интеграл

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела
v т е

В математике , А.Н. интегральных присваивают номера функции таким образом , что описывает смещение, площадь, объем и другие концепции , которые возникают путем объединения бесконечно малые данных. Процесс нахождения интегралов называется интегрированием . Наряду с дифференцированием , интегрирование является фундаментальной операцией исчисления ^[a] и служит инструментом для решения задач в математике и физике, включающих, среди прочего, площадь произвольной формы, длину кривой и объем твердого тела. .

Перечисленные здесь интегралы называются определенными интегралами , которые формально можно интерпретировать как знаковую область области на плоскости, которая ограничена графиком данной функции между двумя точками на вещественной прямой . Интегралы могут также относиться к концепции первообразной , функции, производная которой является данной функцией. В этом случае они называются неопределенными интегралами . Основная теорема исчисления относится определенные интегралы с дифференциацией и обеспечивает метод вычисления определенного интеграла от функции , когда ее первообразный известно.

Хотя методы вычисления площадей и объемов восходят к древнегреческой математике , принципы интеграции были независимо сформулированы Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 17 века, которые считали площадь под кривой бесконечной суммой прямоугольников бесконечно малой ширины. . Позже Бернхард Риман дал строгое определение интегралов, основанное на предельной процедуре, которая аппроксимирует площадь криволинейной области путем разбиения области на тонкие вертикальные пластины.

Интегралы могут быть обобщены в зависимости от типа функции, а также от области, в которой выполняется интегрирование. Например, линейный интеграл определяется для функций двух или более переменных, а интервал интегрирования заменяется кривой, соединяющей две конечные точки интервала. В интеграле по поверхности кривая заменяется участком поверхности в трехмерном пространстве .

История [ править ]

Интеграция до исчисления [ править ]

Первое документальное Систематический метод способен определить интегралов является метод исчерпывания в древнегреческой астроном Евдокс ( ок 370 г. до н.э.), который стремился найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число делений , для которых площадь или объем был известен. ^[1] Этот метод был разработан и далее использоваться по Архимеду в 3 - м века до н.э. и использовал для вычисления площади круга , то площадь поверхности и объема в виде сферы , области с эллипсом , площади под параболой, объем сегмента параболоида вращения, объем сегмента гиперболоида вращения и площадь спирали . ^[2]

Подобный метод был независимо разработан в Китае примерно в 3 веке нашей эры Лю Хуэем , который использовал его для определения площади круга. Позже этот метод был использован в V веке китайскими математиками, отцом и сыном, Цзу Чунчжи и Цзу Гэн, чтобы найти объем сферы. ^[3]

На Ближнем Востоке Хасан Ибн аль-Хайтам, латинизированный как Альхазен ( ок.  965  - ок.  1040 г.  н.э.), вывел формулу для суммы четвертых степеней . ^[4] Он использовал результаты, чтобы выполнить то, что теперь назвали бы интегрированием этой функции, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[5]

Следующие значительные достижения в области интегрального исчисления появились только в 17 веке. В это время работа Кавальери с его методом неделимых и работа Ферма начали закладывать основы современного исчисления ^[6], при этом Кавальери вычислял интегралы от x ⁿ до степени n = 9 в квадратурной формуле Кавальери . ^[7] Дальнейшие шаги были предприняты в начале 17 века Барроу и Торричелли , которые дали первые намеки на связь между интеграцией и дифференциацией.. Барроу предоставил первое доказательство основной теоремы исчисления . ^[8] Уоллис обобщил метод Кавальери, вычисляя интегралы от x до общей степени, включая отрицательные степени и дробные степени. ^[9]

Лейбниц и Ньютон [ править ]

Основной прогресс в интеграции пришел в 17 - м веке с независимым открытием фундаментальной теоремы исчисления по Лейбницу и Ньютону . ^[10] Теорема демонстрирует связь между интегрированием и дифференцированием. Эта связь в сочетании со сравнительной простотой дифференцирования может использоваться для вычисления интегралов. В частности, основная теорема исчисления позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Не менее важна исчерпывающая математическая основа, разработанная Лейбницем и Ньютоном. Получив название исчисление бесконечно малых, оно позволило проводить точный анализ функций в непрерывных областях. Эта структура в конечном итоге превратилась в современное исчисление., обозначения интегралов которого взяты непосредственно из работ Лейбница.

