Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Homeomorphic )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Непрерывная деформация между кофейной кружкой и пончиком ( тором ), иллюстрирующая их гомеоморфность. Но для гомеоморфности двух пространств не обязательно должна быть непрерывная деформация - только непрерывное отображение с непрерывной обратной функцией.

В математической области топологии , в гомеоморфизм , топологического изоморфизма или биконтинуальной функция является непрерывной функцией от топологических пространств , которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категории топологических пространств, т. Е. Отображения , сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства с гомеоморфизмом между ними называются гомеоморфными , и с топологической точки зрения они совпадают. Словогомеоморфизм происходит от греческих слов ὅμοιος ( homoios ) = подобный или одинаковый и μορφή ( morphē ) = форма, форма, введенных в математику Анри Пуанкаре в 1895 году. [1] [2]

Грубо говоря, топологическое пространство - это геометрический объект, а гомеоморфизм - это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор - нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не являются гомеоморфизмами, например, деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются непрерывными деформациями, например гомеоморфизм между узлом-трилистником и окружностью.

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить чашку кофе от пончика [3], поскольку достаточно гибкий пончик можно преобразовать в форму чашки кофе, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в ручке чашки.

Определение [ править ]

Функция между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом , если он обладает следующими свойствами:

  • является биекцией ( взаимно однозначно и на ),
  • является непрерывной ,
  • обратная функция непрерывна ( это открытое отображение ).

Гомеоморфизм иногда называют бинепрерывной функцией. Если такая функция существует, и являются гомеоморфно . Себя гомеоморфизм гомеоморфизм топологического пространства на себя. «Гомеоморфность» - это отношение эквивалентности на топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма .

Примеры [ править ]

Узел- трилистник гомеоморфен полноторию, но не изотопен в R 3 . Непрерывные отображения не всегда могут быть реализованы как деформации.
  • Открытый интервал гомеоморфен действительным числам для любого . (В этом случае бинепрерывное прямое отображение задается функцией, в то время как другие такие отображения задаются масштабированными и транслированными версиями функций tan или arg tanh ).
  • Блок 2- диск и единичный квадрат в R - гомеоморфны; поскольку единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример отображения биконтинуального от площади до диска, в полярных координатах , .
  • Графа из дифференцируемой функции гомеоморфно области функции.
  • Дифференцируемая параметризация из кривого гомеоморфизм между областью параметризации и кривым.
  • Диаграмма из многообразия гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытое подмножество в евклидовом пространстве .
  • Стереографическая проекция является гомеоморфизмом между единичной сферой в R 3 с одной удаленной точкой и множеством всех точек в R 2 (2-мерные плоскости ).
  • Если - топологическая группа , то ее инверсионное отображение является гомеоморфизмом. Кроме того, для любого левый сдвиг , правый сдвиг и внутренний автоморфизм являются гомеоморфизмами.

Не примеры [ править ]

  • R м и R п не гомеоморфны для мп .
  • Евклидово реальная линия не гомеоморфно единичной окружности , как подпространство R 2 , так как единичный круг является компактным как подпространство евклидова R 2 , но реальная линия не является компактным.
  • Одномерные интервалы и не гомеоморфны, потому что не может быть выполнено непрерывное биекция. [4]

Заметки [ править ]

Третье требование, чтобы оно было непрерывным, является существенным. Рассмотрим, например, функцию ( единичный круг в ), определяемую . Эта функция биективна и непрерывна, но не гомеоморфизм ( это компактный , но это не так ). Функция не является непрерывной в точке , потому что , хотя карты в любых окрестностях этой точки также включает в себя точку , что функция отображает близко к , но заостряет карты с числами между лежите вне окрестностей. [5]

Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом , композиция из двух гомеоморфизмов снова гомеоморфизм, а множество всех автогомеоморфизмов образует группу , которая называется гомеоморфизм группа из X , часто обозначается . Этой группе может быть задана топология, такая как компактно-открытая топология , которая при определенных предположениях делает ее топологической группой . [6]

Для некоторых целей группа гомеоморфизмов оказывается слишком большой, но с помощью отношения изотопии можно свести эту группу к группе классов отображений .

