Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории множеств , бесконечное множество является множество , которое не является конечным множеством . Бесконечные множества могут быть счетными или бесчисленными . [1] [2] [3]

Свойства [ править ]

Множество натуральных чисел (существование которых постулируется аксиомой бесконечности ) бесконечно. [3] [4] Это единственное множество, которое прямо требуется аксиомами, чтобы быть бесконечным. Существование любого другого бесконечного множества можно доказать в теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), но только показав, что оно следует из существования натуральных чисел.

Набор бесконечен тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа в наборе есть подмножество , мощность которого равна этому натуральному числу. [ необходима цитата ]

Если аксиома выбора верна, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно включает счетное бесконечное подмножество.

Если набор множеств бесконечен или содержит бесконечный элемент, то его объединение бесконечно. Набор мощности бесконечного множества бесконечен. [5] Любое надмножество бесконечного множества бесконечно. Если бесконечное множество разбито на конечное число подмножеств, то хотя бы одно из них должно быть бесконечным. Любое множество, которое можно отобразить на бесконечное множество, бесконечно. Декартово произведение бесконечного множества и непустого множества бесконечно. Декартово произведение бесконечного числа множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов, либо пусто, либо бесконечно; если аксиома выбора верна, то она бесконечна.

Если бесконечное множество - это хорошо упорядоченное множество , то оно должно иметь непустое, нетривиальное подмножество, не имеющее наибольшего элемента.

В ZF набор бесконечен тогда и только тогда, когда набор степеней его набора степеней является бесконечным по Дедекинду , имеющим собственное подмножество, равное самому себе. [6] Если аксиома выбора также верна, то бесконечные множества - это в точности бесконечные по Дедекинду множества.

Если бесконечное множество - это хорошо упорядочиваемое множество , то оно имеет много неизоморфных хороших порядков.

Примеры [ править ]

Счетно бесконечные множества [ править ]

Множество всех целых чисел {..., -1, 0, 1, 2, ...} является счетно бесконечным множеством. Множество всех четных целых чисел также является счетно бесконечным множеством, даже если оно является правильным подмножеством целых чисел. [5]

Множество всех рациональных чисел является счетно бесконечным множеством, поскольку существует взаимно однозначное соответствие множеству целых чисел. [5]

Бесконечное множество множеств [ править ]

Множество всех действительных чисел - несчетное бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел также является несчетным бесконечным множеством. [5]

См. Также [ править ]

  • Число Алеф
  • количественное числительное
  • Порядковый номер

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 29 ноября 2019 .
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Бесконечное множество" . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 .
  3. ^ a b "бесконечное множество в nLab" . ncatlab.org . Проверено 29 ноября 2019 .
  4. ^ Bagaria, Joan (2019), Залта, Эдвард Н. (ред.), "Теория множеств" , Стэнфорд энциклопедия философии (осень 2019 - е изд.), Метафизика Research Lab Стэнфордского университета , извлекаться 2019-11-30
  5. ^ a b c d Колдуэлл, Крис. «Главный Глоссарий - Бесконечный» . primes.utm.edu . Проверено 29 ноября 2019 .
  6. ^ Boolos, Джордж (1994), "Преимущества честного труда над кражей", математика и разум (Амхерст, штат Массачусетс, 1991) , Logic вычи. Philos., Oxford Univ. Press, New York, pp. 27–44, MR 1373892. . См., В частности, стр. 32–33 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Ускоренный курс математики бесконечных множеств