В оптике , A гауссов пучок является пучок монохроматического электромагнитного излучения , амплитуда огибающей в поперечной плоскости задается функцией гауссовой ; это также подразумевает гауссов профиль интенсивности (освещенности). Эта основная (или TEM 00 ) поперечная гауссова мода описывает предполагаемый выход большинства (но не всех) лазеров, поскольку такой луч может быть сфокусирован в наиболее концентрированное пятно. Когда такой луч перефокусируется линзой , изменяется поперечная фазовая зависимость; это приводит к другомуГауссов пучок. Профили амплитуды электрического и магнитного полей вдоль любого такого кругового гауссова пучка (для данной длины волны и поляризации ) определяются одним параметром: так называемой перетяжкой w 0 . В любом положении z относительно перетяжки (фокуса) вдоль луча, имеющего заданное значение w 0 , тем самым определяются амплитуды и фазы поля [1], как подробно описано ниже .
В приведенных ниже уравнениях предполагается, что балка имеет круглое поперечное сечение при всех значениях z ; это можно увидеть, заметив, что появляется единственный поперечный размер r . Балки с эллиптическими поперечными сечениями или с перетяжками в разных положениях по z для двух поперечных размеров ( астигматические пучки) также могут быть описаны как гауссовы пучки, но с разными значениями w 0 и положением z = 0 для двух поперечных размеры x и y .
Произвольные решения параксиального уравнения Гельмгольца могут быть выражены как комбинации мод Эрмита – Гаусса (чьи профили амплитуд разделяются по x и y с использованием декартовых координат ) или аналогично как комбинации мод Лагерра – Гаусса (профили амплитуд разделяются по r и θ с использованием цилиндрических координат ). [2] [3] В любой точке балки zэти режимы включают тот же фактор Гаусса, что и основная гауссова мода, умножая дополнительные геометрические факторы для указанной моды. Однако разные моды распространяются с другой фазой Гуи , поэтому общий поперечный профиль из-за суперпозиции мод эволюционирует по оси z , тогда как распространение любой одиночной моды Эрмита – Гаусса (или Лагерра – Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль луча.
Хотя существуют и другие возможные модальные разложения , эти семейства решений являются наиболее полезными для задач, связанных с компактными пучками, то есть там, где оптическая мощность довольно близко ограничена вдоль оси. Даже когда лазер не работает в основной гауссовой моде, его мощность обычно определяется среди мод низшего порядка с использованием этих разложений, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию выходить за пределы резонатора (полости) лазера. . «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основной (TEM 00 ) гауссовой модой.
Математическая форма [ править ]
Гауссов пучок представляет собой поперечный электромагнитный (ТЕМ) режим . [4] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиального уравнения Гельмгольца . [1] Предполагая поляризацию в направлении x и распространение в направлении + z , электрическое поле в векторном (комплексном) обозначении определяется следующим образом:
где [1] [5]
- r - радиальное расстояние от центральной оси балки,
- z - осевое расстояние от фокуса луча (или «талии»),
- i - мнимая единица ,
- k = 2 πn / λ - волновое число (в радианах на метр) для длины волны λ в свободном пространстве , а n - показатель преломления среды, в которой распространяется луч,
- E 0 = E (0, 0) , амплитуда (и фаза) электрического поля в начале координат в момент времени 0,
- w ( z ) - радиус, при котором амплитуды поля падают до 1 / e от их осевых значений (т. е. когда значения напряженности падают до 1 / e 2 от их осевых значений) в плоскости z вдоль луча,
- w 0 = w (0) - радиус перетяжки ,
- R ( z ) - радиус кривизны волновых фронтов пучка вточке z , а
- ψ ( z ) - это фаза Гуи в точке z , дополнительный фазовый член помимо того, который можно отнести к фазовой скорости света.
Существует также понятная зависимость e iωt от времени при умножении таких векторных величин; фактическое поле в определенный момент времени и пространства определяется действительной частью этой комплексной величины.
Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся лучей. Приведенная выше форма справедлива в большинстве практических случаев, когда w 0 ≫ λ / n .
