В математике , голоморфная функция является комплексной функцией одного или более сложных переменными , которые есть, в каждой точке своей области , комплекс дифференцируемого в окрестностях точки. Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием, поскольку оно означает, что любая голоморфная функция на самом деле бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитическому ). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения комплексного анализа .
Хотя термин « аналитическая функция» часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд. в окрестности каждой точки в своей области . Тот факт, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа . [1]
Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . [2] [3] Голоморфная функция, область определения которой - вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке z 0 » означает не просто дифференцируемый в точке z 0 , но дифференцируемый всюду в некоторой окрестности z 0 на комплексной плоскости.
Определение
Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г 0 в своей области определяется пределом [4]
Это то же самое, что и определение производной для реальных функций, за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, когда комплексное число z приближается к z 0 и должно иметь одно и то же значение для любой последовательности комплексных значений z, которые приближаются к z 0 на комплексной плоскости. Если существует предел, то мы говорим , что е является комплексно-дифференцируем в точке г 0 . Эта концепция сложных дифференциальных акций несколько свойств с реальной дифференцируемостью : это линейное и повинуется правило продукта , частное правило , и правило цепи . [5]
Если е является сложным дифференцируема в каждой точке г 0 в открытом множестве U , мы говорим , что е является голоморфной на U . Будем говорить , что е является голоморфной в точке г 0 , если е является сложным дифференцируема в некоторой окрестности г 0 . [6] Мы говорим , что е голоморфен на нек-открытого множества А , если она голоморфна в открытом множестве , содержащем A . В качестве патологического не примера, функция, заданная формулой f ( z ) = | z | 2 является комплексно дифференцируемым ровно в одной точке ( z 0 = 0), и по этой причине он не голоморфен в 0, потому что нет открытого множества вокруг 0, на котором f является комплексно дифференцируемым.
Связь между реальной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью заключается в следующем. Если комплексная функция f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные по x и y и удовлетворяют условию Коши – Римана уравнения : [7]
или, что то же самое, производная Виртингера функции f относительно комплексно сопряженного элемента z равна нулю: [8]
То есть, грубо говоря, f функционально не зависит от комплексно сопряженного z .
Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана – Менхоффа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный. [9]
Терминология
Слово «голоморфный» было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( holos ), означающего «весь», и μορφή ( morphē ), что означает « форма »или« внешний вид ». [10]
Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который явно не следует из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.
Характеристики
Поскольку комплексное дифференцирование является линейным и подчиняется правилам произведения, частного и цепного, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно там, где знаменатель не равен нулю. [11]
Если отождествить C с R 2 , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши – Римана , набор из двух дифференциальных уравнений в частных производных . [7]
Каждая голоморфная функция может быть разделена на действительные и мнимые части, и каждый из них является решением уравнения Лапласа на R 2 . Другими словами, если мы выразим голоморфную функцию f ( z ) как u ( x , y ) + i v ( x , y ), то и u, и v являются гармоническими функциями , где v - гармоническое сопряжение u. [12]
Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: [13]
Здесь γ является спрямляемо пути в односвязном открытом подмножестве U в комплексной плоскости С , чья начальной точкой равно его конечной точкой, а е : U → C голоморфной функция.
Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. [13] Кроме того: предположим, что U - открытое подмножество C , f : U → C - голоморфная функция и замкнутый круг D = { z : | z - z 0 | ≤ г } полностью содержится в U . Пусть γ быть круг , образующий границу из D . Тогда для любого а в интерьере из D :
где контурный интеграл берется против часовой стрелки .
Производная f ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла [13], используя формулу дифференцирования Коши :
для любой простой петли, намотанной один раз на a , и
для бесконечно малых положительных петель γ вокруг a .
В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны в том смысле, что они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. [14]
Каждая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке a в окрестности точки a . Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в точке a в любом круге с центром в этой точке и лежащем в области определения функции.
С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, набор голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связано. [8] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , в котором полунормы являются супремумом на компактных подмножествах .
