Многомерное нормальное распределение

В теории вероятностей и статистике многомерное нормальное распределение , многомерное распределение Гаусса или совместное нормальное распределение является обобщением одномерного ( одномерного ) нормального распределения на более высокие измерения . Одно определение состоит в том, что случайный вектор называется нормально распределенным с k переменными, если каждая линейная комбинация его k компонентов имеет одномерное нормальное распределение. Его важность проистекает в основном из многомерной центральной предельной теоремы .. Многомерное нормальное распределение часто используется для описания, по крайней мере приблизительно, любого набора (возможно) коррелированных действительных случайных величин , каждая из которых группируется вокруг среднего значения.

Многомерное нормальное распределение k -мерного случайного вектора можно записать в следующих обозначениях:${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) ^ {\ mathrm {T}}}$

и ковариационная матрица${\ Displaystyle к \ раз к}$

таким образом, что обратная ковариационная матрица называется матрицей точности и обозначается .${\ Displaystyle 1 \ Leq я, j \ Leq к.}$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

Вещественный случайный вектор называется стандартным нормальным случайным вектором , если все его компоненты независимы и каждая является нормально распределенной случайной величиной с нулевым средним значением единичной дисперсии, т. е. если для всех . ^{[1] : с. 454}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle k}$

Двумерная нормальная плотность суставов

Двумерное нормальное распределение со стандартным отклонением 3 примерно в направлении и 1 в ортогональном направлении.${\displaystyle (1,3)}$${\displaystyle (0.878,0.478)}$

Вверху: вероятность двумерной нормальности в домене (синие области). Посередине: вероятность трехмерной нормали в тороидальной области. Внизу: сходящийся интеграл Монте-Карло вероятности 4-мерной нормали в 4d-правильной многогранной области, определяемой . Все они вычисляются численным методом трассировки лучей. ^[15]${\displaystyle x\sin y-y\cos x>1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert <1}$

a: Плотность вероятности функции одной нормальной переменной с и . b: Плотность вероятности функции нормального вектора со средним значением и ковариацией . c: Тепловая карта совместной плотности вероятности двух функций нормального вектора со средним значением и ковариацией . d: Плотность вероятности функции четырех стандартных нормальных переменных iid. Они вычисляются численным методом трассировки лучей. ^[15]${\displaystyle \cos x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu =-2}$${\displaystyle \sigma =3}$${\displaystyle x^{y}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(1,2)}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}.01&.016\\.016&.04\end{bmatrix}}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(-2,5)}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}10&-7\\-7&10\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert }$

Слева: классификация семи многомерных нормальных классов. Цветные эллипсы — это эллипсы ошибки 1 sd. Черным отмечены границы между областями классификации. – вероятность полной ошибки классификации. Справа: матрица ошибок. есть вероятность отнесения выборки из нормальной к категории . Они вычисляются численным методом трассировки лучей ^[15] ( код Matlab ).${\displaystyle p_{e}}$${\displaystyle p_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$