Калах

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Февраль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Кала , также называемая Калаха или Манкала , представляет собой игру из семейства манкала , изобретенную в США Уильямом Джулиусом Чэмпионом- младшим в 1940 году. Эту игру иногда также называют «Калахари», возможно, по ложной этимологии из пустыни Калахари в Намибии. .

Как наиболее популярный и коммерчески доступный вариант манкалы на Западе, Кала также иногда называют Варри или Авари , хотя эти имена более правильно относятся к игре Oware .

Для большинства вариантов Кала - это решенная игра, в которой выигрывает первый игрок, если оба игрока играют идеально. Правило Pie может быть использовано , чтобы сбалансировать преимущество первого-игрок.

Пример поворота

Игрок начинает посев из выделенного домика.

Последнее семя попадает в магазин, поэтому игрок получает дополнительный ход.

Последнее семя падает в пустой дом на стороне игрока. Игрок собирает выделенные семена как из своего дома, так и из противоположного дома своего противника и перемещает их в магазин.

В игре есть доска Калаха и ряд семян или жетонов. На доске по 6 ямок, называемых домиками, с каждой стороны; и большая яма, называемая конечной зоной, на каждом конце. Цель игры - захватить больше семян, чем противник.

1. В начале игры в каждый дом кладется по четыре семени. Это традиционный метод.
2. Каждый игрок управляет шестью домами и их семенами на стороне игрока. Счет игрока - это количество семян в магазине справа от него.
3. Игроки по очереди сеют семена. В свой ход игрок убирает все семена из одного из домов под его контролем. Двигаясь против часовой стрелки, игрок по очереди бросает по одному семени в каждый дом, включая собственный магазин игрока, но не его оппонента.
4. Если последнее посеянное семя попадает в пустой дом, принадлежащий игроку, а противоположный дом содержит семена, и последнее семя, и противоположные семена захватываются и помещаются в магазин игрока.
5. Если последнее посеянное семя попадает в магазин игрока, игрок получает дополнительный ход. Нет ограничений на количество ходов, которые игрок может сделать в свой ход.
6. Когда у одного из игроков больше нет семян ни в одном из домов, игра заканчивается. Другой игрок перемещает все оставшиеся семена в свой магазин, и игрок с наибольшим количеством семян в его магазине побеждает.

Игра может закончиться ничьей.

Варианты [ править ]

• Игра может начинаться с количеством семян в каждом доме, отличным от четырех. Для описания этих вариантов была разработана номенклатура: Kalah ( h , s ), где h обозначает количество домов с каждой стороны, а s обозначает количество семян, которые начинаются в каждом доме. В общем, чем больше семян, тем сложнее становится игра. Калах с тремя, четырьмя, пятью и шестью посевами был решен, при этом первый игрок всегда выигрывает при идеальной игре. ^{[1] [2]} Таким образом, некоторые веб-сайты внедрили игру с правилом пирога, чтобы сделать ее честной.
• Согласно альтернативному правилу игроки сеют по часовой стрелке, и для того, чтобы добраться до магазина, необходимо за один ход посеять больше камней.
• Вариант «Пустой захват»: если последнее посеянное семя попадает в пустой дом, принадлежащий игроку, даже если противоположный дом пуст, последнее семя захватывается и помещается в магазин игрока.
• Альтернативное правило не учитывает оставшиеся семена как часть счета соперника в конце игры.

Компьютерный анализ Калаха [ править ]

Марк Роулингс написал компьютерную программу для всестороннего анализа как «стандартной» версии Kalah, так и версии «пустого захвата», которая является основным вариантом. Анализ стал возможным благодаря созданию самой большой базы данных по эндшпилю, когда-либо созданной для Калаха. Они включают в себя идеальный результат игры из всех 38 902 940 896 позиций с 34 или меньшим количеством семян. В 2015 году впервые в истории каждый из начальных ходов для стандартной версии Калаха (6,4) и Калаха (6,5) был количественно определен: Калах (6,4) - это доказанная победа с 8 для первый игрок и Калах (6,5) - это доказанная победа с разницей в 10 для первого игрока. Кроме того, Калах (6,6) со стандартными правилами доказал свою победу как минимум на 4. Дальнейший анализ Калах (6,6) со стандартными правилами продолжается.