Соответствующее распределение интенсивности (или освещенности ) дается выражением
где постоянная η - волновое сопротивление среды, в которой распространяется луч. Для свободного пространства η = η 0 ≈ 377 Ом. I 0 = | E 0 | 2 /2 η интенсивность в центре пучка на его талии.
Если P 0 - полная мощность луча,
Увеличивающаяся ширина луча [ править ]
В позиции z вдоль луча (измеренной от фокуса) параметр размера пятна w задается гиперболическим соотношением : [1]
где [1]
называется диапазоном Рэлея, как обсуждается ниже.
Радиус луча w ( z ) в любом положении z вдоль луча связан с полной шириной на полувысоте (FWHM) в этом положении согласно: [6]
- .
Кривизна волнового фронта [ править ]
Кривизна волновых фронтов является наибольшей на расстоянии Рэлея, z = ± z R , по обе стороны от перетяжки, пересекая ноль на самой перетяжке. За пределами расстояния Рэлея | z | > z R , она снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при z → ± ∞ . Кривизна часто выражается в терминах его обратной, R , с радиусом кривизны ; для основного гауссова пучка кривизна в позиции z определяется как:
поэтому радиус кривизны R ( z ) равен [1]
Радиус кривизны, обратный кривизне, меняет знак и является бесконечным в перетяжке балки, где кривизна проходит через ноль.
Фаза Гуи [ править ]
Гуй фаза представляет собой набег фазы постепенно приобрел пучок вокруг фокальной области. В позиции z фаза Гуи основного гауссова пучка определяется выражением [1]
Фаза Гуи приводит к увеличению видимой длины волны вблизи перетяжки ( z ≈ 0 ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как явление ближнего поля, в котором отклонение от фазовой скорости света (как в точности применимо к плоской волне) очень мало, за исключением луча с большой числовой апертурой , в этом случае Кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно изменяется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение выполняется в каждой позиции.
Для основного гауссова луча фаза Гуи приводит к чистому расхождению фаз по отношению к скорости света, составляющему π радиан (таким образом, обращение фазы), когда человек движется от дальнего поля на одной стороне перетяжки к дальнему полю на с другой стороны. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако это имеет теоретическое значение и расширяет диапазон для гауссовых мод более высокого порядка . [7]
Эллиптические и астигматические лучи [ править ]
Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены лучи с положениями перетяжки, которые различаются для двух поперечных размеров, называемые астигматическими лучами. С этими лучами можно справиться, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с разными значениями каждого параметра для x и y и разными определениями точки z = 0 . Фаза Гуи - это одно значение, правильно вычисленное путем суммирования вклада каждого измерения, при этом фаза Гуи в пределах диапазона ± π / 4 вносится каждым измерением.
Эллиптический луч будет инвертировать свой коэффициент эллиптичности при распространении от дальнего поля к перетяжке. Размер, который был больше вдали от талии, будет меньше у талии.
Параметры луча [ править ]
Геометрическая зависимость полей гауссова луча определяется длиной волны света λ ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами луча , все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.
Лучевая талия [ править ]
Форма гауссова луча с заданной длиной волны λ определяется только одним параметром - перетяжкой луча w 0 . Это мера размера луча в точке его фокуса ( z = 0 в приведенных выше уравнениях), где ширина луча w ( z ) (как определено выше) является наименьшей (и аналогично, когда интенсивность на оси ( r = 0 ) является наибольшим). По этому параметру определяются другие параметры, описывающие геометрию балки. Сюда входят диапазон Рэлея z R и асимптотическая расходимость пучка θ , как подробно описано ниже.
Диапазон Рэлея и конфокальный параметр [ править ]
Расстояние Рэлея или диапазон Рэлея z R определяется с учетом размера перетяжки гауссова пучка:
Здесь λ - длина волны света, n - показатель преломления. На расстоянии от перетяжки, равном диапазону Рэлея z R , ширина луча w на √ 2 больше, чем в фокусе, где w = w 0 , перетяжке луча. Это также означает, что интенсивность на оси ( r = 0 ) составляет половину максимальной интенсивности (при z = 0 ). В этой точке вдоль луча также оказывается наибольшая кривизна волнового фронта ( 1 / R ). [1]
Расстояние между двумя точками z = ± z R называется конфокальным параметром или глубиной фокуса [ цитата ] луча.