Формализация [ править ]

В то время как Ньютон и Лейбниц предлагали систематический подход к интеграции, их работе не хватало степени строгости . Епископ Беркли незабываемо напал на исчезающие приращения, используемые Ньютоном, назвав их « призраками умерших величин ». ^[11] Исчисление приобрело более прочную основу с развитием пределов . Впервые интеграция была строго формализована с использованием пределов Риманом . ^[12] Хотя все ограниченные кусочно-непрерывные функции интегрируемы по Риману на ограниченном интервале, впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье, к которым определение Римана не применимо, иЛебег сформулировал другое определение интеграла , основанное на теории меры (подполе реального анализа ). Были предложены другие определения интеграла, расширяющие подходы Римана и Лебега. Эти подходы, основанные на системе действительных чисел, являются наиболее распространенными сегодня, но существуют альтернативные подходы, такие как определение интеграла как стандартной части бесконечной суммы Римана, основанной на системе гиперреалистических чисел .

Историческая запись [ править ]

Обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбниц в 1675. ^[13] Он приспособил интегральный символ , ∫ , с буквой s ( длинный ев ), стоя на Summa (написано как Summa ; латыни «сумма» или " общий"). Современные обозначения для определенного интеграла с пределами выше и ниже знака интеграла были впервые использованы Жозефом Фурье в воспоминаниях Французской академии около 1819–1820 годов, перепечатанных в его книге 1822 года ^[14].

Исаак Ньютон использовал небольшую вертикальную черту над переменной для обозначения интегрирования или поместил переменную в рамку. Вертикальную полосу легко спутать с.Иксили x ' , которые используются для обозначения различий, и печатникам было трудно воспроизвести обозначение в виде прямоугольника, поэтому эти обозначения не получили широкого распространения. ^[15]

Первое использование термина [ править ]

Этот термин был впервые напечатан на латыни Якобом Бернулли в 1690 году: «Ergo et horum Integralia aequantur». ^[16]

Терминология и обозначения [ править ]

В общем случае интеграл от действительной функции f ( x ) относительно действительной переменной x на интервале [ a , b ] записывается как

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Знак интеграла ∫ обозначает интегрирование. (В современных арабских математических обозначениях используется символ отраженного интеграла . ^[17] ) Символ dx , называемый дифференциалом переменной x , указывает, что переменной интегрирования является x . Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением, точки a и b называются пределами интегрирования, а интеграл считается лежащим на интервале [ a , b ] , называемом интервалом интегрирования. ^[18] Функция называется интегрируемой, если интеграл от нее по области определения конечен, а при указании пределов интеграл называется определенным интегралом.

Когда пределы опущены, как в

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

интеграл называется неопределенным интегралом, который представляет собой класс функций ( первообразную ), производная которых является подынтегральным выражением. ^[19] Основная теорема исчисления связывает оценку определенных интегралов к неопределенным интегралам. Существует несколько расширений обозначения интегралов для включения интегрирования в неограниченных областях и / или в нескольких измерениях (см. Последующие разделы этой статьи).

В расширенных настройках нередко пропускают dx, когда используется только простой интеграл Римана или точный тип интеграла не имеет значения. Например, можно написать, чтобы выразить линейность интеграла, свойство, разделяемое интегралом Римана и всеми его обобщениями. ^[20]${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

Интерпретации [ править ]

Интегралы появляются во многих практических ситуациях. Например, по длине, ширине и глубине бассейна, который имеет прямоугольную форму с плоским дном, можно определить объем воды, который он может содержать, площадь его поверхности и длину его края. Но если он овальной формы с закругленным дном, для нахождения точных и строгих значений этих величин требуются интегралы. В каждом случае можно разделить искомую величину на бесконечное количество бесконечно малых частей, а затем суммировать части для достижения точного приближения.

Например, чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции f ( x ) = √ x между x = 0 и x = 1 , можно пересечь интервал за пять шагов ( 0, 1/5, 2 / 5, ..., 1 ), затем заполните прямоугольник, используя высоту правого конца каждой части (таким образом, √ 0 , √ 1/5 , √ 2/5 , ..., √ 1 ) и просуммируйте их площади, чтобы получить приближение

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

что больше точного значения. В качестве альтернативы, при замене этих подынтервалов на подинтервалы с высотой левого края каждого фрагмента приближение получается слишком низким: с двенадцатью такими подынтервалами приблизительная площадь составляет всего 0,6203. Однако, когда количество частей увеличивается до бесконечности, оно достигает предела, который является точным значением искомой площади (в данном случае 2/3 ). Один пишет

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

что означает, что 2/3 является результатом взвешенной суммы значений функции √ x , умноженной на бесконечно малую ширину шага, обозначенную dx , на интервале [0, 1] .

Формальные определения [ править ]

Есть много способов формального определения интеграла, не все из которых эквивалентны. Различия существуют в основном для различных частных случаев, которые могут быть несовместимы с другими определениями, но также иногда и по педагогическим причинам. Наиболее часто используемые определения - это интегралы Римана и интегралы Лебега.

