В математике гиперболическое метрическое пространство - это метрическое пространство, удовлетворяющее определенным метрическим соотношениям (количественно зависящим от неотрицательного действительного числа δ) между точками. Определение, введенное Михаилом Громовым , обобщает метрические свойства классической гиперболической геометрии и деревьев . Гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое очень полезно для изучения некоторых бесконечных групп, называемых (по Громову) гиперболическими группами .
Определения
В этом абзаце мы даем различные определения -гиперболическое пространство. Метрическое пространство называется (по Громову) гиперболическим, если оно-гиперболический для некоторых .
Определение с использованием произведения Громова
Позволять - метрическое пространство . Продукт Громов из двух точек относительно третьего определяется формулой:
Громов определяет гиперболическое метрическое пространство следующим образом: является -гиперболический тогда и только тогда, когда все удовлетворяют четырехточечному условию
Обратите внимание, что если это условие выполняется для всех и одна фиксированная базовая точка , то она для всех выполняется с постоянной . [1] Таким образом, условие гиперболичности нужно проверять только для одной фиксированной базовой точки; по этой причине индекс базовой точки в произведении Громова часто опускается.
Определения с использованием треугольников
Вплоть до изменения постоянным кратным, существует эквивалентное геометрическое определение, включающее треугольники, когда метрическое пространство является геодезическим , т.е. любые две точки конечные точки геодезического отрезка (изометрическое изображение компактного подынтервала реалов). [2] [3] [4] Обратите внимание, что определение с помощью произведений Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим.
Позволять . Геодезический треугольник с вершинами объединение трех геодезических отрезков (где обозначает сегмент с конечными точками а также ).
Если для любой точки есть смысл в на расстоянии меньше чем из , и аналогично для точек на других краях, и тогда треугольник называется -тонкий .
Определение -гиперболическое пространство - это геодезическое метрическое пространство, все геодезические треугольники которого -тонкий. Это определение обычно приписывают Элияху Рипсу .
Другое определение можно дать, используя понятие -приблизительный центр геодезического треугольника: это точка, которая находится на расстоянии не более любого ребра треугольника («примерный» вариант центрифуги ). Пространство-гиперболический, если каждый геодезический треугольник имеет -центр.
Эти два определения -гиперболическое пространство с использованием геодезических треугольников не совсем эквивалентно, но существует такой, что -гиперболическое пространство в первом смысле - это -гиперболический во втором и наоборот. [5] Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения.
Примеры
Гиперболическая плоскость является гиперболической: на самом деле вписанной геодезическим треугольником окружность наибольшего диаметра , содержащейся в треугольнике и каждый геодезическом треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых являются изометрическими с окружностями , вписанным диаметр 2 бревна 3. [6] Отметим, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию в терминах вписанной окружности геодезического треугольника. Фактически величина ( A , B ) C - это просто гиперболическое расстояние p от C до любой из точек соприкосновения вписанной окружности со смежными сторонами: ибо из диаграммы c = ( a - p ) + ( b - p ) , так что р = ( + б - гр ) / 2 = ( , В ) С . [7]
Евклидова плоскость не является гиперболической, например , из - за существования гомотетий .
Два «вырожденных» примера гиперболических пространств - это пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная прямая.
Метрические деревья и вообще реальные деревья являются простейшими интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они являются 0-гиперболическими (т.е. все треугольники являются треногами).
1-скелет триангуляции евклидовыми равносторонними треугольниками не является гиперболическим (фактически он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости имеет гиперболический 1-скелет, если каждая вершина имеет степень 7 или больше.
Двумерная сетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это граф Кэли из фундаментальной группы из тора ; графы Кэли фундаментальных групп поверхности высшего рода гиперболичны (фактически, они квазиизометричны гиперболической плоскости).
Гиперболичность и кривизна
Гиперболическая плоскость (и в более общем случае любое Адамара многообразия из секционной кривизны ) является -гиперболический. Если масштабировать риманову метрику в множитель то расстояния умножаются на и таким образом мы получаем пространство, которое -гиперболический. Поскольку кривизна умножается на мы видим, что в этом примере «чем больше (отрицательно) искривлено пространство, тем оно более гиперболично (измеряется его константой гиперболичности ) ".
Подобные примеры - пространства CAT отрицательной кривизны. Что касается кривизны и гиперболичности, следует отметить, однако, что, хотя кривизна - это свойство, которое по существу является локальным, гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое не видит локальных (то есть происходящих в ограниченной области) метрических явлений. Например, объединение гиперболического пространства с компактным пространством с любой метрикой, продолжающей исходные, остается гиперболическим.
