В математике , внутреннее пространство продукта или Хаусдорфово предгильбертово пространство [1] [2] представляет собой векторное пространство с бинарной операцией , называемой внутренним продуктом. Эта операция связывает каждую пару векторов в пространстве со скалярной величиной, известной как скалярное произведение векторов, часто обозначаемой с помощью угловых скобок (как в). [3] Внутренние произведения позволяют строго вводить интуитивно понятные геометрические понятия, такие как длина вектора или угол между двумя векторами. Они также предоставляют средства определения ортогональности между векторами (нулевой внутренний продукт). Внутренние пространства продуктов обобщают евклидовы пространства (в котором скалярное произведение является скалярное произведение , [4] также известный как скалярное произведение) для векторных пространств любого (возможно , бесконечного) размерности , и изучаются в функциональном анализе . Внутренние пространства продукта над полем из комплексных чисел , которые иногда называют унитарных пространств . Первое использование концепции векторного пространства со скалярным произведением принадлежит Джузеппе Пеано в 1898 году [5].
Внутреннее произведение естественным образом индуцирует ассоциированную норму (| x | и | y | - нормы x и y на рисунке), которая канонически превращает каждое внутреннее пространство продукта в нормированное векторное пространство . Если это нормированное пространство также является банаховым пространством, то пространство скалярного произведения называется гильбертовым пространством . [1] Если внутреннее произведение ( H , ·, ·) не является гильбертовым пространством, то его можно «расширить» до гильбертова пространства ( H , ⟨·, · H ) , называемого пополнением . Явно, это означает , что Н является линейно и изометрический внедренным на плотное векторное подпространство Н и что скалярное произведение ⟨·, ·⟩ Н на Н является единственным непрерывным продолжением исходного скалярного произведения ⟨·, ·⟩ . [1] [6]
Определение
В этой статье, поле из скаляров обозначается 𝔽 либо поле действительных чисел или поле комплексных чисел .
Формально внутреннее пространство продукта является векторным пространством V над полем 𝔽 вместе с картой
называется внутренним произведением, которое удовлетворяет следующим условиям (1), (2) и (3) [1] для всех векторов x , y , z ∈ V и всех скаляров a ∈ 𝔽 : [7] [8] [9]
- Линейность в первом аргументе: [примечание 1]
- Если выполнено условие (1) и если также антилинейна (также называется сопряженной линейной ) по второму аргументу [примечание 2], тоназывается полуторалинейной формой . [1]
- Сопряженная симметрия или эрмитова симметрия : [примечание 3]
- Условия (1) и (2) являются определяющими свойствами эрмитовой формы , которая является особым типом полуторалинейной формы. [1] Полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когдареально для всех x . [1] В частности, из условия (2) следует [примечание 4], чтоявляется действительным числом для всех x .
- Положительная определенность : [1]
Вышеупомянутые три условия являются определяющими свойствами внутреннего продукта, поэтому внутренний продукт иногда (что эквивалентно) определяется как положительно определенная эрмитова форма . Внутреннее произведение может быть эквивалентно определено как положительно определенная полуторалинейная форма. [1] [примечание 5]
Предполагая, что (1) выполняется, условие (3) будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняются оба условия (4) и (5), приведенные ниже: [6] [1]
- Положительная полуопределенность или неотрицательная определенность : [1]
- Условие (1), (2) и (4) является определяющим свойством положительной полуопределенной эрмитовой формы , что позволяет определить полунорм на V , данный V ↦ √ ⟨ v , v ⟩ . Эта полунорма является нормой тогда и только тогда, когда выполняется условие (5).
- Разделение точек или определенность :
Условия с (1) по (5) удовлетворяются каждым внутренним продуктом.
Элементарные свойства
Положительная определенность и линейность соответственно гарантируют, что:
Сопряженная симметрия означает , что ⟨ х , х ⟩ является реальным для всех х , потому что
Сопряженная симметрия и линейность по первой переменной подразумевают
то есть сопряженная линейность по второму аргументу. Итак, внутренний продукт - это полуторалинейная форма .
Это важное обобщение известного квадратного разложения следует ниже:
Эти свойства, составляющие указанную выше линейность по первому и второму аргументу:
иначе известны как аддитивность .
В случае сопряженная симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярное произведение на вещественном векторном пространстве является положительно определенной симметричной билинейной формой . Это,
и биномиальное расширение становится:
Альтернативные определения, обозначения и замечания
Обычный частный случай внутреннего продукта, скалярного продукта или скалярного произведения , записывается с центрированной точкой.