Интеграл Римана [ править ]

Интеграл Римана определяется в терминах сумм функций Римана относительно помеченных разбиений интервала. ^[21] Помеченный раздел отрезка [ a , b ] на вещественной прямой - это конечная последовательность

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Это разбивает интервал [ a , b ] на n подинтервалов [ x _{i −1} , x _i ], индексированных i , каждый из которых «помечен» выделенной точкой t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ] . Римана сумма некоторой функции F по отношению к такому меченого раздела определяется как

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, равной ширине подинтервала, Δ _i = x _i - x _{i −1} . Сетка такого помечено перегородка ширина по величине суб-интервал , образованный перегородкой, макс _{I = 1 ... п} А _я . Интеграл Римана от функции F на интервале [ , Ь ] равна S , если: ^[22]

Для всех \ Delta_i> 0 существует \ Delta_i> 0 такое, что для любого помеченного раздела [ a , b ] с сеткой меньше \ Delta_i ,

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана становится верхней (соответственно нижней) суммой Дарбу , предполагая тесную связь между интегралом Римана и интегралом Дарбу .

Интеграл Лебега [ править ]

Возможность предельного перехода под интегралом часто представляет интерес как в теории, так и в приложениях. Например, часто можно построить последовательность функций, которая в подходящем смысле приближает решение проблемы. Тогда интеграл от функции решения должен быть пределом интегралов приближений. Однако многие функции, которые могут быть получены как пределы, не интегрируемы по Риману, и поэтому такие предельные теоремы не верны с интегралом Римана. Следовательно, очень важно иметь определение интеграла, которое позволяет интегрировать более широкий класс функций. ^[23]

Таким интегралом является интеграл Лебега, который использует следующий факт для расширения класса интегрируемых функций: если значения функции переставляются по области, интеграл функции должен оставаться прежним. Таким образом , Анри Лебега ввел интеграл , носящий его имя, объясняя этот интеграл , таким образом , в письме к Павлу Монтелю : ^[24]

Мне нужно заплатить определенную сумму, которую я собрал в кармане. Я вынимаю из кармана банкноты и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не наберу общую сумму. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того, как я вынул все деньги из своего кармана, я заказываю банкноты и монеты по идентичной стоимости, а затем я плачу несколько куч один за другим кредитору. Это мой интеграл.

Как говорит Фолланд: «Чтобы вычислить интеграл Римана от f , нужно разбить область [ a , b ] на подинтервалы», в то время как в интеграле Лебега «фактически разбить диапазон f ». ^[25] Таким образом, определение интеграла Лебега начинается с меры µ. В простейшем случае мерой Лебега μ ( A ) отрезка A = [ a , b ] является его ширина, b - a, так что интеграл Лебега согласуется с (собственным) интегралом Римана, когда оба существуют. ^[26] В более сложных случаях измеряемые наборы могут быть сильно фрагментированы, без непрерывности и сходства с интервалами.

Используя философию «разделения диапазона f », интеграл неотрицательной функции f  : R → R должен быть суммой по t площадей между тонкой горизонтальной полосой между y = t и y = t + dt . Эта область равна μ { x  : f ( x )> t }  dt . Пусть f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x)> t }. Тогда интеграл Лебега функции f определяется как

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

где интеграл справа является обычным несобственным интегралом Римана ( f ^∗ - строго убывающая положительная функция и, следовательно, имеет корректно определенный несобственный интеграл Римана). ^[27] Для подходящего класса функций ( измеримых функций ) это определяет интеграл Лебега.

Общая измеримая функция f является интегрируемой по Лебегу, если сумма абсолютных значений площадей областей между графиком f и осью x конечна: ^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

В этом случае интеграл, как и в римановом случае, представляет собой разность между площадью над осью x и площадью под осью x : ^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

куда

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

Другие интегралы [ править ]

Хотя интегралы Римана и Лебега являются наиболее широко используемыми определениями интеграла, существует ряд других, в том числе:

