Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Кеплера , названная в честь математика и астронома 17 века Иоганна Кеплера , представляет собой математическую теорему об упаковке сфер в трехмерном евклидовом пространстве . В нем говорится, что никакое устройство сфер одинакового размера, заполняющего пространство, не имеет большей средней плотности, чем у устройств плотной кубической упаковки ( гранецентрированная кубическая ) и гексагональной плотной упаковки . Плотность этих размещений составляет около 74,05%.

В 1998 году Томас Хейлз , следуя подходу, предложенному Фейесом Тотом (1953) , объявил, что у него есть доказательство гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза - это исчерпывающее доказательство, включающее проверку множества отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Рецензенты заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза, и гипотеза Кеплера была принята как теорема . В 2014 году команда проекта Flyspeck, возглавляемая Хейлсом, объявила о завершении формального доказательства гипотезы Кеплера с использованием комбинации помощников Isabelle и HOL Light . В 2017 году формальное доказательство было принято журналом Forum of Mathematics, Pi .[1]

Фон [ править ]

Диаграммы плотной кубической упаковки (слева) и гексагональной плотной упаковки (справа).

Представьте, что вы заполняете большой контейнер маленькими сферами одинакового размера. Плотность расположения равна совокупному объему сфер, деленному на объем контейнера. Максимальное количество сфер в контейнере означает создание конструкции с максимально возможной плотностью, так чтобы сферы были упакованы вместе как можно плотнее.

Эксперимент показывает, что при случайном падении сфер достигается плотность около 65%. [2] Однако более высокой плотности можно достичь, аккуратно расположив сферы следующим образом. Начните со слоя сфер в гексагональной решетке, затем поместите следующий слой сфер в самые нижние точки, которые вы можете найти над первым слоем, и так далее. На каждом этапе есть два варианта размещения следующего слоя, поэтому этот естественный метод укладки сфер создает бесчисленное множество одинаково плотных упаковок, самые известные из которых называются кубической плотной упаковкой и гексагональной плотной упаковкой. Каждая из этих схем имеет среднюю плотность

Гипотеза Кеплера гласит, что это лучшее, что можно сделать - никакое другое расположение сфер не имеет более высокой средней плотности.

Истоки [ править ]

Одна из диаграмм из Strena Seu de Nive Sexangula , иллюстрирующая гипотезу Кеплера.

Гипотеза впервые была высказана Иоганном Кеплером  ( 1611 г. ) в его статье «О шестиугольной снежинке». Он начал изучать расположение сфер в результате своей переписки с английским математиком и астрономом Томасом Харриотом в 1606 году. Харриот был другом и помощником сэра Уолтера Рэли , который поставил Харриот задачу определить, как лучше всего складывать пушечные ядра на палубы его кораблей. Харриот опубликовал исследование различных схем укладки в 1591 году и продолжил разработку ранней версии атомной теории .

Девятнадцатый век [ править ]

У Кеплера не было доказательства гипотезы, и следующий шаг был сделан Карлом Фридрихом Гауссом  ( 1831 г. ), который доказал, что гипотеза Кеплера верна, если сферы должны быть расположены в регулярной решетке .

Это означало, что любая упаковка, опровергающая гипотезу Кеплера, должна быть неправильной. Но исключить все возможные нерегулярные схемы очень сложно, и именно поэтому гипотеза Кеплера так трудно доказать. Фактически, существуют нерегулярные устройства, более плотные, чем кубические, плотно упакованные в достаточно небольшом объеме, но теперь известно, что любая попытка расширить эти устройства для заполнения большего объема всегда приводит к уменьшению их плотности.

После Гаусса в девятнадцатом веке не было достигнуто никакого дальнейшего прогресса в доказательстве гипотезы Кеплера. В 1900 году Дэвид Гильберт включил ее в свой список из двадцати трех нерешенных проблем математики - это часть восемнадцатой проблемы Гильберта .

Двадцатый век [ править ]

Следующий шаг к решению был сделан Ласло Фейес Тот . Фейес Тот (1953) показал, что задача определения максимальной плотности всех расположений (регулярных и нерегулярных) может быть сведена к конечному (но очень большому) количеству вычислений. Это означало, что доказательство путем исчерпания в принципе возможно. Как понял Фейес Тот, достаточно быстрый компьютер может превратить этот теоретический результат в практический подход к проблеме.