Важные свойства
Инвариантность относительно квазиизометрии
Один из способов уточнить значение термина «крупный масштаб» - потребовать инвариантности относительно квазиизометрии . Это верно в отношении гиперболичности.
- Если геодезическое метрическое пространство квазиизометрично -гиперболическое пространство тогда существует такой, что является -гиперболический.
Постоянная зависит от а также о мультипликативных и аддитивных константах квазиизометрии. [8]
Приближенные деревья в гиперболических пространствах
Определение гиперболического пространства в терминах произведения Громова можно рассматривать как утверждение, что метрические отношения между любыми четырьмя точками такие же, как и в дереве, с точностью до аддитивной константы . В более общем плане следующее свойство показывает, что любое конечное подмножество гиперболического пространства выглядит как конечное дерево.
- Для любой есть постоянный такое, что имеет место следующее: если точки в -гиперболическое пространство есть конечное дерево и вложение такой, что для всех а также
Постоянная можно принять за с участием и это оптимально. [9]
Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрических неравенств
В гиперболическом пространстве имеем следующее свойство: [10]
- Есть такое, что для всех с участием , каждый путь присоединение к и оставаясь на расстоянии хотя бы из имеет длину не менее .
Неформально это означает, что окружность «круга» радиуса растет экспоненциально с . Это напоминает изопериметрическую задачу на евклидовой плоскости . Вот более конкретное заявление на этот счет. [11]
- Предположим, что является клеточным комплексом размерности 2 такой, что его 1-скелет гиперболичен, и существует такое, что граница любой 2-клетки содержит не более 1-кл. Тогда есть постоянная такое, что для любого конечного подкомплекса у нас есть
Здесь площадь 2-комплекса - это количество 2-ячеек, а длина 1-комплекса - это количество 1-ячеек. Приведенное выше утверждение является линейным изопериметрическим неравенством ; оказывается, что наличие такого изопериметрического неравенства характеризует Громов-гиперболические пространства. [12] Линейные изопериметрические неравенства были вдохновлены условиями малого сокращения из комбинаторной теории групп .
Квазивыпуклые подпространства
Подпространство геодезического метрического пространства называется квазивыпуклой, если существует постоянная такая, что любая геодезическая в между двумя точками находится на расстоянии из .
- Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства гиперболично.
Асимптотические конусы
Все асимптотические конусы гиперболического пространства - вещественные деревья . Это свойство характеризует гиперболические пространства. [13]
Граница гиперболического пространства
Обобщая конструкцию концов симплициального дерева, существует естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось очень полезным для анализа действий групп.
В этом абзаце является геодезическим метрическим пространством, которое является гиперболическим.
Определение с использованием произведения Громова
Последовательность говорят, сходится к бесконечности, если для некоторой (или любой) точки у нас есть это Как оба а также уйти в бесконечность. Две последовательности сходящиеся к бесконечности считаются эквивалентными, когда (для некоторых или любых ). Граница из- множество классов эквивалентности последовательностей, сходящихся к бесконечности [14], которое обозначается.
Если являются двумя точками на границе, то их произведение Громова определяется как:
которая конечна тогда и только тогда, когда . Затем можно определить топологию на используя функции . [15] Эта топология наметризуем, и существует особое семейство метрик, определяемых с помощью произведения Громова. [16]
Определение собственных пространств с использованием лучей
Позволять два квази-изометрические вложения из в («квазигеодезические лучи»). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция ограничен . Если пространство собственно, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности со своей естественной топологией гомеоморфно как определено выше. [17]
Аналогичная реализация состоит в том, чтобы зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, исходящие из этой точки. В случае является геодезическим и собственным, можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами.
Примеры
Когда является симплициальным регулярным деревом, граница - это просто пространство концов, которое является канторовым множеством. Фиксация точки дает естественное расстояние на : две точки, представленные лучами происходящий из на расстоянии .
Когда - единичный круг, т.е. модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости, гиперболическая метрика на круге имеет вид
а границу Громова можно отождествить с единичной окружностью.
Граница -мерное гиперболическое пространство гомеоморфно пространству -мерная сфера и метрика аналогичны приведенной выше.
Функции Буземана
Если собственно, то его граница гомеоморфна пространству функций Буземана напереводы по модулю. [18]
Действие изометрий на границе и их классификация
Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между границами.
