Момент изображения

В обработке изображений , компьютерном зрении и связанных областях момент изображения - это определенное конкретное средневзвешенное значение ( момент ) интенсивностей пикселей изображения или функция таких моментов, обычно выбираемая для того, чтобы иметь какое-то привлекательное свойство или интерпретацию.

Моменты изображения полезны для описания объектов после сегментации . Простые свойства изображения, которые можно найти по моментам изображения, включают площадь (или общую интенсивность), его центроид и информацию о его ориентации .

Необработанные моменты [ править ]

Для двумерной непрерывной функции f ( x , y ) момент (иногда называемый «исходным моментом») порядка ( p + q ) определяется как

${\ displaystyle M_ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} y ^ {q} f ( х, у) \, dx \, dy}$

для p , q = 0,1,2, ... Адаптируя это к скалярному (в оттенках серого) изображению с интенсивностью пикселей I ( x , y ), моменты необработанного изображения M _ij вычисляются с помощью

${\ Displaystyle M_ {ij} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} x ^ {i} y ^ {j} I (x, y) \, \!}$

В некоторых случаях это можно вычислить, рассматривая изображение как функцию плотности вероятности , т . Е. Разделив указанное выше на

${\ Displaystyle \ сумма _ {х} \ сумма _ {у} я (х, у) \, \!}$

Теорема единственности (Hu [1962]) утверждает, что если f ( x , y ) кусочно непрерывна и имеет ненулевые значения только в конечной части плоскости xy , то существуют моменты всех порядков, а последовательность моментов ( M _pq ) равна однозначно определяется функцией f ( x , y ). Наоборот, ( M _pq ) однозначно определяет f ( x , y ). На практике изображение суммируется с функциями нескольких моментов более низкого порядка.

Примеры [ править ]

Простые свойства изображения, полученные с помощью сырых моментов, включают:

• Площадь (для двоичных изображений) или сумма уровней серого (для изображений в серых тонах):${\ displaystyle M_ {00}}$
• Центроид: ${\ displaystyle \ {{\ bar {x}}, \ {\ bar {y}} \} = \ left \ {{\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}, {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}} \ right \}}$

Центральные моменты [ править ]

Центральные моменты определяются как

${\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x - {\ bar {x}} ) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ {q} f (x, y) \, dx \, dy}$

где и - компоненты центроида .${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}}$${\ displaystyle {\ bar {y}} = {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}}}$

Если ƒ ( x ,  y ) - цифровое изображение, то предыдущее уравнение принимает вид

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}$

Центральными моментами порядка до 3-х являются:

${\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}$

${\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}$

Можно показать, что:

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}$

Центральные моменты трансляционно инвариантны .

Примеры [ править ]

Информацию об ориентации изображения можно получить, сначала используя центральные моменты второго порядка для построения ковариационной матрицы .

${\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}$

Ковариационная матрица изображения теперь${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}$.

Собственные векторы этой матрицы соответствуют большой и малой осям интенсивности изображения, поэтому ориентация может быть извлечена из угла собственного вектора, связанного с наибольшим собственным значением, к оси, ближайшей к этому собственному вектору. Можно показать, что этот угол Θ определяется следующей формулой:

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

Приведенная выше формула действует до тех пор, пока:

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

В собственных значений матрицы ковариации можно легко показать,

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

и пропорциональны квадрату длины осей собственных векторов. Таким образом, относительная разница в величине собственных значений является показателем эксцентриситета изображения или его вытянутости. Эксцентриситет является

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

Инварианты моментов [ править ]

Моменты хорошо известны своим применением в анализе изображений, поскольку их можно использовать для получения инвариантов относительно определенных классов преобразований.

В этом контексте часто злоупотребляют термином « инвариантные моменты» . Однако, в то время как инварианты моментов являются инвариантами, образованными из моментов, единственные моменты, которые сами являются инвариантами, являются центральными моментами. ^{[ необходима цитата ]}

Обратите внимание, что описанные ниже инварианты точно инвариантны только в непрерывной области. В дискретной области ни масштабирование, ни поворот четко не определены: дискретное изображение, преобразованное таким образом, обычно является приближением, и преобразование не является обратимым. Следовательно, эти инварианты инвариантны лишь приблизительно при описании формы в дискретном изображении.

Инварианты перевода [ править ]

Центральные моменты μ _{i j} любого порядка по построению инвариантны относительно сдвигов .

Масштабные инварианты [ править ]

Инварианты η _{i j} относительно сдвига и масштаба могут быть построены из центральных моментов путем деления на правильно масштабированный нулевой центральный момент:

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

где i + j ≥ 2. Обратите внимание, что трансляционная инвариантность напрямую следует только при использовании центральных моментов.

Инварианты вращения [ править ]

Как показано в работе Ху, ^{[1] [2]} инварианты относительно сдвига , масштаба и вращения могут быть построены:

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

Это хорошо известные инварианты моментов Ху .

Первый, I ₁ , аналогичен моменту инерции вокруг центроида изображения, где интенсивности пикселей аналогичны физической плотности. Первые шесть, I ₁ ... I ₆ , симметричны по отражению, т. Е. Они не изменяются, если изображение меняется на зеркальное. Последний, I ₇ , является антисимметричным по отражению (меняет знак при отражении), что позволяет ему различать зеркальные изображения идентичных в остальном изображений.

Общая теория вывода полных и независимых наборов инвариантов момента вращения была предложена Дж. Флюссером. ^[3] Он показал, что традиционный набор инвариантов моментов Ху не является ни независимым, ни полным. I ₃ не очень полезен, так как зависит от других (как?). В исходном наборе Ху отсутствует независимый моментный инвариант третьего порядка:

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

Как и I ₇ , I ₈ также антисимметричен по отражению.

Позже Дж. Флюссер и Т. Сук ^[4] специализировали теорию для случая N-вращательно-симметричных форм.

Приложения [ править ]

Zhang et al. применил инварианты моментов Ху для решения проблемы патологического обнаружения мозга (PBD). ^[5] Дёрр и Флоренс использовали информацию об ориентации объекта, относящуюся к центральным моментам второго порядка, для эффективного извлечения инвариантных по сдвигу и вращению поперечных сечений объекта из данных микрорентгеновской томографии. ^[6]

Внешние ссылки [ править ]

• Анализ двоичных изображений , Эдинбургский университет
• Статистические моменты , Эдинбургский университет
• Варианты моментов , страница машинного восприятия и компьютерного зрения (исходный код Matlab и Python)
• Вступительное видео Hu Moments на YouTube
• Суть Реализация этой страницы, jupyter и python.

Ссылки [ править ]