В физике плазмы , то уравнение Хасэгавы-Мим , названное в честь Akira Hasegawa и Kunioki Mima , является уравнением , которое описывает определенный режим плазмы , где временные масштабы очень быстро, а расстояние масштаб в направлении магнитного поля имеет длину . В частности, уравнение полезно для описания турбулентности в некоторых токамаках . Уравнение было введено в статье Хасегавы и Мимы, представленной в 1977 году в Physics of Fluids , где они сравнили его с результатами токамака ATC.
Предположения
- Магнитное поле достаточно велико, чтобы:
- для всех интересующих количеств. Когда частицы в плазме движутся через магнитное поле, они вращаются по кругу вокруг магнитного поля. Частота колебаний, известная как циклотронная частота или гирочастота, прямо пропорциональна магнитному полю.
- Плотность частиц подчиняется условию квазинейтральности :
- где Z - количество протонов в ионах. Если мы говорим о водороде, Z = 1, а n одинаково для обоих видов. Это условие верно до тех пор, пока электроны могут экранировать электрические поля. Облако электронов окружит любой заряд с приблизительным радиусом, известным как длина Дебая . По этой причине это приближение означает, что масштаб размера намного больше длины Дебая. Плотность ионных частиц может быть выражена членом первого порядка, который представляет собой плотность, определяемую уравнением условия квазинейтральности, и членом второго порядка, который показывает, насколько он отличается от уравнения.
- Плотность ионных частиц первого порядка зависит от положения, но не от времени. Это означает, что возмущения плотности частиц изменяются в масштабе времени намного медленнее, чем интересующий масштаб. Плотность частиц второго порядка, которая вызывает плотность заряда и, следовательно, электрический потенциал, может изменяться со временем.
- Магнитное поле B должно быть однородным в пространстве и не зависеть от времени. Магнитное поле также движется в масштабе времени намного медленнее, чем интересующий масштаб. Это позволяет пренебречь производной по времени в уравнении баланса импульса.
- Температура ионов должна быть намного меньше температуры электронов. Это означает, что давлением ионов можно пренебречь в уравнении баланса импульса ионов.
- Электроны следуют распределению Больцмана, где:
- Поскольку электроны могут свободно перемещаться в направлении магнитного поля, они экранируют электрические потенциалы. Это экранирование вызывает формирование Больцмановского распределения электронов вокруг электрических потенциалов.
Уравнение
Уравнение Хасегавы – Мима - это нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает электрический потенциал. Форма уравнения:
Хотя условие квазинейтральности выполняется, небольшие различия в плотности между электронами и ионами вызывают электрический потенциал. Уравнение Хасегавы – Мима выводится из уравнения неразрывности:
Скорость жидкости можно аппроксимировать дрейфом E cross B:
Предыдущие модели выводили свои уравнения из этого приближения. Дивергенция дрейфа E и B равна нулю, что сохраняет жидкость несжимаемой. Однако сжимаемость жидкости очень важна для описания эволюции системы. Хасегава и Мима утверждали, что это предположение неверно. Уравнение Хасегавы-Мима вводит член второго порядка для скорости жидкости, известный как поляризационный дрейф , чтобы найти дивергенцию скорости жидкости. Из-за предположения о большом магнитном поле дрейф поляризации намного меньше дрейфа E cross B. Тем не менее, он вводит важную физику.
Для двумерной несжимаемой жидкости, которая не является плазмой, уравнения Навье – Стокса говорят:
после взятия ротора уравнения баланса количества движения. Это уравнение почти идентично уравнению Хасегавы-Мима, за исключением того, что второй и четвертый члены пропали, а электрический потенциал заменен векторным потенциалом скорости жидкости, где:
Первый и третий члены уравнения Хасегавы – Мима, которые аналогичны уравнению Навье-Стокса, являются членами, введенными путем добавления поляризационного дрейфа. В пределе, когда длина волны возмущения электрического потенциала намного меньше гирорадиуса, основанного на скорости звука, уравнения Хасегавы-Мима становятся такими же, как двумерная несжимаемая жидкость.
Нормализация
Один из способов понять уравнение более полно - понять, к чему оно нормализовано, что дает вам представление об интересующих масштабах. Время, положение и электрический потенциал нормированы на t ', x' и
Временной масштаб для уравнения Хасегавы – Мима - это обратная гирочастота ионов:
Исходя из предположения о большом магнитном поле, нормированное время очень мало. Однако он все еще достаточно велик, чтобы извлекать из него информацию.
Шкала расстояний - это гирорадиус, основанный на скорости звука:
Если преобразовать в k-пространство, становится ясно, что когда k, волновое число, намного больше единицы, члены, которые отличают уравнение Хасегавы-Мима от уравнения, полученного из уравнения Навье-Стокса в двумерном потоке несжимаемой жидкости, становятся намного меньше остальных.
По шкале расстояний и времени мы можем определить шкалу скоростей. Оказывается, это скорость звука. Уравнение Хасегавы-Мима показывает нам динамику быстро движущихся звуков в отличие от более медленной динамики, такой как потоки, которые фиксируются в уравнениях МГД . Движение даже быстрее скорости звука, учитывая, что масштабы времени намного меньше, чем нормализация времени.
Потенциал нормирован на:
Поскольку электроны соответствуют максвелловскому принципу и выполняется условие квазинейтральности, этот нормированный потенциал мал, но подобен порядку нормированной производной по времени.
Полное уравнение без нормализации:
Хотя производная по времени, деленная на циклотронную частоту, намного меньше единицы, а нормированный электрический потенциал намного меньше единицы, пока градиент порядка единицы, оба члена сравнимы с нелинейным членом. Невозмущенный градиент плотности также может быть таким же малым, как и нормированный электрический потенциал, и быть сопоставимым с другими членами.
Другие формы уравнения
Часто уравнение Хасегавы – Мима выражается в другой форме с помощью скобок Пуассона . Эти скобки Пуассона определяются как:
Используя эту скобку Пуассона , уравнение можно переформулировать как:
Часто предполагается, что плотность частиц изменяется равномерно только в одном направлении, и уравнение записывается в совершенно другой форме. Скобка Пуассона, включающая плотность, заменяется определением скобки Пуассона, а константа заменяет производную члена, зависящего от плотности.
Сохраненные количества
В двумерной несжимаемой жидкости сохраняются две величины. Кинетическая энергия :
И энстрофия :
Для уравнения Хасегавы – Мима также существуют две сохраняющиеся величины, которые связаны с указанными выше величинами. Обобщенная энергия:
И генерализованная энстрофия:
В пределе, когда уравнение Хасегавы-Мима совпадает с несжимаемой жидкостью, обобщенная энергия и энстрофия становятся такими же, как кинетическая энергия и энстрофия.
Смотрите также
Рекомендации
- Хасегава, Акира; Мима, Куниоки (1978). «Псевдотрехмерная турбулентность в замагниченной неоднородной плазме». Физика жидкостей . Издательство AIP. 21 (1): 87–92. DOI : 10.1063 / 1.862083 . ISSN 0031-9171 .
- Хасегава, Акира; Мима, Куниоки (1977-07-25). «Стационарный спектр сильной турбулентности в намагниченной неоднородной плазме». Письма с физической проверкой . Американское физическое общество (APS). 39 (4): 205–208. DOI : 10.1103 / physrevlett.39.205 . ISSN 0031-9007 .