Тем временем были предприняты попытки найти верхнюю границу максимальной плотности любого возможного расположения сфер. Английский математик Клод Амброуз Роджерс (см. Rogers (1958) ) установил верхнюю границу около 78%, и последующие усилия других математиков немного снизили это значение, но это все равно было намного больше, чем кубическая плотность плотной упаковки около 74%.

В 1990 году У-И Сян утверждал, что доказал гипотезу Кеплера. Доказательство получило похвалу от Encyclopdia Britannica и Science, а Сян был удостоен награды на совместных заседаниях AMS-MAA. [3] Ву-И Сян ( 1993 , 2001 ) утверждал, что доказал гипотезу Кеплера с помощью геометрических методов. Однако Габор Фейес Тот (сын Ласло Фейеса Тота) заявил в своем обзоре статьи: «Что касается деталей, я считаю, что многие ключевые утверждения не имеют приемлемых доказательств». Хейлз (1994) дал подробную критику работы Сяна, на что Сян (1995)ответил. Сегодняшний консенсус состоит в том, что доказательство Сяна является неполным. [4]

Доказательство Хейлза [ править ]

Следуя подходу, предложенному Фейесом Тотом (1953) , Томас Хейлз, работавший тогда в Мичиганском университете , определил, что максимальная плотность всех расположений может быть найдена путем минимизации функции со 150 переменными. В 1992 году при поддержке своего аспиранта Сэмюэля Фергюсона он приступил к исследовательской программе по систематическому применению линейного программирования.методы, чтобы найти нижнюю границу значения этой функции для каждой из более чем 5000 различных конфигураций сфер. Если бы нижняя граница (для значения функции) могла быть найдена для каждой из этих конфигураций, которая была бы больше, чем значение функции для кубической конструкции с плотной упаковкой, то гипотеза Кеплера была бы доказана. Для нахождения оценок снизу для всех случаев было решено около 100 000 задач линейного программирования.

Представляя прогресс своего проекта в 1996 году, Хейлз сказал, что конец близок, но для его завершения может потребоваться «год или два». В августе 1998 года Хейлз объявил, что доказательство завершено. На тот момент он состоял из 250 страниц заметок и 3 гигабайта компьютерных программ, данных и результатов.

Несмотря на необычный характер доказательства, редакторы Annals of Mathematics согласились опубликовать его при условии, что оно будет принято группой из двенадцати рецензентов. В 2003 году, после четырех лет работы, глава судейской коллегии Габор Фейес Тот сообщил, что комиссия «на 99% уверена» в правильности доказательства, но не может подтвердить правильность всех компьютерных расчетов. .

Хейлз (2005) опубликовал 100-страничную статью, в которой подробно описывалась некомпьютерная часть его доказательства. Хейлз и Фергюсон (2006) и несколько последующих статей описали вычислительные части. Хейлз и Фергюсон получили премию Фулкерсона за выдающиеся работы в области дискретной математики за 2009 год.

Формальное доказательство [ править ]

В январе 2003 года Хейлз объявил о начале совместного проекта по созданию полного формального доказательства гипотезы Кеплера. Цель заключалась в том, чтобы устранить любую оставшуюся неуверенность в достоверности доказательства путем создания формального доказательства, которое можно проверить с помощью программного обеспечения для автоматической проверки доказательств, такого как HOL Light и Isabelle . Этот проект называется Flyspeck - буквы F, P и K означают формальное доказательство Кеплера . По оценке Хейлза, для получения полного формального доказательства потребуется около 20 лет работы. Хейлз впервые опубликовал «план» формального доказательства в 2012 году; [5] проект был объявлен завершенным 10 августа 2014 года. [6]В январе 2015 года Хейлз и 21 сотрудник представили в arXiv статью под названием «Формальное доказательство гипотезы Кеплера» , утверждая, что это гипотеза доказана. [7] В 2017 г. формальное доказательство было принято в журнал Forum of Mathematics . [1]

Связанные проблемы [ править ]