В частности, группа изометрий действует гомеоморфизмами на . Это действие можно использовать [19] для классификации изометрий в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая это действие для деревьев и классических гиперболических пространств. Позволять быть изометрией , то произойдет один из следующих случаев:
- Первый случай: имеет ограниченную орбиту на (в случае правильно это означает, что имеет фиксированную точку в ). Тогда это называется эллиптической изометрией.
- Второй случай: имеет ровно две неподвижные точки на и каждая положительная орбита накапливается только в . потомназывается гиперболической изометрией.
- Третий случай: имеет ровно одну фиксированную точку на границе, и все орбиты накапливаются в этой точке. Тогда это называется параболической изометрией.
Еще примеры
Подмножества теории гиперболических групп могут быть использованы , чтобы дать больше примеров гиперболических пространствах, например , в граф Кэли о наличии небольшой отмены группы . Также известно, что графы Кэли некоторых моделей случайных групп (которые, по сути, представляют собой бесконечные регулярные графы, генерируемые случайным образом) очень часто имеют тенденцию быть гиперболическими.
Доказать, что некоторые пространства гиперболичны, может быть сложно и интересно. Например, следующие результаты гиперболичности привели к открытию новых явлений для групп, действующих на них.
- Гиперболичность комплекса кривых [20] привела к новым результатам о группе классов отображений. [21]
- Точно так же гиперболичность некоторых графов [22], связанных с группой внешних автоморфизмов Out (Fn) , привела к новым результатам по этой группе.
Смотрите также
- Группа с отрицательным изгибом
- Идеальный треугольник
Заметки
- ^ Coornaert, Delzant и Пападопулос 1990 , стр. 2-3
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 2, предложение 21.
- ^ Bridson & Хефлигер 1999 , глава III.H, предложение 1,22.
- ^ Coorneart, Delzant и Пападопулос , стр. 6-8.
- ^ Bridson & Хефлигер 1999 , глава III.H, предложение 1,17.
- ^ Coornaert, Delzant и Пападопулос 1990 , стр. 11-12
- ^ Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990 , стр. 1–2 с
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 5, предложение 15.
- ^ Bowditch 2006 , глава 6.4.
- ^ Bridson & Хефлигер 1999 , глава III.H, предложение 1.25.
- ^ более общее утверждение дано в Bridson & Haefliger (1999 , глава III.H, предложение 2.7).
- ^ Bridson & Хефлигер 1999 , глава III.H, теорема 2.9.
- ^ Дюбина (Эршлер), Анна; Полтерович, Иосиф (2001). «Явные конструкции универсальных R -деревьев и асимптотическая геометрия гиперболических пространств». Бык. Лондонская математика. Soc . 33 . С. 727–734. Руководство по ремонту 1853785 .
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 7, стр 120.
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 7, раздел 2.
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 7, раздел 3.
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 7, предложение 4.
- ^ Bridson & Хефлигер 1999 , стр. 428.
- ^ Де ла Арп & Гис 1990 , Chapitre 8.
- ^ Masur, Howard A .; Минский, Яир Н. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Изобретать. Математика. 138 . С. 103–149. DOI : 10.1007 / s002220050343 . Руководство по ремонту 1714338 .
- ^ Дахмани, Франсуа; Гирардел, Винсент; Осин, Денис (2017). «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих на гиперболических пространствах». Мемуары Американского математического общества . 245 (1156). arXiv : 1111,7048 . DOI : 10,1090 / мемо / 1156 .
- ^ Бествина, Младен; Файн, Марк (2014). «Гиперболичность комплекса свободных факторов» . Успехи в математике . 256 : 104–155. DOI : 10.1016 / j.aim.2014.02.001 . Руководство по ремонту 3177291 .
Рекомендации
- Боудич, Брайан (2006), Курс геометрической теории групп (PDF) , Матем. соц. Япония
- Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer
- Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос А. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (на французском языке), 1441 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
- де ла Харп, Пьер; Гиз, Этьен (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Михаэль Громов (на французском языке), Birkhäuser
- Громов, Михаэль (1987), "Гиперболические группы", в Герстене, С.М. (ред.), Очерки теории групп , Springer, стр. 75–264.
- Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии , Серия лекций в университете, 31 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3332-2
- Вайсалы, Юсси (2005), "Громова гиперболических пространств" (PDF) , Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187-231, DOI : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010 , МР 2164775.