Некоторые авторы, особенно в области физики и матричной алгебры , предпочитают определять внутреннее произведение и полуторалинейную форму с линейностью во втором аргументе, а не в первом. Тогда первый аргумент становится сопряженным линейным, а не вторым. В этих дисциплинах мы бы написали внутренний продуктв ⟨ у | х ⟩ ( Бра и кет из квантовой механики ), соответственно у † х (скалярное произведение в случае конвенции формирования матрицы продукта AB , как скалярное произведение рядов А со столбцами B ). Здесь кеты и столбцы отождествляются с векторами V , а бюстгальтеры и строки с линейными функционалами (ковекторами) двойственного пространства V ∗ , сопряженность которых связана с двойственностью. Этот обратный порядок теперь иногда следует в более абстрактной литературе [10] с ⟨ х , у ⟩ сопряженной линейно по й , а не у . Некоторые вместо этого находят золотую середину, распознавая ·, ·⟩ и ⟨· | ·⟩ Как различные обозначения - различающиеся только тем, какой аргумент является линейно сопряженным.
Существуют различные технические причины, по которым необходимо ограничить базовое поле до а также в определении. Вкратце, базовое поле должно содержать упорядоченное подполе, чтобы неотрицательность имело смысл [11], и, следовательно, должно иметь характеристику, равную 0 (поскольку любое упорядоченное поле должно иметь такую характеристику). Это сразу исключает конечные поля. Базовое поле должно иметь дополнительную структуру, такую как выделенный автоморфизм . В более общем смысле, любое квадратично замкнутое подполе поля или же для этой цели будет достаточно (например, алгебраические числа , конструктивные числа ). Однако в случаях, когда это собственное подполе (т. Е. Ни одно из ни ), даже конечномерные внутренние пространства произведения не могут быть метрически полными. Напротив, все конечномерные внутренние пространства продукта над или же такие как те, которые используются в квантовых вычислениях , автоматически метрически полны (и, следовательно, гильбертовы пространства ).
В некоторых случаях необходимо рассматривать неотрицательные полуопределенные полуопределенные формы. Это значит, чтотребуется только, чтобы оно было неотрицательным. Лечение этих случаев показано ниже.
Несколько примеров
Вещественные числа
Простым примером являются действительные числа со стандартным умножением в качестве внутреннего произведения [4]
Евклидово векторное пространство
В более общем смысле, реальное n -пространство с скалярным произведением - это внутреннее пространство произведения, [4] пример евклидова векторного пространства .
где х Т является транспонированной из х .
Комплексное координатное пространство
Общий вид внутреннего продукта на известна как эрмитова форма и дается формулой
где М является любая эрмитова положительно определенная матрица и у † является сопряженной транспозицией от у . В реальном случае это соответствует скалярному произведению результатов масштабирования двух векторов, различающихся по направлениям , с положительными масштабными коэффициентами и ортогональными направлениями масштабирования. Это взвешенная версия скалярного произведения с положительными весами с точностью до ортогонального преобразования.
Гильбертово пространство
В статье о гильбертовых пространствах есть несколько примеров пространств внутреннего продукта, в которых метрика, индуцированная внутренним продуктом, дает полное метрическое пространство. Примером внутреннего пространства продукта, которое индуцирует неполную метрику, является пространство непрерывных комплекснозначных функций а также на интервале Внутренний продукт
Это пространство не завершено; рассмотрим, например, для интервала [−1, 1] последовательность непрерывных «ступенчатых» функций { f k } k , определяемую следующим образом:
Эта последовательность является последовательностью Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.
Случайные переменные
Для вещественных случайных величин X и Y , с ожидаемым значением их продукта
это внутренний продукт. [12] [13] [14] В этом случае ⟨ Х , Х ⟩ = 0 тогда и только тогда , когда Pr ( Х = 0) = 1 (то есть, Х = 0 почти наверное ). Это определение ожидания как внутреннего продукта также может быть распространено на случайные векторы .
Реальные матрицы
Для реальных квадратных матриц одного и того же размера, ⟨ A , B ⟩ ≝ тр ( АВ Т ) с транспонированной как конъюгации
это внутренний продукт.
Векторные пространства с формами
На внутреннем пространстве продукта или, в более общем смысле, векторном пространстве с невырожденной формой (отсюда изоморфизм V → V ∗ ), векторы могут быть отправлены в ковекторы (в координатах, через транспонирование), так что можно взять внутренний продукт и внешний произведение двух векторов, а не просто вектора и ковектора.