Точно так же, как обычно в теории категорий, для двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними является торсором для групп гомеоморфизмов и , при заданном конкретном гомеоморфизме между и , все три множества отождествляются.

Свойства [ править ]

  • Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами . Например, если один из них компактный , то второй тоже; если один из них подключен , то другой тоже; если один из них Хаусдорф , то другой тоже; их группы гомотопий и гомологий будут совпадать. Обратите внимание, однако, что это не распространяется на свойства, определенные с помощью метрики ; есть метрические пространства, которые гомеоморфны, даже если одно из них полно, а другое нет.
  • Гомеоморфизм - это одновременно открытое отображение и замкнутое отображение ; то есть он отображает открытые множества в открытые, а закрытые - в замкнутые.
  • Каждый самогомеоморфизм в может быть расширен до самогомеоморфизма всего круга ( трюк Александера ).

Неформальное обсуждение [ править ]

Интуитивный критерий растяжения, изгиба, обрезки и склеивания требует определенной практики для правильного применения - например, из вышеприведенного описания может быть неочевидно, что деформирование линейного сегмента до точки недопустимо, например. Таким образом, важно понимать, что имеет значение формальное определение, данное выше. В этом случае, например, отрезок прямой имеет бесконечно много точек и, следовательно, не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая единственную точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которое фактически определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление о непрерывной деформации - это мысленный инструмент для отслеживания того, какие точки в пространстве X соответствуют каким точкам на Y - одна просто следует за ними, когда X деформируется. В случае гомотопии непрерывная деформация от одной карты к другой имеет существенное значение, а также является менее ограничивающим, поскольку ни одна из задействованных карт не должна быть взаимно однозначной или взаимно однозначной. Гомотопия действительно приводит к соотношению на пространствах: гомотопическая эквивалентность.

Есть название для вида деформации, участвующей в визуализации гомеоморфизма. Это (кроме случаев , когда требуется резка и regluing) в изотопии между тождественным отображением на X и гомеоморфизм из X в Y .

См. Также [ править ]

  • Локальный гомеоморфизм  - непрерывное открытое отображение, которое вокруг каждой точки в своей области определения имеет окрестность, на которой оно ограничивается гомоморфизмом.
  • Диффеоморфизм  - изоморфизм гладких многообразий; гладкая биекция с гладкой обратной
  • Равномерный изоморфизм  - Равномерно непрерывный гомеоморфизм - это изоморфизм между однородными пространствами.
  • Изометрический изоморфизм - это изоморфизм между метрическими пространствами
  • Группа гомеоморфизмов
  • Ден твист
  • Гомеоморфизм (теория графов) (тесно связанный с подразделением графов)
  • Гомотопия # Изотопия  - Непрерывная деформация между двумя непрерывными отображениями.
  •  Группа классов отображения - Группа изотопических классов группы топологических автоморфизмов.
  • Гипотеза Пуанкаре  - Теорема в геометрической топологии
  • Универсальный гомеоморфизм

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Анализ Situs selon Poincaré (1895)" . serge.mehl.free.fr . Архивировано из оригинального 11 июня 2016 года . Проверено 29 апреля 2018 года .
  2. ^ Гамелин, TW; Грин, RE (1999). Введение в топологию . Курьер. п. 67.
  3. ^ Хаббард, Джон Х .; Запад, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: многомерные системы . Тексты по прикладной математике. 18 . Springer. п. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
  4. ^ "Непрерывная биекция от (0,1) до [0,1]" . Обмен математическими стеками . 2011-06-01 . Проверено 2 апреля 2019 .
  5. ^ Вайсалы, Юсси: Topologia I , Лаймы RY 1999, стр. 63. ISBN 951-745-184-9 . 
  6. Перейти ↑ Dijkstra, Jan J. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 112 (10): 910. DOI : 10,2307 / 30037630 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 года.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Гомеоморфизм" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]