Правило Лопиталя

В математике , в частности исчислении , правило Лопиталя или правило Лопиталя ( французский:  [lopital] , английский: / ˌ l oʊ p iː ˈ t ɑː l / , loh-pee- TAHL ), также известное как правило Бернулли , это теорема, которая дает метод оценки пределов неопределенных форм. Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно легко вычислить путем подстановки. Правило названо в честь французского математика XVII века Гийома де л’Опиталя . Хотя правило часто приписывают Лопиталю, теорема впервые была представлена ​​ему в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли .

Правило Лопиталя утверждает, что для функций f и g , которые дифференцируемы на открытом интервале I , за исключением, возможно, точки c , содержащейся в I , если и для всех x в I с x ≠ c и существует, то${\ textstyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0 {\ text {или}} \ pm \ infty,}$${\ textstyle г '(х) \ neq 0}$${\ textstyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(x)}}}$

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или переводит его в предел, который можно вычислить напрямую.

Гийом де л'Опиталь (также пишется как l'Hospital ^[a] ) опубликовал это правило в своей книге 1696 года Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (буквальный перевод: Анализ бесконечно малого для понимания изогнутых линий ), первый учебник по дифференциальному исчислению . ^{[1] [b]} Однако считается, что правило было открыто швейцарским математиком Иоганном Бернулли . ^{[3] [4]}

Общая форма правила Лопиталя охватывает многие случаи. Пусть c и L — расширенные действительные числа (т. е. действительные числа, положительная бесконечность или отрицательная бесконечность). Пусть I будет открытым интервалом , содержащим c (для двустороннего предела), или открытым интервалом с концом c (для одностороннего предела или пределом на бесконечности , если c бесконечно). Вещественнозначные функции f и g предполагаются дифференцируемыми на I , за исключением, возможно , точки c , и дополнительно на${\ Displaystyle г '(х) \ neq 0}$I за исключением, возможно, c . Также предполагается, чтоТаким образом, правило применяется к ситуациям, в которых отношение производных имеет конечный или бесконечный предел, но не к ситуациям, в которых это отношение постоянно колеблется по мере того, как x становится все ближе и ближе к c .${\ textstyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(x)}} = L.}$

Пример применения правила Лопиталя к f ( x ) = sin ( x ) и g ( x ) = −0,5 x : функция h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) не определена при x = 0 , но его можно дополнить до непрерывной функции на всем R , определив h (0) = f ′(0) / g ′(0) = −2 .