Алгебра Каца – Муди
В математике алгебра Каца–Муди (названная в честь Виктора Каца и Роберта Муди , которые независимо и одновременно открыли их в 1968 году [1] ) — это алгебра Ли , обычно бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и отношениями через обобщенную формулу . Матрица Картана . Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли , и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система , неприводимые представления и связь с многообразиями флагов , имеют естественные аналоги в настройке Каца – Муди.
Класс алгебр Каца–Муди, называемый аффинными алгебрами Ли , имеет особое значение в математике и теоретической физике , особенно в двумерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди. Ховард Гарланд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что тождества Роджерса-Рамануджана можно вывести аналогичным образом. [2]
Первоначальная конструкция Эли Картана и Вильгельма Киллинга конечномерных простых алгебр Ли из целых чисел Картана зависела от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что соотношения Клода Шевалле и Хариш-Чандры [3] с упрощениями Натана Джейкобсона [ 4] дают определяющее представление алгебры Ли . [5] Таким образом, можно описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и отношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая, естественно, положительно определена .
«Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца – Муди. Кац и Муди заметили, что, если условия Вильгельма Киллинга были смягчены, все еще можно было связать с матрицей Картана алгебра Ли, которая обязательно была бы бесконечномерной». – Эй Джей Коулман [6]
В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. [7] [8] Это все же привело к появлению алгебры Ли, но теперь она является бесконечномерной. Одновременно в Москве изучались Z - градуированные алгебры Ли , где И. Л. Кантор ввел и изучил общий класс алгебр Ли, в том числе и то, что со временем стало известно как алгебры Каца–Муди. [9] Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Развилась богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание предмета, который также включает в себя работы многих других, представлено в (Kac 1990). [10] См. также (Селигман, 1987). [11]
Учитывая обобщенную матрицу Картана размера n × n , можно построить алгебру Ли, определяемую генераторами , и отношениями, заданными формулами:
