В небесной механике , интеграл Якоби (также известный как интеграл Якоби или константы Якоби ) является единственным известным сохраняющаяся величина для ограниченной задачи трех тел круговой . [1] В отличие от задачи двух тел, энергия и импульс системы не сохраняются по отдельности, и общее аналитическое решение невозможно. Интеграл использовался для получения множества решений в частных случаях.
Он был назван в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби .
Определение
Синодическая система
Одной из подходящих используемых систем координат является так называемая синодическая или совместно вращающаяся система, помещенная в центр масс, с линией, соединяющей две массы μ 1 , μ 2, выбранной в качестве оси x, а единица длины равна их расстоянию. Поскольку система вращается вместе с двумя массами, они остаются неподвижными и располагаются в точках (- μ 2 , 0) и (+ μ 1 , 0). [а]
В системе координат ( x , y ) постоянная Якоби выражается следующим образом:
где:
- п =2 π/Т- среднее движение ( орбитальный период T )
- μ 1 = Gm 1 , μ 2 = Gm 2 , для двух масс m 1 , m 2 и гравитационной постоянной G
- r 1 , r 2 - расстояния пробной частицы от двух масс
Обратите внимание, что интеграл Якоби равен минус двойному значению полной энергии на единицу массы во вращающейся системе отсчета: первый член относится к центробежной потенциальной энергии , второй представляет гравитационный потенциал, а третий - кинетическую энергию . В этой системе отсчета силы, действующие на частицу, - это два гравитационных притяжения, центробежная сила и сила Кориолиса. Поскольку первые три могут быть получены из потенциалов, а последний перпендикулярен траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеренная в этой системе отсчета (и, следовательно, интеграл Якоби), является константой движения. Прямое вычислительное доказательство см. Ниже.
Сидерическая система
В инерциальной, сидерической системе координат ( ξ , η , г ), массы вращаются в барицентре . В этих координатах постоянная Якоби выражается как [2]
Вывод
В совместно вращающейся системе ускорения могут быть выражены как производные одной скалярной функции
Используя лагранжево представление уравнений движения:
( 1 )
( 2 )
( 3 )
Умножая уравнения. ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ) на ẋ , ẏ и ż соответственно и сложив все три результата
Интегрирование урожайности
где C J - постоянная интегрирования.
Левая часть представляет собой квадрат скорости v пробной частицы в совместно вращающейся системе.
Смотрите также
Заметки
- ^ Эта система координат неинерциальна , что объясняет появление терминов, связанных с центробежным и кориолисовым ускорениями.
- ^ Bibliothèque nationale de France . Якоби, Карл GJ (1836). "Sur le motion d'un point et sur un cas specialulier du problème des trois corps". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 3 : 59–61.
- ^ Мюррей, Карл Д .; Дермотт, Стэнли Ф. (1999). Динамика солнечной системы (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 66-70. ISBN 9780521575973.
Библиография
- Карл Д. Мюррей и Стэнли Ф. Дермот Динамика солнечной системы [Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1999], страницы 68–71. ( ISBN 0-521-57597-4 )