Теорема Туэ
Самая плотная упаковка кругов на плоскости - это правильная шестиугольная упаковка (1890 г.). Плотность π / √ 12 .
Двумерный аналог гипотезы Кеплера; доказательство элементарно. Хенк и Циглер приписывают этот результат Лагранжу 1773 г. (см. Ссылки, стр. 770).
Простое доказательство Чау и Чанга из 2010 года использует триангуляцию Делоне для набора точек, которые являются центрами окружностей в насыщенной упаковке кругов. [8]
Гипотеза о шестиугольных сотах
Наиболее эффективное разбиение плоскости на равные площади - правильная шестиугольная мозаика. Доказательство Хейлза (1999).
Связано с теоремой Туэ.
Додекаэдрическая гипотеза
Объем многогранника Вороного сферы в упаковке равных сфер равен, по крайней мере, объему правильного додекаэдра с радиусом 1. Доказательство Маклафлина , за которое он получил Премию Моргана 1999 года .
Связанная проблема, в доказательстве которой используются методы, аналогичные доказательству Хейлза гипотезы Кеплера. Гипотеза Л. Фейеса Тота в 1950-е гг.
Проблема Кельвина
Какая пена самая эффективная в 3-х измерениях? Предполагалось , что эта проблема решена структурой Кельвина , и это было широко распространено в течение более 100 лет, пока не было опровергнуто в 1993 году открытием структуры Вира-Фелана . Удивительное открытие структуры Вира – Фелана и опровержение гипотезы Кельвина - одна из причин, по которым осторожно следует принимать доказательство Хейлза гипотезы Кеплера.
Упаковка сфер в более высоких измерениях
В 2016 году Марина Вязовская объявила о доказательствах оптимальной упаковки сфер в размерностях 8 и 24. [9] Однако вопрос об оптимальной упаковке сфер в измерениях, отличных от 1, 2, 3, 8 и 24, все еще открыт.
Гипотеза Улама об упаковке
Неизвестно, существует ли выпуклое твердое тело, оптимальная плотность упаковки которого меньше плотности упаковки шара.

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Хейлз, Томас ; Адамс, Марк; Бауэр, Гертруда; Данг, Тат Дат; Харрисон, Джон; Хоанг, Ле Чыонг; Калишик, Цезарий; Магрон, Виктор; Маклафлин, Шон; Нгуен, Тат Тханг; Нгуен, Куанг Чыонг; Нипков, Тобиас; Обуа, Стивен; Плесо, Джозеф; Рут, Джейсон; Соловьев, Алексей; Та, Тхи Хоай Ан; Тран, Нам Чунг; Trieu, Thi Diep; Урбан, Йозеф; Ву, Кай; Цумкеллер, Роланд (29 мая 2017 г.). «Формальное доказательство гипотезы Кеплера» . Форум математики, Pi . 5 : e2. DOI : 10,1017 / fmp.2017.1 .
  2. ^ Ли, Шуисян; Чжао, Лян; Лю, Юэу (апрель 2008 г.). «Компьютерное моделирование случайной упаковки сфер в контейнере произвольной формы» . Компьютеры, материалы и континуа . 7 : 109–118.
  3. ^ Хейлз, Томас С. (июнь 1994). «Статус гипотезы Кеплера». Математический интеллигент . 16 (3): 47–58. DOI : 10.1007 / BF03024356 . S2CID 123375854 . 
  4. ^ Сингх, Саймон (1997). Последняя теорема Ферма . Нью-Йорк: Уокер. ISBN 978-0-80271-331-5.
  5. Перейти ↑ Hales, Thomas C. (2012). Плотные сферические упаковки: план формальных доказательств . Серия лекций Лондонского математического общества . 400 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-61770-3.
  6. ^ "Проект Flyspeck" . Код Google .
  7. ^ Хейлз, Томас ; и другие. (9 января 2015 г.). «Формальное доказательство гипотезы Кеплера». arXiv : 1501.02155 [ math.MG ].
  8. ^ Чанг, Хай-Чау; Ван, Лих-Чунг (22 сентября 2010 г.). "Простое доказательство теоремы Туэ о упаковке кругов". arXiv : 1009.4322 [ math.MG ].
  9. ^ Klarreich, Erica (30 марта 2016), "Сфера Упаковка решаемые в Высших Измерений" , Quanta Magazine

Публикации [ править ]

