Пропускная способность канала в электротехнике , информатике и теории информации является жестким верхним пределом скорости, с которой информация может надежно передаваться по каналу связи .
Следуя условиям теоремы кодирования канала с шумом , пропускная способность данного канала является наивысшей скоростью передачи информации (в единицах информации в единицу времени), которая может быть достигнута с произвольно малой вероятностью ошибки. [1] [2]
Теория информации , разработанная Клодом Э. Шенноном в 1948 году, определяет понятие пропускной способности канала и предоставляет математическую модель, с помощью которой можно ее вычислить. Ключевой результат гласит, что пропускная способность канала, как определено выше, задается максимумом взаимной информации между входом и выходом канала, где максимизация относится к входному распределению. [3]
Понятие пропускной способности канала было центральным при разработке современных систем проводной и беспроводной связи с появлением новых механизмов кодирования с исправлением ошибок, которые привели к достижению производительности, очень близкой к пределам, обещанным пропускной способностью канала.
Формальное определение
Базовая математическая модель системы связи следующая:
где:
- сообщение, которое нужно передать;
- символ входа канала ( представляет собой последовательность символы) взятые в алфавите ;
- символ выхода канала ( представляет собой последовательность символы) взятые в алфавите ;
- оценка переданного сообщения;
- это функция кодирования для блока длины ;
- - зашумленный канал, который моделируется условным распределением вероятностей ; а также,
- - функция декодирования для блока длины .
Позволять а также моделироваться как случайные величины. Кроме того, пустьбыть условное распределение вероятностей функция дано , которое является неотъемлемым фиксированным свойством канала связи. Тогда выбор маржинального распределения полностью определяет совместное распределение из-за личности
что, в свою очередь, порождает взаимную информацию . Пропускная способность канала определяется как
где супремум берется по всем возможным вариантам выбора.
Аддитивность пропускной способности канала
Пропускная способность каналов складывается по сравнению с независимыми каналами. [4] Это означает, что использование двух независимых каналов в сочетании обеспечивает такую же теоретическую пропускную способность, как и их независимое использование. Более формально, пусть а также быть двумя независимыми каналами, смоделированными как указано выше; имеющий входной алфавит и выходной алфавит . То же самое для. Определяем канал продукта в виде
Эта теорема гласит:
Сначала покажем, что .
Позволять а также - две независимые случайные величины. Позволять случайная величина, соответствующая выходу через канал , а также для через .
По определению .
С а также независимы, а также а также , не зависит от . Мы можем применить следующее свойство взаимной информации :
Пока нам нужно только найти дистрибутив такой, что . По факту, а также , два распределения вероятностей для а также достижение а также , хватит:
т.е.
Теперь покажем, что .
Позволять быть некоторым распределением для канала определение и соответствующий выход . Позволять быть алфавитом , для , и аналогично а также .
По определению взаимной информации мы имеем
Перепишем последний член энтропии .
По определению канала продукта, . Для данной пары, мы можем переписать в виде:
Суммируя это равенство по всем , мы получаем .
Теперь мы можем дать верхнюю границу взаимной информации:
Это соотношение сохраняется на супремуме. Следовательно
Комбинируя два доказанных неравенства, получаем результат теоремы:
Шенноновская емкость графа
Если G является неориентированным графом , его можно использовать для определения канала связи, в котором символы являются вершинами графа, и два кодовых слова могут быть перепутаны друг с другом, если их символы в каждой позиции равны или смежны. Вычислительная сложность определения пропускной способности Шеннона такого канала остается открытой, но она может быть ограничена сверху другим важным инвариантом графа - числом Ловаса . [5]
Теорема кодирования с шумом канала
Шумная-канальное кодирование теоремы утверждает , что для любой вероятности ошибки ε> 0 и для любой передачи скорость R меньше пропускной способность канала C , есть кодирование и декодирование данные схемы передачи , по меньшей скорости R , чья вероятность ошибки меньше е, для достаточно большая длина блока. Кроме того, для любой скорости, превышающей пропускную способность канала, вероятность ошибки на приемнике достигает 0,5, поскольку длина блока стремится к бесконечности.
Пример приложения
Применение концепции пропускной способности канала к каналу с аддитивным белым гауссовым шумом (AWGN) с полосой пропускания B Гц и отношением сигнал / шум S / N представляет собой теорему Шеннона – Хартли :
C измеряется в битах в секунду, если логарифм берется по основанию 2, или в натсах в секунду, если используется натуральный логарифм , при условии, что B в герцах ; мощности сигнала и шума S и N выражаются в линейных единицах мощности (например, в ваттах или вольтах 2 ). Поскольку значения отношения сигнал / шум часто приводятся в дБ , может потребоваться преобразование. Например, отношение сигнал / шум 30 дБ соответствует линейному отношению мощностей.
