Дифференциал Кэлера
В математике дифференциалы Кэлера обеспечивают адаптацию дифференциальных форм к произвольным коммутативным кольцам или схемам . Понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х годах. Он был принят в качестве стандарта в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии несколько позже, когда возникла необходимость адаптировать методы исчисления и геометрии над комплексными числами к контекстам, где такие методы недоступны.
Пусть R и S — коммутативные кольца и φ : R → S — гомоморфизм колец . Важным примером является R — поле , а S — алгебра с единицей над R (такая как координатное кольцо аффинного многообразия ). Дифференциалы Кэлера формализуют наблюдение, что производные многочленов снова полиномиальны. В этом смысле дифференцирование есть понятие, которое может быть выражено в чисто алгебраических терминах. Это наблюдение можно превратить в определение модуля
R - линейное дифференцирование на S есть гомоморфизм R - модулей в S - модуль M с образом R в его ядре, удовлетворяющий правилу Лейбница . Модуль дифференциалов Кэлера определяется как S -модуль , для которого существует универсальное дифференцирование . Как и в случае с другими универсальными свойствами , это означает, что d является наилучшей возможной производной в том смысле, что любая другая производная может быть получена из нее путем композиции с S -модульный гомоморфизм. Другими словами, композиция с d обеспечивает для каждого S -модуля M изоморфизм S -модулей
Одна конструкция Ω S / R и d продолжается путем построения свободного S -модуля с одним формальным генератором ds для каждого s в S и наложения соотношений
для всех r в R и всех s и t в S . Универсальный вывод отправляет s в ds . Из соотношений следует, что универсальное дифференцирование является гомоморфизмом R -модулей.
Другая конструкция продолжается, позволяя I быть идеалом в тензорном произведении , определяемом как ядро карты умножения.