Расхождение луча [ править ]
Хотя хвосты функции Гаусса на самом деле никогда не достигают нуля, для целей нижеследующего обсуждения «край» луча считается радиусом, где r = w ( z ) . Именно здесь интенсивность упала до 1 / e 2 от значения на оси. Теперь при z ≫ z R параметр w ( z ) линейно возрастает с увеличением z . Это означает, что вдали от перетяжки «край» балки (в указанном выше смысле) имеет конусовидную форму. Угол между этим конусом ( r = w ( z )), а ось луча ( r = 0 ) определяет расходимость луча:
В параксиальном случае, как мы уже рассматривали, θ (в радианах) тогда приблизительно [1]
где n - показатель преломления среды, через которую распространяется луч, а λ - длина волны в свободном пространстве. Общий угловой разброс расходящегося луча или угол при вершине описанного выше конуса определяется выражением
Тогда этот конус содержит 86% полной мощности гауссова луча.
Поскольку расходимость обратно пропорциональна размеру пятна, для данной длины волны λ гауссов пучок, сфокусированный в маленькое пятно, быстро расходится по мере удаления от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать расходимость лазерного луча в дальнем поле (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большое поперечное сечение ( w 0 ) на перетяжке (и, следовательно, большой диаметр в месте выхода поскольку w ( z ) никогда не меньше w 0 ). Эта связь между шириной луча и расходимостью является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье.который описывает дифракцию фраунгофера . Луч с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но основная гауссова мода является особым случаем, когда произведение размера луча в фокусе и расходимости в дальней зоне меньше, чем в любом другом случае.
Поскольку модель гауссова пучка использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30 ° от оси пучка. [8] Из приведенного выше выражения для расходимости это означает, что модель гауссова пучка точна только для балок с перетяжкой больше примерно 2 λ / π .
Качество лазерного луча количественно оценивается произведением параметров луча (BPP). Для гауссова пучка BPP - это произведение расходимости пучка и размера перетяжки w 0 . BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и получения их произведения. Отношение BPP реального луча к таковому у идеального гауссова луча на той же длине волны известно как M 2 (« M в квадрате »). М 2 для гауссова пучка равна единице. Все настоящие лазерные лучи имеют значения M 2 больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.
Числовая апертура гауссов пучок определяется как NA = п грех θ , где п есть показатель преломления среды , через которую распространяется луч. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением
Мощность и интенсивность [ править ]
Питание через апертуру [ править ]
С пучком, центрированным в апертуре , мощность P, проходящая через окружность радиуса r в поперечной плоскости в положении z, равна [9]
куда
- полная мощность, передаваемая лучом.
Для круга радиуса r = w ( z ) доля мощности, передаваемой через круг, равна
Точно так же около 90% мощности луча будет проходить через круг радиуса r = 1,07 × w ( z ) , 95% - через круг радиуса r = 1,224 × w ( z ) и 99% - через круг радиуса r. = 1,52 × w ( z ) . [9]
Пиковая интенсивность [ править ]
Пиковая интенсивность на осевом расстоянии z от перетяжки луча может быть рассчитана как предел вложенной мощности в круге радиуса r , деленный на площадь круга πr 2 при сжатии круга:
Предел можно оценить с помощью правила L'Hôpital :
Комплексный параметр пучка [ править ]
Размер пятна и кривизна гауссова луча как функция z вдоль луча также могут быть закодированы в комплексном параметре луча q ( z ) [10] [11], который определяется как:
Введение этого усложнения приводит к упрощению уравнения поля гауссова пучка, как показано ниже. Видно, что величина, обратная q ( z ), содержит кривизну волнового фронта и относительную осевую интенсивность в его действительной и мнимой частях соответственно: [10]
Комплексный параметр луча упрощает математический анализ распространения гауссова луча, особенно при анализе полостей оптического резонатора с использованием матриц переноса луча .