Пропускная способность канала беспроводной связи
В этом разделе [6] основное внимание уделяется сценарию с одной антенной и двухточечным соединением. Информацию о пропускной способности канала в системах с несколькими антеннами см. В статье о MIMO .
Безлимитный канал AWGN
Если средняя полученная мощность [Вт], общая пропускная способность составляет в герцах, а спектральная плотность мощности шума равна [Вт / Гц], пропускная способность канала AWGN составляет
- [бит / с],
где это отношение принятого сигнала к шуму (SNR). Этот результат известен как теорема Шеннона – Хартли . [7]
Когда SNR велико (SNR 0 дБ), емкость является логарифмическим по мощности и приблизительно линейным по полосе пропускания. Это называется режимом с ограниченной пропускной способностью .
Когда SNR невелик (SNR SN 0 дБ), емкость имеет линейную мощность, но нечувствителен к пропускной способности. Это называется режимом с ограничением мощности .
Режим с ограничением полосы пропускания и режим с ограничением мощности показаны на рисунке.
Частотно-избирательный канал AWGN
Пропускная способность частотно-избирательного канала определяется так называемым распределением мощности заполнения водой ,
где а также усиление подканала , с участием выбран для удовлетворения ограничения мощности.
Канал с медленным затуханием
В канале с медленным замиранием , где время когерентности больше требуемой задержки, нет определенной пропускной способности как максимальной скорости надежной связи, поддерживаемой каналом,, зависит от случайного усиления канала , который неизвестен передатчику. Если передатчик кодирует данные со скоростью [бит / с / Гц], существует ненулевая вероятность того, что вероятность ошибки декодирования не может быть сделана сколь угодно малой,
- ,
в этом случае считается, что система отключена. С ненулевой вероятностью того, что канал находится в состоянии глубокого замирания, пропускная способность канала с медленным замиранием в строгом смысле равна нулю. Однако можно определить наибольшее значение так что вероятность сбоя меньше чем . Это значение известно как-отбой мощности.
Канал с быстрым затуханием
В канале с быстрым замиранием , где требование к задержке больше, чем время когерентности, а длина кодового слова охватывает множество периодов когерентности, можно усреднить замирание по множеству независимых каналов путем кодирования по большому количеству интервалов времени когерентности. Таким образом, можно добиться надежной скорости передачи [бит / с / Гц], и имеет смысл говорить об этом значении как о пропускной способности канала с быстрым замиранием.
Смотрите также
- Пропускная способность (вычисления)
- Полоса пропускания (обработка сигнала)
- Битрейт
- Скорость кода
- Показатель ошибки
- Ставка Найквиста
- Негэнтропия
- Резервирование
- Отправитель , Сжатие данных , Получатель
- Теорема Шеннона – Хартли.
- Спектральная эффективность
- Пропускная способность
Расширенные темы общения
- MIMO
- Совместное разнообразие
Внешние ссылки
- "Скорость передачи канала" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Пропускная способность канала AWGN с различными ограничениями на вход канала (интерактивная демонстрация)
Рекомендации
- ^ Салим Бхатти. «Емкость канала» . Конспект лекций для M.Sc. Сети передачи данных и распределенные системы D51 - Базовые коммуникации и сети . Архивировано из оригинала на 2007-08-21.
- ^ Джим Лесурф. "Сигналы похожи на шум!" . Информация и измерения, 2-е изд .
- ^ Томас М. Кавер, Джой А. Томас (2006). Элементы теории информации . John Wiley & Sons, Нью-Йорк. ISBN 9781118585771.
- ^ Обложка, Томас М .; Томас, Джой А. (2006). «Глава 7: Пропускная способность канала». Элементы теории информации (второе изд.). Wiley-Interscience. С. 206–207. ISBN 978-0-471-24195-9.
- ^ Lovász, Ласло (1979), "О пропускной способности Шеннона в графике", IEEE Transactions по теории информации , IT-25 (1): 1-7, DOI : 10,1109 / tit.1979.1055985.
- ^ Дэвид Це, Прамод Вишванат (2005 г.), Основы беспроводной связи , Cambridge University Press, Великобритания, ISBN 9780521845274
- ^ Справочник по электротехнике . Ассоциация исследований и образования. 1996. стр. Д-149. ISBN 9780878919819.