Норма
Пространства внутреннего продукта - это нормированные векторные пространства для нормы, определенной в [4].
Что касается любого нормированного векторного пространства, внутреннее пространство продукта является метрическим пространством для расстояния, определяемого формулой
Аксиомы внутреннего продукта гарантируют, что приведенная выше карта образует норму, которая будет иметь следующие свойства.
- Однородность
- Для вектора x из V и скаляра r
- Неравенство треугольника
- Для векторов а также из V
- Неравенство Коши – Шварца.
- Для x , y элементов V
- Поляризационная идентичность
- Внутренний продукт может быть извлечен из нормы с помощью поляризационной идентичности.
- Ортогональность
- Два вектора ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.
В случае евклидовых векторных пространств , которые являются пространствами внутреннего произведения конечной размерности над вещественными числами, внутреннее произведение позволяет определять (неориентированный) угол двух ненулевых векторов как - теорема Пифагора
- Всякий раз , когда х , у в V и ⟨ х , у ⟩ = 0 , то
- Личность Парсеваля
- Индукция по пифагорейской урожайности теоремы: если х 1 , ..., х п являются ортогональными векторами, то есть, ⟨ х J , х к ⟩ = 0 для различных индексов J , к , то
- Закон параллелограмма
- Для x , y элементов V ,
- Неравенство Птолемея
- Для x , y , z элементов V ,
Реальные и сложные части внутренних продуктов
Предположим, что является скалярным произведением на V (поэтому он антилинейен по своему второму аргументу). В идентичности поляризации показывает , что действительная часть внутреннего продукта является
Если является реальным векторным пространством, то и мнимая часть (также называемая комплексной частью )всегда 0 .
В оставшейся части этого раздела предполагаем, что V - комплексное векторное пространство. Идентичность поляризации для комплексных векторных пространств показывают , что
Карта определена для всех удовлетворяет аксиомам внутреннего продукта, за исключением того, что он антилинейен в своем первом , а не втором аргументе. Настоящая часть обоих а также равны но внутренние продукты различаются своей сложной частью:
Последнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть.
- Реальные и сложные внутренние продукты
Позволять обозначать рассматривается как векторное пространство над действительными числами, а не комплексными числами. Действительная часть комплексного внутреннего продукта это карта который обязательно образует реальный внутренний продукт в реальном векторном пространстве Каждое внутреннее произведение в реальном векторном пространстве симметрично и билинейно .
Например, если с внутренним продуктом где векторное пространство над полем тогда это векторное пространство над а также это точечный продукт где отождествляется с точкой (и аналогично для ). Кроме того, имел вместо этого был определен как симметричная карта (а не обычное антисимметричное отображение ) тогда его действительная часть бы не быть скалярным произведением.
Следующие примеры показывают, что, хотя реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств и результатов, они не полностью взаимозаменяемы. Например, если тогда но следующий пример показывает , что обратное, вообще говоря, не верно. Учитывая любые вектор (это вектор повернут на 90 °) принадлежит и так же принадлежит (хотя скалярное умножение by i не определено в все еще верно, что вектор в обозначается является элементом ). Для сложного внутреннего продукта тогда как для реального внутреннего продукта значение всегда
Если есть внутренний продукт, упомянутый выше, тогда карта определяется ненулевое линейное отображение (линейное для обоих а также ), что означает поворот на 90 ° в плоскости. Эта карта удовлетворяет для всех векторов если бы этот внутренний продукт был сложным, а не реальным, этого было бы достаточно, чтобы сделать вывод, что эта линейная карта идентично (т.е. что ), которого, конечно же, нет. Напротив, для всех ненулевых карта удовлетворяет
Ортонормированные последовательности
Пусть V - конечномерное внутреннее пространство продукта размерности n . Напомним , что каждый базис из V состоит ровно п линейно независимых векторов. Используя процесс Грама – Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах, базис { е 1 , ..., е п } ортонормальна , если ⟨ е я , е J ⟩ = 0 для любого я ≠ J и ⟨ е я , е я ⟩ = || e i || = 1 для каждого i .
Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств скалярного произведения следующим образом. Пусть V - любое внутреннее пространство продукта. Тогда сборник
является базисом для V, если подпространство V, порожденное конечными линейными комбинациями элементов E , плотно в V (в норме, индуцированной скалярным произведением). Мы говорим, что E является ортонормированным базисом для V, если он является базисом и
если & alpha ; ≠ & beta ; и ⟨ е & alpha ; , е & alpha ; ⟩ = || e α || = 1 для всех & alpha ; , & beta ; ∈ .