Затем, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы назовем u относительной напряженностью поля эллиптического гауссова пучка (с эллиптическими осями в направлениях x и y ), то его можно разделить по x и y в соответствии с:
куда
где q x ( z ) и q y ( z ) - комплексные параметры пучка в направлениях x и y .
Для общего случая кругового профиля пучка , д х ( г ) = д у ( г ) = д ( г ) и х 2 + у 2 = г 2 , что дает [12]
Волновое уравнение [ править ]
Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде [13], полученного путем объединения уравнений Максвелла для локон E и локон H , в результате чего:
где c - скорость света в среде , а U может относиться к вектору электрического или магнитного поля, поскольку любое конкретное решение для одного определяет другое. Решение с гауссовым пучком справедливо только в параксиальном приближении, то есть когда распространение волны ограничено направлениями в пределах небольшого угла оси. Без ограничения общности примем это направление за направление + z, и в этом случае решение U в общем случае можно записать в терминах u, которое не имеет временной зависимости и относительно плавно изменяется в пространстве, причем основное изменение пространственно соответствует волновому числу kв направлении z : [13]
Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, можно существенно пренебречь ∂ 2 u / ∂ z 2 . Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, которые ортогональны направлению распространения ( z ), мы без ограничения общности считали, что поляризация находится в направлении x, так что теперь мы решаем скалярное уравнение для u ( x , у , z ) .
Подстановка этого решения в приведенное выше волновое уравнение дает параксиальное приближение к скалярному волновому уравнению: [13]
Следует отметить , что в Поль Дирак «s координат светового конуса , волновое уравнение из новообращенных:
Итак, для волны в форме единицы получается точное уравнение
Таким образом, параксиальные решения оказываются точными в координатах светового конуса . [14]
Гауссовы пучки любой перетяжки w 0 удовлетворяют этому волновому уравнению; это легче всего проверить, выразив волну в точке z через комплексный параметр пучка q ( z ), как определено выше. Есть много других решений. Как решения линейной системы , любая комбинация решений (с использованием сложения или умножения на константу) также является решением. Как отмечалось выше, фундаментальный гауссиан сводит к минимуму произведение минимального размера пятна и расходимости в дальней зоне. При поиске параксиальных решений, в частности, описывающих лазерное излучение, нев основной гауссовой моде мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися произведениями их расходимостей и минимальных размеров пятна. Два важных ортогональных разложения этого типа - это моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, соответствующие прямоугольной и круговой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. В обоих случаях основной гауссов пучок, который мы рассматривали, является модой низшего порядка.
Режимы высшего порядка [ править ]
Режимы Эрмита-Гаусса [ править ]
Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых мод Эрмита-Гаусса , любая из которых дается как произведение множителя по x и множителя по y . Такое решение возможно благодаря разделимости по x и y в параксиальном уравнении Гельмгольца, записанном в декартовых координатах . [15] Таким образом, в режиме порядка ( l , m ), относящемся к направлениям x и y , амплитуда электрического поля в x , y , z может быть выдан:
где коэффициенты для зависимости x и y определяются как:
где мы использовали комплексный параметр пучка q ( z ) (как определено выше) для пучка с перетяжкой w 0 в точке z от фокуса. В этой форме первый множитель является просто нормализующей константой, чтобы сделать набор u J ортонормированным . Второй фактор - это дополнительная нормализация, зависящая от z, которая компенсирует расширение пространственной протяженности моды согласно w ( z ) / w 0 (из-за последних двух факторов). Он также содержит часть фазы Гуи. Третий фактор - это чистая фаза, которая увеличивает фазовый сдвиг Гуи для более высоких порядков J.
Последние два фактора объясняют пространственное изменение по x (или y ). Четвертый фактор - это полином Эрмита порядка J («форма физиков», т.е. H 1 ( x ) = 2 x ), а пятый учитывает спад гауссовой амплитуды exp (- x 2 / w ( z ) 2 ) , хотя при использовании комплексного q в показателе степени это неочевидно . Расширение этой экспоненты также дает фазовый множитель в x, который учитывает кривизну волнового фронта ( 1 / R( z ) ) в точке z вдоль балки.