  • Асте, Томазо; Weaire, Denis (2000), В погоне за совершенной упаковки , Бристоль: IOP Publishing Ltd., DOI : 10,1887 / 0750306483 , ISBN 978-0-7503-0648-5, Руководство по ремонту  1786410
  • Гаусс, Карл Ф. (1831), "Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen von Ludwig August Seber" , Göttingische Gelehrte Anzeigen
  • Hales, Томас С. (2005), "Доказательство гипотезы Кеплера", Анналы математики , второй серии, 162 (3): 1065-1185, Arxiv : математика / 9811078 , DOI : 10,4007 / annals.2005.162.1065 , ISSN  0003-486X , MR  2179728
  • Хейлз, Томас К. (2000), «Пушечные ядра и соты» , Уведомления Американского математического общества , 47 (4): 440–449, ISSN  0002-9920 , MR  1745624 Элементарное изложение доказательства гипотезы Кеплера.
  • Хейлза, Томас К. (1994), "Статус гипотезы Kepler", Математическая Интеллидженсер , 16 (3): 47-58, DOI : 10.1007 / BF03024356 , ISSN  0343-6993 , МР  1281754 , S2CID  123375854
  • Хейлз, Томас К. (2006), «Исторический обзор гипотезы Кеплера», Дискретная и вычислительная геометрия , 36 (1): 5–20, DOI : 10.1007 / s00454-005-1210-2 , ISSN  0179-5376 , MR  2229657
  • Хейлз, Томас С .; Фергюсон, Samuel P. (2006), "Формулировка гипотезы Кеплера" (PDF) , дискретная и вычислительная геометрия , 36 (1): 21-69, Arxiv : математика / 9811078 , DOI : 10.1007 / s00454-005-1211 -1 , ISSN  0179-5376 , MR  2229658 , S2CID  6529590
  • Хейлз, Томас С .; Фергюсон, Сэмюэл П. (2011), Гипотеза Кеплера: Доказательство Хейлза-Фергюсона , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4614-1128-4
  • Хейлз, Томас К. (2012), «Упаковки плотных сфер: план формальных доказательств», Серия лекций Лондонского математического общества , Cambridge University Press, 400 , ISBN 978-0-521-61770-3
  • Хенк, Мартин; Циглер, Гюнтер (2008), La congettura di Keplero , La matematica. Problemi e teoremi, 2 , Турин: Эйнауди
  • Сян Wu-Yi (1993), "О задаче сфере упаковки и доказательство гипотезы Кеплера", Международный журнал по математике , 4 (5): 739-831, DOI : 10,1142 / S0129167X93000364 , ISSN  0129-167X , MR  1245351
  • Hsiang, Ву Йи (1995), "возражение к статье ТК Хейлза: Статус гипотезы Kepler ", Математическая Интеллидженсер , 17 (1): 35-42, DOI : 10.1007 / BF03024716 , ISSN  0343-6993 , М.Р.  1319992 , S2CID  119641512
  • Сян, Ву-И (2001), принцип наименьшего действия образования кристаллов плотной упаковки и гипотеза Кеплера , Nankai Tracts in Mathematics, 3 , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., DOI : 10,1142 / 9789812384911 , ISBN 978-981-02-4670-9, MR  1962807
  • Кеплер, Иоганнес (1611), Strena seu de nive sexangula (Шестигранная снежинка) , ISBN 978-1-58988-053-5, MR  0927925 , краткое содержание
  • Хейлз, Томас С .; Маклафин, Шон (2010), «Додекаэдрическая гипотеза», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 299–344, arXiv : math.MG/9811079 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..299H , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00647-X
  • Маршаль, Кристиан (2011), "Исследование гипотезы Кеплера: проблема плотнейшей упаковки", Mathematische Zeitschrift , 267 (3-4): 737-765, DOI : 10.1007 / s00209-009-0644-2 , S2CID  122088451
  • Rogers, CA (1958), "Упаковка равных сфер", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 8 (4): 609-620, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-8.4.609 , ISSN  0024-6115 , MR  0102052
  • Шпиро, Джордж Г. (2003), гипотеза Кеплера , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-08601-7, Руководство по ремонту  2133723
  • Fejes Тота, L. (1953), Lagerungen в дер Эбен, Ауф дер Кугель унд им Raum , Die Grundlehren Mathematischen Wissenschaften дер в Einzeldarstellungen мит besonderer Berücksichtigung дер Anwendungsgebiete, Ленточная LXV, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , MR  0057566

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Кеплера" . MathWorld .
  • Титульная страница 'На шестигранной снежинке'
  • Домашняя страница Томаса Хейлза
  • Домашняя страница проекта Flyspeck
  • Обзор доказательства Хейлза
  • Статья Даны Маккензи в American Scientist
  • Flyspeck I: Tame Graphs, подтвержденное перечисление ручных плоских графов, как определено Томасом К. Хейлзом в его доказательстве гипотезы Кеплера.