• Интеграл Дарбу , который определяется Дарбу суммами (ограниченный сумм Римана) но эквивалентно интеграла Римана - это функция Дарбу-интегрируема тогда и только тогда , когда она интегрируема по Риману. Интегралы Дарбу имеют то преимущество, что их легче определить, чем интегралы Римана.
• Интеграл Римана-Стилтьеса , расширение интеграла Римана , который интегрируется по отношению к функции , в отличие от переменной.
• Интеграл Лебега-Стилтьеса , дальнейшее развитие Иоганна Радона , обобщающего как интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега.
• Интеграл Даниеля , который вбирает интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса без зависимости от мер .
• Интеграл Хаара , используется для интегрирования на локально компактных топологических группах, введенный Альфред Хаара в 1933 году.
• Интеграл Хенстка-Курцвейл , по- разному определяется Данжуа , Oskar Перрон , и (наиболее элегантно, как интеграл калибровочного) Ярослав Курцвейл и разработанный Ralph Хенсток .
• Интегралом Ито и интеграл Стратоновича , которые определяют интеграцию относительно семимартингалам , таких как броуновское движение .
• Молодой интеграл , который является своим родом интеграла Римана-Стилтьеса относительно некоторых функций неограниченной вариации .
• Грубый путь интеграл, который определен для функций , оборудованных с некоторой дополнительной «грубым путем» структурой и обобщает стохастическую интеграцию как против семимартингалов и процессов , таких как дробное броуновского движение .
• Интеграл Шока , субаддитивный или сверхаддитивен интеграл , созданный французским математик Густав Шок в 1953 году.

Свойства [ править ]

Линейность [ править ]

Набор функций, интегрируемых по Риману на отрезке [ a , b ], образует векторное пространство относительно операций поточечного сложения и умножения на скаляр, а также операции интегрирования

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

является линейным функционалом на этом векторном пространстве. Таким образом, набор интегрируемых функций замкнут относительно взятия линейных комбинаций , а интеграл линейной комбинации является линейной комбинацией интегралов: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

Аналогично, множество вещественнозначных функций, интегрируемых по Лебегу на данном пространстве с мерой E с мерой μ , замкнуто относительно взятия линейных комбинаций и, следовательно, образуют векторное пространство, а интеграл Лебега

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

является линейным функционалом на этом векторном пространстве, так что: ^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

В более общем смысле , рассмотрим векторное пространство всех измеримых функций на пространстве с мерой ( E , μ ) , принимающие значения в локально компактном полном топологическом векторном пространстве V над локально компактным топологическим полем К , ф  : E → V . Затем можно определить абстрактную карту интегрирования, присвоив каждой функции f элемент V или символ ∞ ,

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

что совместимо с линейными комбинациями. ^[31] В этой ситуации линейность сохраняется для подпространства функций, интеграл которых является элементом V (т.е. «конечным»). Наиболее важные частные случаи возникают , когда К является Р , С , или конечное расширение поля Q _р о р-адических чисел , и V представляет собой конечно-мерное векторное пространство над K , и когда К = С , и V представляет собой комплекс Гильбертово пространство .

Линейность, вместе с некоторыми естественными свойствами непрерывности и нормализацией для определенного класса «простых» функций, может использоваться, чтобы дать альтернативное определение интеграла. Это подход Даниэля для случая вещественнозначных функций на множестве X , обобщенный Николя Бурбаки на функции со значениями в локально компактном топологическом векторном пространстве. См. Аксиоматическую характеристику интеграла у Hildebrandt 1953 .

Неравенства [ править ]

Для интегрируемых по Риману функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале [ a , b ], выполняется ряд общих неравенств, которые могут быть обобщены на другие понятия интеграла (Лебег и Даниэль).

• Верхняя и нижняя границы. Интегрируемая функция f на [ a , b ] обязательно ограничена на этом интервале. Таким образом, существуют действительные числа m и M, так что m ≤ f  ( x ) ≤ M для всех x в [ a , b ] . Поскольку нижняя и верхняя суммы f по [ a , b ] ограничены, соответственно, m ( b -a ) и M ( b - a ) следует, что

${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$

• Неравенства между функциями. ^[32] Если f ( x ) ≤ g ( x ) для каждого x в [ a , b ], то каждая из верхней и нижней суммы f ограничена сверху верхней и нижней суммами, соответственно, g . Таким образом

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Это обобщение приведенных выше неравенств, поскольку M ( b - a ) является интегралом постоянной функции со значением M по [ a , b ] .

Кроме того, если неравенство между функциями строгое, то и неравенство между интегралами также строгое. То есть, если f ( x ) < g ( x ) для каждого x в [ a , b ] , то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

• Подынтервалы. Если [ c , d ] является подинтервалом [ a , b ] и f ( x ) неотрицательно для всех x , то

${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• Произведения и абсолютные значения функций. Если f и g - две функции, то мы можем рассматривать их поточечные произведения и мощности, а также абсолютные значения :

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.\,}$

Если f интегрируема по Риману на [ a , b ], то то же самое верно и для | f | , и

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$

Более того, если f и g интегрируемы по Риману, то fg также интегрируем по Риману и

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$

Это неравенство, известное как неравенство Коши – Шварца , играет важную роль в теории гильбертовых пространств , где левая часть интерпретируется как скалярное произведение двух интегрируемых с квадратом функций f и g на интервале [ a , b ] .