Режимы Эрмита-Гаусса обычно обозначаются «ТЕМ lm »; основной гауссов пучок, таким образом, может называться ТЕМ 00 (где ТЕМ является поперечным электромагнитным ). Умножив U л ( х , г ) и у т ( у , г ) , чтобы получить 2-D профиль режима, и удаление нормализации так , что ведущий фактор просто под названием Е 0 , можно записать ( л , м ) режим в более доступной форме:
В этой форме параметр w 0 , как и раньше, определяет семейство мод, в частности масштабирование пространственной протяженности перетяжки основной моды и всех других модовых структур при z = 0 . При условии, что w 0 , w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и для основного гауссова пучка, описанного выше . Видно, что при l = m = 0 мы получаем основной гауссов пучок, описанный ранее (поскольку H 0 = 1 ). Единственная конкретная разница в xи профили y при любом z обусловлены полиномиальными множителями Эрмита для порядковых номеров l и m . Однако есть изменение в эволюции фазы Гуи мод по z :
где комбинированный порядок моды N определяется как N = l + m . В то время как фазовый сдвиг Гуи для основной (0,0) гауссовой моды изменяется только на ± π / 2 радиан по всему z (и только на ± π / 4 радиан между ± z R ), он увеличивается в N + раз. 1 для мод высших порядков. [7]
Гауссовы моды Эрмита с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична и имеет прямоугольную форму. С другой стороны, с лазерами и системами с круговой симметрией лучше обращаться с использованием набора мод Лагерра-Гаусса, представленного в следующем разделе.
Режимы Лагерра-Гаусса [ править ]
Кругосимметричные профили пучка (или лазеры с цилиндрически симметричными полостями) часто лучше всего решаются с помощью модального разложения Лагерра-Гаусса. [3] Эти функции записываются в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Лагерра . Каждая поперечная мода снова обозначается двумя целыми числами, в данном случае радиальным индексом p ≥ 0 и азимутальным индексом l, который может быть положительным или отрицательным (или нулевым): [16]
где L p l - обобщенные полиномы Лагерра . CLG
lp - необходимая константа нормализации:
- .
w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и выше . Как и в случае с модами Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина фазового сдвига Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена в N + 1 раз :
где в этом случае номер комбинированной моды N = | л | + 2 п . Как и раньше, изменения поперечной амплитуды содержатся в последних двух множителях в верхней строке уравнения, которое снова включает основной гауссовский спад в r, но теперь умноженный на полином Лагерра. Эффект режима вращения числа л , в дополнение к воздействию на полином Лагерра, в основном содержится в фазовый множитель ехр (- ilφ ) , в которой профиль пучка является расширенный (или замедляется) с помощью л полных 2 л фаз при одном повороте вокруг луча (в φ). Это пример оптического вихря с топологическим зарядом l , и его можно связать с орбитальным угловым моментом света в этом режиме.
Ince-Gaussian режимы [ править ]
В эллиптических координатах можно записать моды более высокого порядка, используя полиномы Инса . Четные и нечетные моды Инса-Гаусса задаются формулой [17]
где ξ и η - радиальная и угловая эллиптические координаты, определяемые формулами
Cм
п( η , ε ) - четные полиномы Айнса порядка p и степени m, где ε - параметр эллиптичности. Режимы Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частным случаем режимов Инса-Гаусса для ε = ∞ и ε = 0 соответственно. [17]
Гипергеометрическо-гауссовские режимы [ править ]
Есть еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрических координатах, в которых комплексная амплитуда пропорциональна конфлюэнтной гипергеометрической функции .
Эти режимы имеют особую профиль фазы и собственные функции по фотонному орбитальному угловому моменту . Их профили интенсивности характеризуются одним бриллиантовым кольцом; как и моды Лагерра – Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением основной (0,0) моды. Комплексную амплитуду моды можно записать через нормированную (безразмерную) радиальную координату ρ = r / w 0 и нормированную продольную координату Ζ = z / z R следующим образом: [18]
где индекс вращения m является целым числом и является действительным знаком, Γ ( x ) - гамма-функция, а 1 F 1 ( a , b ; x ) - конфлюэнтная гипергеометрическая функция.