Что касается версии «пустой захват», Джеффри Ирвинг и Джерун Донкерс (2000) доказали, что Калах (6,4) - это победа на 10 для первого игрока с идеальной игрой, а Кала (6,5) - на 12 для первый игрок с идеальной игрой. Андерс Карстенсен (2011) доказал, что Калах (6,6) стал победой для первого игрока. Марк Роулингс (2015) расширил эти результаты «пустого захвата», полностью выполнив количественную оценку начальных ходов Калаха (6,4), Калаха (6,5) и Калаха (6,6). Проведя в общей сложности 106 поисков и более 55 триллионов узлов, он доказал, что Калах (6,6) - это выигрыш в 2 раза для первого игрока с идеальной игрой. Это был неожиданный результат, учитывая, что варианты «4-посевной» и «5-посевной» дают выигрыш на 10 и 12 соответственно. Калах (6,6) чрезвычайно глубокий и сложный по сравнению с вариантами с 4 и 5 семенами,который теперь можно решить за доли секунды и менее чем за минуту соответственно.

Базы данных эндшпиля, созданные Марком Роулингсом, были загружены в оперативную память во время инициализации программы (загрузка занимает 17 минут). Таким образом, программа могла работать на компьютере с 32 ГБ ОЗУ, базы данных с 30 и 33 начальными значениями не загружались.

База данных эндшпиля насчитывает:подсчет позиций семян кумулятивный подсчет-------------------------------------------2-25 1,851,010,435 1,851,010,435 26 854 652 330 2 705 662 765 27 1 202 919 536 3 908 582 301 28 1,675,581,372 5,584,163,673 29 2 311 244 928 7 895 408 601 30 3 158 812 704 11 054 221 305 31 4 279 807 392 15 334 028 697 32 5,751,132,555 21,085,161,252 33 7,668,335,248 28,753,496,500 34 10 149 444 396 38 902 940 896 -------------------------------------------

В следующих разделах бункеры пронумерованы, как показано, с зазором против часовой стрелки. Юг перемещается из ящиков с 1 по 6, а Север перемещается из ящиков с 8 по 13. Ячейка 14 - это магазин Севера, а ячейка 7 - это магазин Юга.

 <--- Север ------------------------  13 12 11 10 9 8   14 7   1 2 3 4 5 6  ------------------------  Юг --->

Калах (6,4) [ править ]

Исходное положение с 4 семенами в каждом бункере:

 <--- Север ------------------------  4 4 4 4 4 4   0 0   4 4 4 4 4 4  ------------------------  Юг --->

В следующих таблицах показаны результаты каждого из 10 возможных ходов первого игрока (предполагается, что сначала идет Юг) как для стандартных правил, так и для варианта «пустой захват». Обратите внимание, что есть 10 возможных первых ходов, поскольку ходы из корзины 3 приводят к «повторному ходу». Глубина поиска продолжалась до конца игры.

Стандартные правила:результат хода идеальное продолжение игры-------------------------------------------------- -----1 проигрывает на 14 10 13 3 9 13 12 1 13 11 5 132 проигрывают на 10 10 13 5 9 13 8 4 10 13 8 53-1 проигрывают 6 10 11 2 13 1 12 1 13 9 4 123-2 галстук 10 13 5 9 13 8 3 11 1 13 103-4 выигрыша с преимуществом 2 10 9 13 2 1 12 3 5 8 12 133-5 побед с преимуществом 4 9 10 2 5 12 1 2 11 2 13 53-6 выигрывает с преимуществом 8 9 8 2 12 6 5 11 6 1 6 54 проиграть на 2 10 12 2 4 13 1 5 9 13 12 135 проиграть на 8 10 9 11 2 5 10 1 8 4 12 56 побед с преимуществом 4 9 12 2 6 1 11 4 10 6 5 13-------------------------------------------------- -----