• Неравенство Гёльдера . ^[33] Предположим, что p и q - два действительных числа, 1 ≤ p , q ≤ ∞ с1/п + 1/q= 1 , а f и g - две интегрируемые по Риману функции. Тогда функции | f | ^р и | г | ^q также интегрируемы и выполняется неравенство Гёльдера :

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$

При p = q = 2 неравенство Гёльдера переходит в неравенство Коши – Шварца.

• Неравенство Минковского . ^[33] Предположим, что p ≥ 1 - действительное число, а f и g - функции, интегрируемые по Риману. Тогда | f | ^р , | г | ^р и | f + g | ^p также интегрируемы по Риману и выполняется неравенство Минковского :

${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$

Аналог этого неравенства для интеграла Лебега используется при построении L p пространств .

Соглашения [ править ]

В этом разделе f - вещественнозначная функция, интегрируемая по Риману . Интегральный

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

на интервале [ a , b ] определяется, если a < b . Это означает, что верхняя и нижняя суммы функции f вычисляются на разбиении a = x ₀ ≤ x ₁ ≤. . . ≤ x _n = b , значения x _{i которого} увеличиваются. Геометрически это означает, что интегрирование происходит «слева направо», вычисляя f в пределах интервалов [ x _i  , x _{i  +1} ].где интервал с более высоким индексом лежит справа от интервала с более низким индексом. Значения а и б , конечные точки интервала , называются пределы интегрирования по е . Интегралы также могут быть определены, если a > b : ^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

При a = b это означает:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

Первое соглашение необходимо при рассмотрении интегралов по подотрезкам [ a , b ] ; второй говорит, что интеграл, взятый по вырожденному интервалу или точке , должен быть равен нулю . Одной из причин для первой конвенции является то , что интегрируемость F на интервале [ , Ь ] следует , что F интегрируема на любом отрезке [ гр , д ] , но , в частности , интегралы обладают тем свойством , что если с какой - либо элемент из [ а ,b ] , затем: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

При первом соглашении результирующее соотношение

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

тогда корректно определено для любой циклической перестановки a , b и c .

Основная теорема исчисления [ править ]

Фундаментальная теорема исчисления является утверждение , что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями: если непрерывная функция является первой интегрированной и затем дифференцируются, исходная функция извлекается. ^[34] Важное следствие, иногда называемое второй фундаментальной теоремой исчисления , позволяет вычислять интегралы, используя первообразную интегрируемой функции. ^[35]

Первая теорема [ править ]

Пусть f - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на отрезке [ a , b ] . Пусть F - функция, определенная для всех x в [ a , b ] формулой

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Тогда F непрерывна на [ a , b ] , дифференцируема на открытом интервале ( a , b ) и

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

для всех x в ( a , b ) .

Вторая теорема [ править ]

Пусть f - вещественная функция, определенная на отрезке [ a , b ], которая допускает первообразную F на [ a , b ] . То есть f и F - такие функции, что для всех x в [ a , b ] ,

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

Если f интегрируема на [ a , b ], то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Расширения [ править ]

Неправильные интегралы [ править ]

«Собственный» интеграл Римана предполагает, что подынтегральная функция определена и конечна на замкнутом и ограниченном интервале, заключенном в скобки пределами интегрирования. Несобственный интеграл возникает, когда одно или несколько из этих условий не выполняются. В некоторых случаях такие интегралы могут быть определены с учетом ограничения в виде последовательности надлежащих интегралов Римана на прогрессивно больших интервалах.

Если интервал неограничен, например, на его верхнем конце, то несобственный интеграл является пределом, поскольку эта конечная точка стремится к бесконечности: ^[36]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Если подынтегральная функция определена или конечна только на полуоткрытом интервале, например ( a , b ] , то снова предел может дать конечный результат: ^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

То есть несобственный интеграл - это предел собственных интегралов, когда одна конечная точка интервала интегрирования приближается либо к заданному действительному числу , либо к ∞ , либо к −∞ . В более сложных случаях ограничения требуются на обеих конечных точках или во внутренних точках.