Некоторые подсемейства гипергеометрическо-гауссовых (HyGG) мод могут быть перечислены как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовские моды [19] и модифицированные моды Лагерра-Гаусса.
Набор гипергеометрическо-гауссовых мод является избыточным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в перетяжке пучка ( z = 0 ):
См. Также [ править ]
- Бесселева балка
- Луч Tophat
- Профилировщик лазерного луча
Примечания [ править ]
- ^ a b c d e f g h i Svelto, стр. 153–5.
- ^ Siegman, стр. 642.
- ^ a b, вероятно, впервые был рассмотрен Губо и Шверингом (1961).
- ^ Svelto, стр. 158.
- ^ Ярив Амнон; Да, Альберт Почи (2003). Оптические волны в кристаллах: распространение и управление лазерным излучением . J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-43081-1. OCLC 492184223 .
- ^ Хилл, Дэн (4 апреля 2007 г.). «Как преобразовать измерения FWHM в полуширины 1 / e-Squared» . База знаний Radiant Zemax . Проверено 7 июня, 2016 .
- ^ а б Пашотта, Рюдигер. «Фазовый сдвиг Гуи» . Энциклопедия лазерной физики и техники . RP Photonics . Проверено 2 мая 2014 года .
- ^ Siegman (1986) р. 630.
- ^ a b Меллес Грио. Оптика гауссова луча
- ^ a b Siegman, стр. 638–40.
- ^ Garg, стр. 165-168.
- ^ См. Siegman (1986) с. 639. Уравнение. 29
- ^ a b c Svelto, стр. 148–149.
- ^ Exirifard, Qasem; Калф, Эрик; Карими, Эбрагим (2020), К коммуникации в искривленной геометрии пространства-времени , arXiv : 2009.04217
- ^ Siegman (1986), p645, ур. 54
- ↑ Аллен, Л. (1 июня 1992 г.). «Орбитальный угловой момент света и преобразование лазерных мод Лагерра-Гаусса» (PDF) . Physical Review . 45 (11): 8185–8189. Bibcode : 1992PhRvA..45.8185A . DOI : 10.1103 / physreva.45.8185 . PMID 9906912 .
- ^ a b Бандрес и Гутьеррес-Вега (2004)
- ^ Карими и др. al (2007)
- ^ Карими и др. al (2007)
Ссылки [ править ]
- Bandres, Miguel A .; Гутиеррес-Вега, Хулио К. (2004). "Ince гауссовы лучи" . Опт. Lett . OSA. 29 (2): 144–146. Bibcode : 2004OptL ... 29..144B . DOI : 10.1364 / OL.29.000144 . PMID 14743992 .
- Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691130187.
- Goubau, G .; Шверинг, Ф. (1961). «О направленном распространении пучков электромагнитных волн». IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961ITAP .... 9..248G . DOI : 10.1109 / TAP.1961.1144999 . Руководство по ремонту 0134166 .
- Карими, Э .; Zito, G .; Piccirillo, B .; Marrucci, L .; Сантамато, Э. (2007). «Гипергеометрическо-гауссовы пучки» . Опт. Lett . OSA. 32 (21): 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Bibcode : 2007OptL ... 32.3053K . DOI : 10.1364 / OL.32.003053 . PMID 17975594 .
- Мандель, Леонард; Вольф, Эмиль (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41711-2. Глава 5, «Оптические лучи», стр. 267.
- Pampaloni, F .; Эндерлейн, Дж. (2004). "Гауссовы, Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса пучки: Праймер". arXiv : физика / 0410021 .
- Салех, Бахаа Э.А.; Тейч, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-83965-5. Глава 3, «Лучевая оптика», стр. 80–107.
- Сигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Книги университетских наук. ISBN 0-935702-11-3. Глава 16.
- Свелто, Орацио (2010). Принципы лазеров (5-е изд.).
- Ярив, Амнон (1989). Квантовая электроника (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-60997-8.
Внешние ссылки [ править ]
- Учебное пособие по гауссовской оптике, Ньюпорт