Вариант «пустой захват»:результат хода идеальное продолжение игры-------------------------------------------------- -----1 проигрывает на 14 10 13 4 9 13 11 2 13 8 13 102 проигрывают на 8 10 13 5 9 13 8 4 10 13 9 53-1 проигрывают на 8 10 11 4 9 12 2 10 5 11 12 93: 2 проигрывает 2 10 13 5 9 13 8 3 11 5 13 103-4 выигрыша с преимуществом 2 10 9 13 2 1 12 3 5 8 12 133-5 побед с преимуществом 4 9 11 2 4 8 12 5 13 5 11 43-6 выигрывает с преимуществом 10 9 8 4 11 6 2 6 4 9 5 134 проиграть на 2 10 12 2 5 9 8 12 9 4 10 115 проиграть на 6 10 9 11 4 8 13 5 6 4 12 66 побед с преимуществом 4 9 12 2 6 1 11 4 10 6 5 13-------------------------------------------------- -----

Калах (6,5) [ править ]

Исходное положение с 5 семенами в каждом бункере:

 <--- Север ------------------------ 5 5 5 5 5 5  0 0 5 5 5 5 5 5 ------------------------  Юг --->

В следующих таблицах показаны результаты каждого из 10 возможных ходов первого игрока (предполагается, что сначала идет Юг) как для стандартных правил, так и для варианта «пустой захват». Обратите внимание, что есть 10 возможных первых ходов, поскольку ходы из корзины 2 приводят к «повторному ходу». Глубина поиска продолжалась до конца игры.

Стандартные правила:результат хода идеальное продолжение игры-------------------------------------------------- -----1 проигрывает на 10 9 11 4 8 13 2 9 6 3 11 132-1 проигрывают 4 9 10 2 12 1 11 3 12 8 11 12-3 выигрыша с преимуществом 10 10 1 6 9 5 13 6 2 8 4 132-4 выигрывает с преимуществом 10 8 11 1 6 9 2 13 11 4 12 62-5 выигрывает с преимуществом 8 8 10 1 6 9 5 13 12 2 13 112-6 галстук 8 11 1 6 3 11 6 5 12 6 83 выигрывает с преимуществом 2 9 8 12 1 4 11 2 12 10 4 34 выигрывает с преимуществом 2 8 11 1 5 12 3 10 5 2 11 65 побед с преимуществом 2 8 12 1 4 9 2 12 4 9 3 116 галстук 8 12 1 6 4 10 6 2 11 4 3 -------------------------------------------------- -----

Вариант «пустой захват»:результат хода идеальное продолжение игры-------------------------------------------------- -----1 проигрывает на 10 9 12 6 8 12 11 2 8 6 5 122: 1 проигрывает 6 9 10 2 12 4 8 9 3 10 11 32-3 выигрыша с результатом 12 8 10 1 6 10 5 13 9 6 4 112-4 выигрывает с преимуществом 8 8 9 1 6 11 4 13 10 4 13 92-5 выигрывает с счетом 8 8 10 1 6 9 5 13 12 3 13 62-6 проигрывают на 2 8 11 1 6 5 9 6 3 11 12 53 выигрывает с преимуществом 2 9 8 12 1 4 11 2 10 4 5 104 галстук 8 11 1 5 12 3 9 5 2 11 3 5 галстук 8 10 1 4 12 5 11 2 9 4 136 галстук 8 12 1 6 4 9 6 2 12 6 5-------------------------------------------------- -----

Калах (6,6) [ править ]

Исходное положение с 6 семенами в каждом бункере:

 <--- Север ------------------------  6 6 6 6 6 6   0 0   6 6 6 6 6 6  ------------------------  Юг --->

В следующих таблицах показаны результаты каждого из 10 возможных ходов первого игрока (предполагается, что сначала ходы на юг) для варианта «пустой захват» и текущий статус результатов для стандартного варианта. Обратите внимание, что есть 10 возможных первых ходов, поскольку ходы из корзины 1 приводят к «повторному ходу». Глубина поиска варианта «пустой захват» продолжалась до конца игры.