Используя бесконечномерный аналог процесса Грама-Шмидта, можно показать:
Теорема. Любое отделимое внутреннее пространство произведения V имеет ортонормированный базис.
Используя принцип максимума Хаусдорфа и тот факт, что в пространстве полного внутреннего произведения ортогональная проекция на линейные подпространства корректно определена, можно также показать, что
Теорема. Любое полное внутреннее пространство продукта V имеет ортонормированный базис.
Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, все ли пространства внутреннего произведения имеют ортонормированный базис. Ответ, оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он будет доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоса по проблемам гильбертова пространства (см. Ссылки). [ необходима цитата ]
Доказательство Напомним, что размерность внутреннего продукта - это мощность максимальной ортонормированной системы, которую оно содержит (по лемме Цорна оно содержит по крайней мере одну, а любые две имеют одинаковую мощность). Ортонормированный базис, безусловно, является максимальной ортонормированной системой, но, как мы увидим, обратное не обязательно. Заметим , что если G является плотным подпространством скалярное произведение пространства Н , то любой ортонормированный базис G автоматически ортонормированный базис H . Таким образом, достаточно построить скалярное произведение пространства Н с плотной подпространстве G , размерность которого строго меньше , чем у Н . Пусть K - гильбертово пространство размерности ℵ 0 (например, K = l 2 ( N ) ). Пусть E - ортонормированный базис K , поэтому | E | = ℵ 0 . Продолжим E до базиса Гамеля E ∪ F для K , где E ∩ F = ∅ . Так как известно , что размерность Амель из K является с , мощность континуума, он должен быть , что | F | = с .
Пусть L - гильбертово пространство размерности c (например, L = l 2 (ℝ) ). Пусть B - ортонормированный базис для L , и пусть φ : F → B - биекция. Тогда существует линейное преобразование Т : K → L такое , что Tf = φ ( F ) для F ∈ F , и Te = 0 для е ∈ E .
Пусть H = K ⊕ L и пусть G = {( к , Тк ): K ∈ K )} является графиком Т . Пусть Ḡ - замыкание G в H ; мы покажем г = Н . Так как для любого е ∈ E мы ( е , 0 ) ∈ G , то отсюда следует , что K ⊕ 0 ⊂ G .
Далее, если b ∈ B , то b = Tf для некоторого f ∈ F ⊂ K , поэтому ( f , b ) ∈ G ⊂ Ḡ ; поскольку также ( f , 0) ∈ Ḡ , то также имеем ( 0 , b ) ∈ Ḡ . Отсюда следует , что 0 ⊕ L ⊂ G , так что G = H , и G плотно в H .
Наконец, {( e , 0): e ∈ E } - максимальное ортонормированное множество в G ; если
для всех е ∈ Е , то , конечно , K = 0 , так что ( к , Тк ) = (0, 0) является нулевой вектор в G . Следовательно, размерность G равна | E | = ℵ 0 , тогда как ясно, что размерность H равна c . Это завершает доказательство.
Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:
Теорема. Пусть V сепарабельное пространство скалярного произведения и { е к } K ортогонального базиса V . Тогда карта
является изометрическим линейным отображением V → l 2 с плотным образом.
Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье , в котором произвольный ортонормированный базис играет роль последовательности тригонометрических полиномов . Обратите внимание, что базовым набором индексов может быть любой счетный набор (и фактически любой набор, при условии, что l 2 определено соответствующим образом, как объясняется в статье Гильбертово пространство ). В частности, мы получаем следующий результат в теории рядов Фурье:
Теорема. Пусть V - пространство скалярного произведения C [−π, π] . Тогда последовательность (индексированная на множестве всех целых чисел) непрерывных функций
ортонормированный базис пространства С [-я, π] с L 2 внутреннего продукта. Отображение
является изометрической линейной картой с плотным изображением.
Ортогональность последовательности { e k } k немедленно следует из того, что если k ≠ j , то
Нормальность последовательности задана намеренно, то есть коэффициенты выбираются таким образом, чтобы норма равнялась 1. Наконец, тот факт, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку в норме внутреннего произведения , следует из того факта, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку, на этот раз в пространстве непрерывных периодических функций на [−π, π] с равномерной нормой. В этом состоит содержание теоремы Вейерштрасса о равномерной плотности тригонометрических полиномов.
