Передискретизация складного ножа

В статистике , то складной нож является передискретизация метод особенно полезен для дисперсии и смещение оценки. Складной нож предшествует другим распространенным методам передискретизации, таким как бутстрап . Складной нож оценка параметра определяется путем систематического оставляя каждое наблюдения из набора данных и вычисления оценки , а затем найти среднее значение этих расчетов. Учитывая размер выборки , оценка складного ножа находится путем агрегирования оценок каждой подвыборки размера.${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п-1)}$

Техника складного ножа была разработана Морисом Кенуйем (1924–1973) в 1949 году и усовершенствована в 1956 году. Джон Тьюки расширил эту технику в 1958 году и предложил название складной нож, потому что, как складной нож (компактный складной нож), это готовый инструмент, который может импровизировать решение множества проблем, даже если конкретные проблемы могут быть более эффективно решены с помощью специально разработанного инструмента. ^[1]

Складной нож - это линейная аппроксимация бутстрапа . ^[1]

Оценка [ править ]

Оценка параметра складным ножом может быть получена путем оценки параметра для каждой подвыборки без i-го наблюдения. ^[2] Например, если оцениваемым параметром является среднее значение x по генеральной совокупности , мы вычисляем среднее значение для каждой подвыборки, состоящей из всех точек данных, кроме i :${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}x_{j},\quad \quad i=1,\dots ,n.}$

Эти n оценок формируют оценку распределения статистики выборки, если она была вычислена по большому количеству выборок. В частности, среднее значение этого выборочного распределения является средним из этих n оценок:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}.}$

Можно явно показать, что это равняется обычной оценке , так что действительная точка возникает для моментов, более высоких, чем среднее. Оценка дисперсии оценщика складным ножом может быть рассчитана из дисперсии этого распределения : ^{[3] [4]}${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {x}})={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}})^{2}={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.}$

Оценка и исправление смещения [ править ]

Метод складного ножа можно использовать для оценки систематической ошибки оценки, рассчитанной по всей выборке. Say - это расчетная оценка интересующего параметра на основе всех наблюдений. Позволять${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle {n}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{(i)}}$

где - оценка, представляющая интерес, основанная на выборке с удаленным i -м наблюдением, и - среднее значение этих оценок с одним исключением. Оценка смещения складного ножа определяется по формуле :${\displaystyle {\hat {\theta }}_{(i)}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\widehat {\text{bias}}}_{\mathrm {(\theta )} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }-{\hat {\theta }})}$

и результирующая оценка складного ножа с поправкой на смещение дается как:${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{jack}}={\hat {\theta }}-{\widehat {\text{bias}}}_{\mathrm {(\theta )} }=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$

Это устраняет смещение в том особом случае, в котором оно есть, и устраняет его в других случаях. ^[1]${\displaystyle O(n^{-1})}$${\displaystyle O(n^{-2})}$

См. Также [ править ]

• Ошибка исключения одной

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кэмерон, Адриан; Триведи, Правин К. (2005). Микроэконометрика: методы и приложения . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521848053.
• Эфрон, Брэдли ; Стейн, Чарльз (май 1981). "Оценка дисперсии складным ножом" . Летопись статистики . 9 (3): 586–596. DOI : 10.1214 / AOS / 1176345462 . JSTOR  2240822 .
• Эфрон, Брэдли (1982). Складной нож, бутстрап и другие планы передискретизации . Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9781611970319.
• Кенуй, Морис Х. (сентябрь 1949 г.). «Проблемы при отборе проб с самолета» . Летопись математической статистики . 20 (3): 355–375. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177729989 . JSTOR  2236533 .
• Кенуй, Морис Х. (1956). «Заметки о предвзятости в оценке». Биометрика . 43 (3–4): 353–360. DOI : 10.1093 / Biomet / 43.3-4.353 . JSTOR  2332914 .
• Тьюки, Джон В. (1958). «Предвзятость и уверенность в не совсем больших выборках (аннотация)» . Летопись математической статистики . 29 (2): 614. DOI : 10,1214 / АОМ / 1177706647 .