Изолированная точка

«0» - изолированная точка A = {0} ∪ [1, 2]

В математике , А точка х называется изолированной точкой подмножества S (в топологическом пространстве X ) , если х является элементом S , но существует окрестность из х , которые не содержат каких - либо других точек S . Это эквивалентно тому, что одноэлементный { х } есть открытое множество в топологическом пространстве S (рассматривается как подпространство в X ). Если пространство X - евклидово пространство (или любое другое метрическое пространство), То х является изолированной точкой S , если существует открытый шар вокруг й , который не содержит никаких других точек S . (Введение в понятие последовательностей и ограничений, можно сказать , что то же самое , что элемент х из S является изолированной точкой S , если и только если он не является предельной точкой из S ) .

Дискретный набор [ править ]

Набор, состоящий только из изолированных точек, называется дискретным набором (см. Также дискретное пространство ). Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должны быть счетно , так как выделения каждой из его точек вместе с тем фактом , что рациональные являются плотными в вещественных чисел означает , что точки S может быть отображена в виде набора точек с рациональными координатами, из которых их только счетно много. Однако не каждое счетное множество дискретно, и рациональные числа в рамках обычной евклидовой метрики являются каноническим примером.

Множество без изолированной точки называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки этого множества). Замкнутое множество , не изолированных точек называется идеальным набор (он имеет все свои предельные точки , и ни один из них не изолированы от нее).

Число изолированных точек является топологическим инвариантом , т.е. если два топологических пространств и являются гомеоморфно , количество выделенных точек в каждом равно.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Стандартные примеры [ править ]

Топологические пространства в следующих примерах, рассматриваются как подпространства в прямом со стандартной топологией.

• Для множества точка 0 является изолированной точкой.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ чашка [1,2]}$
• Для набора каждая из точек 1 / k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, потому что в S есть другие точки, максимально близкие к 0.${\ Displaystyle S = \ {0 \} \ чашка \ {1,1 / 2,1 / 3, \ точки \}}$
• Набор из натуральных чисел является дискретным множеством.${\ Displaystyle {\ mathbb {N}} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$
• Лемма Морса утверждает , что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Противоинтуитивный пример [ править ]

Рассмотрим множество точек в реальном интервале , каждая цифра их двоичного представления удовлетворяет следующим условиям: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle x_ {i}}$

• Либо, либо .${\ displaystyle x_ {i} = 0}$${\ displaystyle x_ {i} = 1}$
• ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$только для конечного числа индексов .${\ displaystyle i}$
• Если обозначает самый большой индекс, такой что , то .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x_ {m} = 1}$${\ displaystyle x_ {m-1} = 0}$
• Если и , то выполняется ровно одно из следующих двух условий: , . Неформально это условие означает, что каждая цифра двоичного представления, равная 1, принадлежит паре ... 0110 ..., за исключением ... 010 ... в самом конце.${\ displaystyle x_ {i} = 1}$${\ Displaystyle я <м}$${\ displaystyle x_ {i-1} = 1}$${\ displaystyle x_ {я + 1} = 1}$${\ displaystyle x}$

Теперь это явный набор, состоящий полностью из изолированных точек ^[1], который имеет контр-интуитивное свойство, заключающееся в том, что его замыкание является несчетным множеством . ^[2]${\ displaystyle F}$

Другой набор с такими же свойствами можно получить следующим образом. Позвольте быть набором Кантора средней трети , пусть будет составляющими интервалами , и пусть будет набором, состоящим из одной точки от каждого . Поскольку каждый содержит только одну точку из , каждая точка является изолированной точкой. Однако, если есть какая-либо точка из множества Кантора, то каждая окрестность содержит хотя бы одну , а значит, и одну точку . Отсюда следует, что каждая точка множества Кантора лежит в замыкании и, следовательно, имеет несчетное замыкание.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C}$${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots }$${\displaystyle [0,1]-C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

См. Также [ править ]

• Acnode
• Точка прикрепления
• Предельная точка

Ссылки [ править ]

• Гомес-Рамирес, Дэнни (2007), «Явный набор изолированных точек в R с несчетным замыканием» , Matemáticas: Enseñanza Universitaria , Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Колумбия, 15 : 145–147.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка» . MathWorld .