , которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение d , которое происходит вдоль четверти диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Д скольжения часто называют алмазной плоскостью скольжения , как это показывает в алмазной структуры.
- a , b или c - скользящее перемещение вдоль половины вектора решетки этой грани.
- n скользящий перевод вместе с диагональю половины лица.
- d - самолеты скольжения с переносом по четверти диагонали лица.
- е два скользит с одной и той же плоскостью скольжения и сдвигом вдоль два (различных) векторов половины решетки.
Рекомендации
- Перейти ↑ Sands, Donald E. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 165 . ISBN 0-486-67839-3.
- ^ [1]
- ^ Зоркий, Петр. "Семейства точечных групп" . www.chem.msu.su . Архивировано 15 апреля 2012 года.
- ^ Вайнштейн, Борис К., Современная кристаллография 1: Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии, Springer. 1994, стр.93.
- ^ Группы точек в трех измерениях
- ↑ Шубников, А.В., Белов, Н.В. и другие, Цветная симметрия, Оксфорд: Pergamon Press. 1964, стр.70.
Внешние ссылки
- Расшифровка нотации Германа-Магена - Введение в нотацию Германа-Магена для начинающих.