Эксперимент Хейнса – Шокли

В физике полупроводников , то эксперимент Хейнс-Шокли был эксперимент , который показал , что диффузия неосновных носителей в полупроводнике может привести к току . Об эксперименте сообщалось в короткой статье Хейнса и Шокли в 1948 году ^[1], а более подробная версия была опубликована Шокли, Пирсоном и Хейнсом в 1949 году. ^{[2] [3]} Эксперимент можно использовать для измерения подвижности носителей заряда , время жизни носителей и коэффициент диффузии .

В эксперименте на кусок полупроводника попадает импульс дырок , например, индуцированный напряжением или коротким лазерным импульсом.

Уравнения [ править ]

Чтобы увидеть эффект, рассмотрим полупроводник n-типа длиной d . Нас интересует определение подвижности носителей, постоянной диффузии и времени релаксации . Далее мы сводим проблему к одному измерению.

Уравнения для электронного и дырочного токов:

${\ displaystyle j_ {e} = + \ mu _ {n} nE + D_ {n} {\ frac {\ partial n} {\ partial x}}}$

${\ displaystyle j_ {p} = + \ mu _ {p} pE-D_ {p} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}$

где j s - плотности тока электронов ( e ) и дырок ( p ), μ s - подвижности носителей заряда, E - электрическое поле , n и p - плотности числа носителей заряда, D s - коэффициенты диффузии , а x - позиция. Первый член уравнений - это дрейфовый ток , а второй член - диффузионный ток .

Вывод [ править ]

Рассмотрим уравнение неразрывности :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} = {\ frac {- (n-n_ {0})} {\ tau _ {n}}} + {\ frac {\ partial j_ { e}} {\ partial x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial t}} = {\ frac {- (p-p_ {0})} {\ tau _ {p}}} - {\ frac {\ partial j_ { p}} {\ partial x}}}$

Нижний индекс 0 обозначает равновесные концентрации. Электроны и дырки рекомбинируют с временем жизни носителей τ.

Мы определяем

${\displaystyle p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}}$

поэтому верхние уравнения можно переписать как:

${\displaystyle {\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}}$

В простом приближении мы можем считать электрическое поле постоянным между левым и правым электродами и пренебречь ∂ E / ∂ x . Однако, поскольку электроны и дырки диффундируют с разной скоростью, материал имеет локальный электрический заряд, вызывая неоднородное электрическое поле, которое можно рассчитать с помощью закона Гаусса :

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}}$

где ε - диэлектрическая проницаемость, ε ₀ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ρ - плотность заряда, а e _{0 -} элементарный заряд.

Затем замените переменные подстановками:

${\displaystyle p_{1}=n_{\text{mean}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{mean}}-\delta \,,}$

и предположим, что δ намного меньше, чем . Два исходных уравнения записывают:${\displaystyle n_{\text{mean}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}}$

Используя соотношение Эйнштейна , где β - величина, обратная произведению температуры и постоянной Больцмана , эти два уравнения можно объединить:${\displaystyle \mu =e\beta D}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},}$

где для D * выполняется μ * и τ *:

${\displaystyle D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}}}$, и${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.}$

Рассматривая n >> p или p → 0 (это хорошее приближение для полупроводника с небольшим количеством введенных дырок), мы видим, что D * → D _p , μ * → μ _p и 1 / τ * → 1 / τ _p . Полупроводник ведет себя так, как будто в нем движутся только дырки.

Окончательное уравнение для перевозчиков:

${\displaystyle n_{\text{mean}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}}$

Это можно интерпретировать как дельта-функцию Дирака, которая создается сразу после импульса. Затем отверстия начинают двигаться к электроду, где мы их обнаруживаем. Тогда сигнал имеет форму кривой Гаусса .

Параметры μ, D и τ могут быть получены из формы сигнала.

${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}}$

${\displaystyle D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16t_{0}}}}$

где d - расстояние, пройденное за время t ₀ , а δt - ширина импульса .

См. Также [ править ]

• Переменный ток
• Зона проводимости
• Уравнение конвекции – диффузии
• Постоянный ток
• Дрейфовый ток
• Модель свободных электронов
• Случайная прогулка

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Апплет, моделирующий эксперимент Хейнса – Шокли
• Видео с объяснением оригинального эксперимента
• Образовательный подход к эксперименту HS