В математике это теорема о том, что не существует аналога меры Лебега на бесконечномерном банаховом пространстве . Поэтому на бесконечномерных пространствах используются другие виды мер : часто используется конструкция абстрактного винеровского пространства . В качестве альтернативы можно рассматривать меру Лебега на конечномерных подпространствах большего пространства и рассматривать так называемые преобладающие и застенчивые множества .
Компактные множества в банаховых пространствах также могут нести естественные меры: например, гильбертов куб несет произведение меры Лебега . В аналогичном духе компактная топологическая группа, заданная тихоновским произведением бесконечного числа копий группы окружностей, является бесконечномерной и несет в себе меру Хаара , инвариантную относительно сдвигов.
Мотивация
Можно показать , что мера Лебега Л п на евклидовом пространстве R п является локально конечно , строго положительна и перевод - инвариант , в явном виде:
- каждая точка x в R n имеет открытую окрестность N x с конечной мерой λ n ( N x ) <+ ∞;
- каждое непустое открытое подмножество U в R n имеет положительную меру λ n ( U )> 0; а также
- если A - любое измеримое по Лебегу подмножество R n , T h : R n → R n , T h ( x ) = x + h , обозначает карту трансляции, а ( T h ) ∗ ( λ n ) обозначает толчок вперед , то ( T h ) ∗ ( λ n ) ( A ) = λ n ( A ).
С геометрической точки зрения эти три свойства делают меру Лебега очень удобной для работы. Когда мы рассматриваем бесконечномерным пространство таких как L р пространства или пространства непрерывных путей в евклидовом пространстве, было бы неплохо иметь столь же хорошую меру работать. К сожалению, это невозможно.
Формулировка теоремы
Пусть ( X , || · ||) - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство. Тогда только локально конечна и трансляционно-инвариантным борелевская мера μ на X является тривиальной мерой , с μ ( ) = 0 для любого измеримого множества A . Эквивалентное каждый перевод-инвариантной мерой , которая не равна нулю тождественно правопреемников бесконечной меры для всех открытых подмножеств X .
Доказательство теоремы
Пусть X - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство, снабженное локально конечной трансляционно-инвариантной мерой μ . Используя локальную конечность, предположим, что при некотором δ > 0 открытый шар B ( δ ) радиуса δ имеет конечную μ -меру. Поскольку X бесконечномерно, существует бесконечная последовательность попарно непересекающихся открытых шаров B n ( δ / 4), n ∈ N , радиуса δ / 4, причем все меньшие шары B n ( δ / 4) содержатся внутри шар большего размера B ( δ ). Из-за трансляционной инвариантности все меньшие шары имеют одинаковую меру; поскольку сумма этих мер конечна, все шары меньшего размера должны иметь нулевую µ- меру. Теперь, поскольку X отделимо, его можно покрыть счетным набором шаров радиуса δ / 4; поскольку каждый такой шар имеет М - меру нуль, так должно быть все пространство X , и поэтому ц является тривиальной мерой.
Рекомендации
- Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный« почти каждый »на бесконечномерных пространствах». Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : math / 9210220 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) (См. Раздел 1: Введение)
- Окстоби, Джон С .; Прасад, Видху С. (1978). «Гомеоморфные меры на гильбертовом кубе» . Тихоокеанский математический журнал . 77 (2).