Множественная интеграция [ править ]

Подобно тому, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x , двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между определенной поверхностью. функцией и плоскостью, содержащей ее область определения. ^[38] Например, функция в двух измерениях зависит от двух вещественных переменных, x и y , и интеграл функции f по прямоугольнику R, заданному как декартово произведение двух интервалов, можно записать в виде${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

где дифференциал dA указывает, что интегрирование проводится по площади. Этот двойной интеграл может быть определен с использованием сумм Римана , и представляет собой (подпись) объем под графиком г = ф ( х , у ) по области R . ^[39] При подходящих условиях (например, если f непрерывно), теорема Фубини утверждает, что этот интеграл может быть выражен как эквивалентный повторный интеграл ^[40]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

Это сводит проблему вычисления двойного интеграла к вычислению одномерных интегралов. По этой причине в другом обозначении интеграла по R используется знак двойного интеграла: ^[39]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

Возможна интеграция по более общим областям. Интеграл от функции F , по отношению к объему, в течение n - мерная область D из обозначаются символами , такие как:${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

Линейные интегралы и поверхностные интегралы [ править ]

Концепция интеграла может быть расширена на более общие области интеграции, такие как изогнутые линии и поверхности внутри пространств более высокой размерности. Такие интегралы называются линейными интегралами и поверхностными интегралами соответственно. У них есть важные приложения в физике, например, при работе с векторными полями .

Интегральная линия (иногда называемый путь интеграла ) является интегралом , где функция будет интегрирована оценивается вдоль кривой . ^[41] Используются различные линейные интегралы. В случае замкнутой кривой он также называется контурным интегралом .

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциалом вектор на кривой). ^[42] Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов; например, тот факт, что работа равна силе , F, умноженное на смещение, s , может быть выражено (в терминах векторных величин) как: ^[43]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

Для объекта, движущегося по пути C в векторном поле F, таком как электрическое поле или гравитационное поле , общая работа, выполняемая полем над объектом, получается путем суммирования дифференциальной работы, выполненной при перемещении от s к s + d s . Это дает линейный интеграл ^[44]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

Поверхностный интеграл обобщает двойные интегралы для интегрирования по поверхности (которая может представлять собой изогнутое множество в пространстве ); его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла . Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение поверхностного интеграла представляет собой сумму поля во всех точках на поверхности. Это может быть достигнуто путем разбиения поверхности на элементы поверхности, которые обеспечивают разбиение для сумм Римана. ^[45]

В качестве примера применения поверхностных интегралов рассмотрим векторное поле v на поверхности S ; то есть для каждой точки x в S , v ( x ) является вектором. Представьте, что жидкость течет через S , так что v ( x ) определяет скорость жидкости в точке x . Поток определяется как количество жидкости , протекающей через S в единицу времени. Для того, чтобы найти поток, одна потребность взять скалярное произведение на V с единичной нормали к поверхности в Sв каждой точке, что даст скалярное поле, которое интегрируется по поверхности: ^[46]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

Поток текучей среды в этом примере может исходить от физической текучей среды, такой как вода или воздух, либо от электрического или магнитного потока. Таким образом , поверхностные интегралы имеют приложения в физике, в частности , с классической теорией о электромагнетизма .

Контурные интегралы [ править ]

В комплексном анализе подынтегральное выражение - это комплексная функция комплексной переменной z вместо действительной функции действительной переменной x . Когда комплексная функция интегрируется по кривой в комплексной плоскости, интеграл обозначается следующим образом${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

Это известно как контурный интеграл .

Интегралы дифференциальных форм [ править ]

Дифференциальная форма представляет собой математическое понятие в областях многовариантного исчисления , дифференциальной топологии и тензоров . Дифференциальные формы организованы по степени. Например, единичная форма - это взвешенная сумма дифференциалов координат, таких как:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

где E , F , G - трехмерные функции. Дифференциальная однократная форма может быть интегрирована по ориентированному пути, а полученный интеграл - это просто еще один способ записи линейного интеграла. Здесь основные дифференциалы dx , dy , dz измеряют бесконечно малые ориентированные длины, параллельные трем координатным осям.

Дифференциальная двойная форма - это сумма вида

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

Здесь основные две формы измеряют ориентированные области, параллельные координатным двум плоскостям. Символ обозначает произведение клина , которое похоже на произведение крестовины в том смысле, что произведение клина двух форм, представляющих ориентированные длины, представляет ориентированную область. Две формы могут быть интегрированы по ориентированной поверхности, и полученный интеграл эквивалентен поверхностному интегралу, дающему поток .${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

В отличие от векторного произведения и трехмерного векторного исчисления, произведение клина и исчисление дифференциальных форм имеет смысл в произвольной размерности и на более общих многообразиях (кривые, поверхности и их многомерные аналоги). Внешняя производная играет роль градиента и ротор векторного исчисления и Стокс теорема одновременно обобщает три теоремы векторного анализа: при регистрации теоремы о дивергенции , теоремы Грина , и Кельвин-Стоксе теорема .

Итоги [ править ]

Дискретный эквивалент интегрирования - суммирование . Суммирования и интегралы могут быть положены на те же основы, используя теорию интегралов Лебега или исчисление шкалы времени .