Операторы внутренних пространств продукта
Актуальны несколько типов линейных отображений A из внутреннего пространства продукта V во внутреннее пространство продукта W :
- Непрерывные линейные отображения , т. Е. A линейно и непрерывно относительно метрики, определенной выше, или, что то же самое, A является линейным и множеством неотрицательных вещественных чисел {|| Ax ||} , где x пробегает замкнутый единичный шар V , ограничен.
- Симметричные линейные операторы, то есть, является линейным и ⟨ Ах , у ⟩ = ⟨ х , Ay ⟩ для всех х , у в V .
- Изометрии, т.е. является линейным и ⟨ Ах , Ау ⟩ = ⟨ х , у ⟩ для всех х , у в V , или , что эквивалентно, является линейным и || Топор || = || х || для всех х в V . Все изометрии инъективны . Изометрии - это морфизмы между пространствами внутреннего продукта, а морфизмы реальных пространств внутреннего продукта - это ортогональные преобразования (сравните с ортогональной матрицей ).
- Изометрические изоморфизмы, т. Е. A - изометрия, которая сюръективна (и, следовательно, биективна ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (сравните с унитарной матрицей ).
С точки зрения теории пространств внутреннего продукта, нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема дает канонический вид симметричных, унитарных и в более общем плане нормальных операторов на конечномерных пространствах внутренних продуктов. Обобщение спектральной теоремы справедливо для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах.
Обобщения
Любая из аксиом внутреннего продукта может быть ослаблена, что приведет к обобщению понятий. Обобщения, наиболее близкие к внутренним произведениям, возникают там, где сохраняются билинейность и сопряженная симметрия, но ослабляется положительная определенность.
Вырожденные внутренние продукты
Если V - векторное пространство, а ⟨·, · - полуопределенная полуторалинейная форма, то функция:
имеет смысл и удовлетворяет всем свойствам нормы, за исключением того, что || х || = 0 не влечет x = 0 (такой функционал тогда называется полунормой ). Мы можем создать внутреннее пространство продукта, рассматривая частное W = V / { x : || х || = 0 }. Полуторалинейная форма ⟨·, ·⟩ факторы через W .
Эта конструкция используется во многих контекстах. Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала - особенно важный пример использования этой техники. Другой пример - представление полуопределенных ядер на произвольных множествах.
Невырожденные сопряженные симметричные формы
В качестве альтернативы, один может потребовать, чтобы спаривание быть невырожденная форма , а это означает , что для всех ненулевых х существует некоторое у таких , что ⟨ х , у ⟩ ≠ 0 , хотя у не равно нужно х ; другими словами, индуцированное отображение в сопряженное пространство V → V ∗ инъективно. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют внутреннее произведение, является римановым многообразием , в то время как, если это связано с невырожденной сопряженной симметрической формой, многообразие является псевдоримановым многообразием . По закону инерции Сильвестра , точно так же, как каждый внутренний продукт подобен скалярному произведению с положительными весами на множестве векторов, каждая невырожденная сопряженная симметричная форма подобна скалярному произведению с ненулевыми весами на множестве векторов, а количество положительный и отрицательный веса называются соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределенного внутреннего продукта, хотя, технически говоря, это не внутренний продукт в соответствии со стандартным определением, приведенным выше. Пространство Минковского имеет четыре размеры и индексы 3 и 1 (присвоение «+» и «-» на них различается в зависимости от соглашений ).
Чисто алгебраические утверждения (те, которые не используют положительность) обычно полагаются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм V → V ∗ ) и, таким образом, верны в более общем случае.
Сопутствующие товары
Термин «внутренний продукт» противопоставляется внешнему продукту , что является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутренний продукт является произведением ковектора 1 × n с вектором n × 1 , что дает матрицу 1 × 1 (скаляр), в то время как внешнее произведение является произведением вектора m × 1 с Ковектор 1 × n , что дает матрицу размера m × n . Обратите внимание, что внешний продукт определяется для разных размеров, а внутренний продукт требует того же размера. Если размеры совпадают, то внутренний продукт является следом внешнего продукта (след правильно определяется только для квадратных матриц). В неформальном резюме: «внутреннее становится горизонтальным, умноженным на вертикальное, и сжимается вниз, внешнее - вертикально, умножается на горизонтальное и расширяется».