С геометрической точки зрения, функция F голоморфна в точке г 0 тогда и только тогда , когда ее внешняя производная DF в окрестности U из г 0 равен е '( г ) дг для некоторой непрерывной функции F '. Это следует из
что df 'также пропорционально dz , из чего следует, что производная f ' сама голоморфна и, следовательно, f бесконечно дифференцируема. Аналогичным образом , тот факт , что д ( е дг ) = е ' дг ∧ дг = 0 означает , что любая функция F , голоморфная на односвязной области U также интегрируема на U . (Для пути γ от z 0 до z, целиком лежащего в U , определим
- ;
в свете теоремы о жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , F γ ( z ) не зависит от конкретного выбора пути γ, и, следовательно, F ( z ) является корректно определенной функцией на U, имеющей F ( z 0 ) = F 0 и dF = f dz .)
Примеры
Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами голоморфны на C , как и синус , косинус и экспоненциальная функция . (Тригонометрические функции на самом деле тесно связаны с экспоненциальной функцией и могут быть определены с помощью формулы Эйлера ). Основная ветвь функции комплексного логарифмирования голоморфна на множестве C ∖ { z ∈ R : z ≤ 0}. Функция квадратного корня может быть определена как
и поэтому голоморфен везде, где стоит логарифм log ( z ). Функция 1 / z голоморфна на { z : z ≠ 0}.
Как следствие уравнений Коши – Римана , вещественнозначная голоморфная функция должна быть постоянной. Таким образом, абсолютное значение г , то аргумент о г , то действительная часть из г и мнимая часть из г не голоморфны. Другой типичный пример неголоморфной непрерывной функции - комплексно сопряженная функция z, образованная комплексным сопряжением .
Несколько переменных
Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Пусть D обозначают открытое подмножество C п , и пусть F : D → C . Функция f является аналитической в точке p в D, если существует открытая окрестность точки p, в которой f равна сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных. [15] Определим f как голоморфную, если она аналитична в каждой точке своей области определения. Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности (что означает, что если любые n - 1 координаты фиксированы, то ограничение f является голоморфным функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что гипотеза непрерывности не нужна: f голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности.
В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.
Функции нескольких сложных переменных в некоторых основных отношениях сложнее, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области представляют собой домены Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых есть голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .
Комплекс дифференциал ( р , 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда , когда его производное антиголоморфная Дольбо равен нулю,.
Расширение функционального анализа
Понятие голоморфной функции распространяется на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.
Смотрите также
- Первообразная (комплексный анализ)
- Антиголоморфная функция
- Биголоморфия
- Голоморфная отделимость
- Мероморфная функция
- Квадратурные области
- Гармонические карты
- Гармонические морфизмы
- Производные Виртингера
Рекомендации
- ^ Аналитические функции одной комплексной переменной , Энциклопедия математики. (Европейское математическое общество с участием Спрингера, 2015 г.)
- ^ "Аналитическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
- ^ Адам Гетчел. «Обычная функция» . MathWorld . Проверено 26 февраля 2021 года .
- ^ Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (Макгроу-Хилл, 1979).
- ^ Хенрици, П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986.]
- ^ Питер Эбенфельт, Норберт Хунгербюлер, Джозеф Дж. Кон, Нгаиминг Мок, Эмиль Дж. Штраубе (2011) Комплексный анализ Springer Science & Business Media
- ^ a b Маркушевич А.И. Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
- ^ а б Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , ряды Прентис-Холла в современном анализе, Englewood Cliffs , NJ: Prentice-Hall , pp. Xiv + 317, ISBN 9780821869536, Руководство по ремонту 0180696 , Zbl 0141.08601
- ^ Грей, JD; Моррис, SA (1978), "Когда это функция, удовлетворяющая условиям Коши-Римана уравнения Аналитическое?", Американский Математический Месячный (опубл апреля 1978), 85 (4): 246-256, DOI : 10,2307 / 2321164 , JSTOR 2321164.
- ^ Маркушевич, AI (2005) [1977]. Сильверман, Ричард А. (ред.). Теория функций комплексного переменного (2-е изд.). Нью-Йорк: Американское математическое общество . п. 112. ISBN 0-8218-3780-X.
- ^ Хенрици, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3 , Библиотека классической литературы Wiley (переиздание), Нью-Йорк - Чичестер - Брисбен - Торонто - Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X + 637, ISBN 0-471-58986-1, Руководство по ремонту 0822470 , Zbl 1107.30300.
- ^ Эванс, Лоуренс К. (1998), уравнения в частных производных , Американское математическое общество.
- ^ а б в Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- ^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
- ^ Ганнинг и Росси, Аналитические функции нескольких комплексных переменных , стр. 2.
дальнейшее чтение
- Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. OCLC 2370110 .
Внешние ссылки
- "Аналитическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]