«Стандартный» вариант: (Результаты все еще подсчитывает Марк Роулингс.)переместить результат -------------------------------------------------- -----1-2 подтвержденных победы, минимум на 21–3 подтвержденных победы, по крайней мере, на 41-4 1-5 1-6 доказанных потерь, минимум на 2 2 тенденция к победе 3 4 5 6 доказанных потерь, по крайней мере, на 2-------------------------------------------------- ----- Остальные ходы (1-4, 1-5, 3, 4 и 5) являются вероятными ничьями, основанными на очень глубоких поисках, однако результат еще не доказан.

Вариант «пустой захват»:результат хода идеальное продолжение игры-------------------------------------------------- -----1-2 победа с преимуществом 2 10 3 12 4 8 6 10 11 6 3 ...1-3 выигрывает с преимуществом 2 11 1 8 2 10 6 8 3 11 5 ... 1-4 галстук 10 3 12 5 10 3 9 1 12 3 ... 1-5 галстук 9 4 8 3 10 2 10 4 1 9 ... 1-6 галстук 10 4 9 6 3 11 6 8 2 10 ... 2 выигрывает с преимуществом 2 12 4 10 1 12 8 1 11 3 9 ... 3 галстук 10 5 12 4 11 1 12 8 4 3 ... 4 галстук 10 3 11 1 9 5 11 2 10 8 ... 5 галстук 10 3 11 4 12 2 11 4 10 5 ... 6 проигрыш на 2 10 3 8 6 4 13 1 10 13 8 ... -------------------------------------------------- -----

Разбивка более чем 55 триллионов узлов, которые искали, чтобы решить вариант Калаха "пустой захват" (6,6):

время перемещения (сек) найденные узлы----------------------------------------1-2 305,791 2,214,209,715,560 1-3 403,744 2,872,262,354,066 1-4 401 349 2335 350 353 288 1-5 317,795 1,886,991,523,192 1-6 392,923 2,313,607,567,702 2 1,692,886 9,910,945,999,1863 1,296,141 7,398,319,653,760 4 1,411,091 9,623,816,064,478 5 1 607 514 9 318 824 643 697 6 1,354,845 7,824,794,014,305 ----------------------------------------итого 9,184,079 55,699,121,889,234

Математический анализ [ править ]

Как упоминалось выше, если последнее посеянное игроком семя попадает в магазин этого игрока, игрок получает дополнительный ход. Умный игрок может воспользоваться этим правилом, чтобы связать много-много дополнительных ходов. Таким образом, определенные конфигурации ряда доски могут быть очищены за один ход, то есть игрок может захватить все камни в своем ряду, как показано справа. Самая длинная такая цепочка на стандартной доске Кала из шести ям длится семнадцать ходов. На обычной доске с n- ярусами образцы семян, которые можно очистить таким образом за один ход, были объектом математического исследования. ^[3] Можно доказать, что для всех n существует один и только один шаблон, который можно очистить ровно за nперемещает, или, что то же самое, один и только один очищаемый шаблон, состоящий ровно из n семян.

Эти шаблоны требуют произвольно длинных рядов ямок и n увеличений. Например, справа можно увидеть, что для уникального шаблона с 5 семенами требуется только 3 ямки, а для шаблона с 17 семенами требуется 6 ямок. Связь между необходимым количеством ямок и количеством семян можно описать следующим образом. Пусть s (n) обозначает минимальное количество семян, для очистки которых требуется n ямок. Тогда где символ обозначает асимптотическую эквивалентность , то есть , или , что эквивалентно, . ^[3]${\ displaystyle s (n) \ sim {\ frac {n ^ {2}} {\ pi}}}$${\ textstyle \ sim}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s(n)}{n^{2}/\pi }}=1}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{s(n)}}=\pi }$

См. Также [ править ]

• Паллангужи

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Статья о Калахе из Музея Эллиотта Аведона и Архив игр
• Страница Jeroen Donkers Kalah.