Более абстрактно, внешнее произведение - это билинейное отображение W × V ∗ → Hom ( V , W ), переводящее вектор и ковектор в линейное преобразование ранга 1 ( простой тензор типа (1, 1)), а внутреннее произведение - это билинейное оценочное отображение V ∗ × V → F, заданное вычислением ковектора на векторе; порядок векторных пространств доменов здесь отражает различие ковекторов / векторов.
Внутренний продукт и внешний продукт не следует путать с внутренним продуктом и внешним продуктом , которые вместо этого являются операциями над векторными полями и дифференциальными формами или, в более общем смысле, с внешней алгеброй .
В качестве дополнительного усложнения в геометрической алгебре внутреннее произведение и внешнее (грассмановское) произведение объединяются в геометрическое произведение (произведение Клиффорда в алгебре Клиффорда ) - внутреннее произведение отправляет два вектора (1-вектора) в скаляр ( 0-вектор), в то время как внешний продукт отправляет два вектора в бивектор (2-вектор) - и в этом контексте внешний продукт обычно называется внешним продуктом (альтернативно, продуктом клина ). Внутреннее произведение в этом контексте более правильно называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно определенной (не обязательно должна быть внутренним произведением).
Смотрите также
- Билинейная форма
- Биортогональная система
- Двойное пространство
- Энергетическое пространство
- L-полувнутренний продукт
Заметки
- ^ Комбинируя линейное свойство первого аргумента со свойством сопряженной симметрии, вы получаете сопряженно-линейное свойство второго аргумента :Так изначально был определен внутренний продукт, и он до сих пор используется в некоторых математических сообществах старой школы. Однако вся инженерия и информатика, а также большая часть физики и современной математики теперь определяют внутренний продукт как линейный по второму аргументу и сопряженно-линейный по первому аргументу, потому что это более совместимо с некоторыми другими соглашениями в математике. Следует отметить, что для любого внутреннего продукта, есть некоторая эрмитова , положительно определенная матрица такой, что (Здесь, является сопряженной транспозицией из)
- ^ Это означает, что а также для всех векторов x , y и z и всех скаляров a .
- ^ Черта над выражением означает комплексное сопряжение; например, является комплексным сопряжением Для реальных значений а сопряженная симметрия - это просто симметрия.
- ^ Напомним, что для любого комплексного числа c , c является действительным числом тогда и только тогда, когда c = c . Использование y = x в условии (2) дает откуда следует, что это действительное число.
- ^ Это связано с тем, что из условия (1) и положительной определенности следует, чтовсегда действительное число. И, как упоминалось ранее, полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когдареально для всех x .
Рекомендации
- ^ Б с д е е г ч я J K Trèves 2006 , стр. 112-125.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 40-45.
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 25 августа 2020 .
- ^ а б в г Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 августа 2020 .
- ^ Мур, Грегори Х. (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940». Historia Mathematica . 22 (3): 262–303. DOI : 10.1006 / hmat.1995.1025 .
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 36-72.
- ^ Джайн, ПК; Ахмад, Халил (1995). «5.1 Определения и основные свойства пространств внутреннего продукта и гильбертовых пространств» . Функциональный анализ (2-е изд.). Нью Эйдж Интернэшнл. п. 203. ISBN. 81-224-0801-X.
- ^ Пруговецки, Эдуард (1981). «Определение 2.1» . Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Академическая пресса. стр. 18 и далее. ISBN 0-12-566060-X.
- ^ "Внутреннее пространство продукта | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 25 августа 2020 .
- ^ Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-23900-0.
- ^ Финкбайнер, Дэниел Т. (2013), Введение в матрицы и линейные преобразования , Dover Books on Mathematics (3-е изд.), Courier Dover Publications, стр. 242, ISBN 9780486279664.
- ^ Ouwehand, Питер (ноябрь 2010 г.). «Пространства случайных величин» (PDF) . ЦЕЛИ . Проверено 5 сентября 2017 .
- ^ Зигрист, Кайл (1997). «Векторные пространства случайных величин» . Случайность: вероятность, математическая статистика, случайные процессы . Проверено 5 сентября 2017 .
- ^ Бигони, Даниэле (2015). «Приложение B: Теория вероятностей и функциональные пространства» (PDF) . Количественная оценка неопределенности с приложениями к инженерным задачам (PhD). Технический университет Дании . Проверено 5 сентября 2017 .
- ^ Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордовая метрика» . Математический журнал . 40 (5): 233–235. DOI : 10.2307 / 2688275 . JSTOR 2688275 .
Источники
- Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
- Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-23900-0.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Молодой, Николай (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-33717-5.