Приложения [ править ]

Интегралы широко используются во многих областях. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон. ^[47] Кроме того, интеграл от всей функции плотности вероятности должен быть равен 1, что обеспечивает проверку того, может ли функция без отрицательных значений быть функцией плотности или нет. ^[48]

Интегралы могут использоваться для вычисления площади двумерной области с изогнутой границей, а также для вычисления объема трехмерного объекта с изогнутой границей. Площадь двумерной области может быть вычислена с помощью указанного выше определенного интеграла. ^[49] Объем трехмерного объекта, такого как диск или шайба, может быть вычислен путем интегрирования диска с использованием уравнения для объема цилиндра , где - радиус. В случае простого диска, созданного вращением кривой вокруг оси x , радиус определяется как f ( x ) , а его высота - это дифференциал dx${\displaystyle \pi r^{2}h}$${\displaystyle r}$. Используя интеграл с оценками a и b , объем диска равен: ^[50]

Интегралы также используются в физике в таких областях, как кинематика, для нахождения таких величин, как смещение , время и скорость . Например, при прямолинейном движении смещение объекта за временной интервал определяется выражением:${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

где - скорость, выраженная как функция времени. ^[51] Работа, выполняемая силой (заданной как функция положения) от исходного положения до конечного положения : ^[52]${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

Интегралы также используются в термодинамике , где термодинамическое интегрирование используется для вычисления разницы в свободной энергии между двумя данными состояниями.

Вычисление [ править ]

Аналитический [ править ]

Самый простой метод вычисления определенных интегралов от одной действительной переменной основан на фундаментальной теореме исчисления . Пусть f ( x ) - функция от x, которую нужно проинтегрировать на заданном интервале [ a , b ] . Затем найдите первообразную f ; то есть функция F такая, что F ′ = f на интервале. При условии, что подынтегральное выражение и интеграл не имеют особенностей на пути интегрирования, согласно основной теореме исчисления,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Иногда необходимо использовать один из многих методов, разработанных для вычисления интегралов. Большинство этих методов переписывают один интеграл как другой, что, надеюсь, более поддается обработке. Методы включают интегрирование путем подстановки , интегрирование по частям , интегрирование с помощью тригонометрической замены и интегрирование по частичным дробям .

Существуют альтернативные методы вычисления более сложных интегралов. Многие неэлементарные интегралы могут быть разложены в ряд Тейлора и интегрированы почленно. Иногда полученные бесконечные ряды можно суммировать аналитически. Также можно использовать метод свертки с использованием G-функций Мейера , предполагая, что подынтегральное выражение может быть записано как произведение G-функций Мейера. Есть также много менее распространенных способов вычисления определенных интегралов; например, идентичность Парсеваля может использоваться для преобразования интеграла по прямоугольной области в бесконечную сумму. Иногда интеграл можно вычислить с помощью уловки; в качестве примера см. Гауссовский интеграл .

Вычисления объемов тел вращения обычно могут быть выполнены с интеграцией диска или интеграции оболочки .

Конкретные результаты, полученные различными методами, собраны в списке интегралов .

Символический [ править ]

Многие задачи в математике, физике и технике связаны с интегрированием, когда требуется явная формула для интеграла. С этой целью за прошедшие годы были составлены и опубликованы обширные таблицы интегралов . С распространением компьютеров многие профессионалы, преподаватели и студенты обратились к системам компьютерной алгебры , специально разработанным для выполнения сложных или утомительных задач, включая интеграцию. Символическая интеграция была одной из мотиваций для разработки первых таких систем, как Macsyma и Maple .

Основная математическая трудность при символьном интегрировании состоит в том, что во многих случаях относительно простые функции не имеют интегралов, которые могут быть выражены в замкнутой форме, включая только элементарные функции , включают рациональные и экспоненциальные функции, логарифм , тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции , а также операции умножения и композиции. Алгоритм Ришапредоставляет общий критерий для определения, является ли первообразная элементарной функции элементарной, и для ее вычисления, если это так. Однако функции с замкнутыми выражениями первообразных являются исключением, и, следовательно, компьютеризированные системы алгебры не имеют никакой надежды найти первообразную для случайно построенной элементарной функции. С положительной стороны, если «строительные блоки» для первообразных фиксированы заранее, все еще может быть возможно решить, может ли первообразное данной функции быть выражено с помощью этих блоков и операций умножения и композиции, а также найти символическое ответьте, когда он существует. Алгоритм Риша, реализованный в Mathematica , Maple и других системах компьютерной алгебры., делает то же самое для функций и первообразных, построенных из рациональных функций, радикалов , логарифмов и экспоненциальных функций.

Некоторые специальные интегранты встречаются достаточно часто, чтобы требовать специального изучения. В частности, может быть полезно иметь в наборе первообразных специальные функции (такие как функции Лежандра , гипергеометрическая функция , гамма-функция , неполная гамма-функция и т. Д.). Расширение алгоритма Риша для включения таких функций возможно, но является сложной задачей и является предметом активных исследований.

Совсем недавно появился новый подход, использующий D -конечные функции , которые являются решениями линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Большинство элементарных и специальных функций являются D- конечными, и интеграл от D- конечной функции также является D- конечной функцией. Это обеспечивает алгоритм для выражения первообразной D- конечной функции как решения дифференциального уравнения. Эта теория также позволяет вычислить определенный интеграл от D- функции как сумму ряда, заданного первыми коэффициентами, и предоставляет алгоритм для вычисления любого коэффициента.

Числовой [ править ]

Определенные интегралы можно аппроксимировать с помощью нескольких методов численного интегрирования . Метод прямоугольников основан на разделении области под функцией на серию прямоугольников, соответствующих значениям функции, и умножению на ширину шага для нахождения суммы. Более лучший подход, правило трапеций , заменяет прямоугольники, используемые в сумме Римана, трапециями. Правило трапеции взвешивает первое и последнее значения на половину, а затем умножает на ширину шага, чтобы получить лучшее приближение. ^[53] Идея трапециевидного правила, что более точные приближения функции текучести лучше приближения к интегралу, может быть осуществлены дополнительно: правило Симпсонааппроксимирует подынтегральное выражение кусочно-квадратичной функцией. ^[54]

Суммы Римана, правило трапеций и правило Симпсона являются примерами семейства квадратурных правил, называемых формулами Ньютона – Котеса . Квадратурное правило Ньютона – Котеса степени n приближает многочлен на каждом подынтервале полиномом степени n . Этот многочлен выбран для интерполяции значений функции на интервале. ^[55] Аппроксимации Ньютона – Котеса более высокой степени могут быть более точными, но они требуют большего количества вычислений функций и могут страдать от числовой неточности из-за феномена Рунге . Одним из решений этой проблемы является квадратура Кленшоу – Кертиса , в которой подынтегральное выражение аппроксимируется путем разложения его по полиномам Чебышева..

Метод Ромберга постепенно уменьшает ширину шага вдвое, давая аппроксимацию трапеции, обозначаемую T ( h ₀ ) , T ( h ₁ ) и т. Д., Где h _{k +1} составляет половину h _k . Для каждого нового размера шага необходимо вычислить только половину новых значений функции; остальные перенесены из предыдущего размера. Затем он интерполирует полином с помощью приближений и экстраполирует на T (0) . Квадратура Гаусса вычисляет функцию в корнях набора ортогональных многочленов . ^[56]П - точечное гауссово метод является точным для многочленов степени вплоть до 2 л - 1 .

Вычисление многомерных интегралов (например, объемные вычисления) делает важное использование таких альтернатив, как интегрирование Монте-Карло . ^[57]

Механический [ править ]

Площадь произвольной двумерной формы может быть определена с помощью измерительного прибора, называемого планиметром . Объем объектов неправильной формы можно точно измерить по жидкости, вытесняемой при погружении объекта.

Геометрический [ править ]

Площадь иногда можно определить с помощью геометрических построений с помощью циркуля и линейки эквивалентного квадрата .

См. Также [ править ]

• Интегральное уравнение
• Интегральный символ

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Исчисление.

• "Интеграл" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-калькулятор интегралов , Wolfram Alpha .

Интернет-книги [ править ]

• Кейслер, Х. Джером, Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые , Университет Висконсина
• Строян К.Д., Краткое введение в исчисление бесконечно малых , Университет Айовы.
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book , CIT, онлайн-учебник, который включает в себя полное введение в исчисление.
• Crowell, Benjamin, Calculus , Fullerton College, онлайн-учебник
• Гаррет, Пол, Заметки по расчету за первый год обучения
• Хуссейн, Фараз, Понимание исчисления , онлайн-учебник
• Джонсон, Уильям Вулси (1909) « Элементарный трактат по интегральному исчислению» , ссылка на HathiTrust .
• Ковальк, В.П., Теория интеграции , Ольденбургский университет. Новая концепция к старой проблеме. Интернет-учебник
• Слаутер, Дэн, Разностные уравнения для дифференциальных уравнений , введение в исчисление
• Численные методы интегрирования в Институте целостных численных методов
• PS Ван, Оценка определенных интегралов с помощью символической манипуляции (1972) - поваренная книга определенных интегральных методов