Фонон

Физика конденсированного состояния
Фазы  · Фазовый переход  · QCP
состояния вещества Твердое  тело · Жидкость  · Газ  · Плазма  · Конденсат Бозе-Эйнштейна  · Бозе-газ  · Фермионный конденсат  · Ферми-газ  · Ферми-жидкость  · Сверхтвердое тело  · Сверхтекучесть  · Жидкость Латтинжера  · Кристалл времени
Фазовые явления Параметр заказа  · Фазовый переход  · QCP
Электронные фазы Электронная структура группы  · Плазменные  · Изолятор  · Мотта изолятор  · Полупроводниковый  · полуметалл  · Проводник  · сверхпроводник  · Термоэлектрический  · Пьезоэлектрический  · сегнетоэлектрических  · топологическая изолятор  · Спин бесщелевого полупроводника
Электронные явления Квантовый эффект Холла  · Спиновый эффект Холла  · Эффект Кондо
Магнитные фазы Диамагнетик  · Супердиамагнетик Парамагнетик  · Суперпарамагнетик Ферромагнетик  · Антиферромагнетик Метамагнетик  · Спиновое стекло
Квазичастицы Фонон  · Экситон  · Плазмон- поляритон  · Полярон  · Магнон
Мягкая материя Аморфное твердое вещество  · Коллоид  · Гранулированный материал  · Жидкий кристалл  · Полимер
Ученые Ван дер Ваальс  · Оннес  · фон Лауэ  · Брэгг  · Дебай  · Блох  · Онсагер  · Мотт  · Пайерлс  · Ландау  · Латтинджер  · Андерсон  · Ван Влек  · Хаббард  · Шокли  · Бардин  · Купер  · Шриффер  · Джозефсон  · Луи Нил  · Эсаки  · Джавер  · Кон  · Каданов  · Фишер  · Уилсон  · фон Клитцинг  · Бинниг  · Рорер  · Беднорц  · Мюллер  · Лафлин  · Штёрмер  · Ян  · Цуй  · Абрикосов  · Гинзбург  · Леггетт
v т е

В физике , А фонон является коллективным возбуждением в периодическом, упругом расположении атомов или молекул в конденсированных средах , в частности , в твердых телах и некоторые жидкостях . Часто упоминается как квазичастицы , ^[1] это возбужденное состояние в квантовом - механическом квантовании из мод колебаний упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны , похожие на фотоны.как квантованные световые волны . ^[2]

Изучение фононов - важная часть физики конденсированного состояния. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированного состояния, таких как теплопроводность и электропроводность , а также играют фундаментальную роль в моделях рассеяния нейтронов и связанных с ними эффектов.

Понятие фононы было введено в 1932 году советским физиком Игорем Таммом . Название фонон происходит от греческого слова φωνή ( phonē ), которое переводится как звук или голос , потому что длинноволновые фононы порождают звук . Название аналогично слову фотон .

Определение [ править ]

Фонон - это квантово-механическое описание элементарного колебательного движения, при котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется с одной частотой . ^[3] В классической механике это означает нормальный режим вибрации. Нормальные моды важны, потому что любое колебание решетки произвольной формы можно рассматривать как суперпозицию этих элементарных режимов колебаний (см. Анализ Фурье ). В то время как нормальные моды представляют собой волновые явления в классической механике, фононы обладают подобными частицам.свойства тоже, в некотором роде связанные с дуализмом волна-частица квантовой механики.

Динамика решетки [ править ]

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, а вместо этого используют соотношения, для которых существует прямое соответствие в классической механике.

Например: жесткая правильная кристаллическая (не аморфная ) решетка состоит из N частиц. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N - большое число, скажем, порядка 10 ²³ или порядка числа Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны оказывать друг на друга силы, чтобы удерживать каждый атом около своего положения равновесия. Эти силы могут быть силами Ван-дер-Ваальса , ковалентными связями , электростатическим притяжением и другими, все из которых в конечном итоге обусловлены электрической силой. Магнитныйи гравитационные силы, как правило, незначительны. Силы между каждой парой атомов могут быть охарактеризованы функцией потенциальной энергии V, которая зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки - это сумма всех попарных потенциальных энергий, умноженная на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета: ^[4]

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {я \ neq j} V \ left (r_ {i} -r_ {j} \ right)}$

где г _я это положение о я - го атома, и V представляет собой потенциальную энергию между двумя атомами.

Эту проблему многих тел сложно явно решить ни в классической, ни в квантовой механике. Чтобы упростить задачу, обычно вводят два важных приближения . Во-первых, суммирование выполняется только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение все еще остается в силе, поскольку поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранируются . Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы . Это допустимо, пока атомы остаются близкими к своему положению равновесия. Формально это достигается за счет того, что Тейлор расширяет V около его равновесного значения до квадратичного порядка, давая Vпропорциональна смещению x ^2, а сила упругости просто пропорциональна x . Ошибка игнорирования членов более высокого порядка остается небольшой, если x остается близким к положению равновесия.

Полученную решетку можно представить как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллического твердого тела. Другие решетки включают линейную цепочку, которая представляет собой очень простую решетку, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (Для других распространенных решеток см. Кристаллическую структуру .)

Потенциальная энергия решетки теперь может быть записана как

${\ displaystyle \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} {\ tfrac {1} {2}} nn \ omega ^ {2} \ left (R_ {i} -R_ {j} \ вправо) ^ {2}.}$

Здесь ω - собственная частота гармонических потенциалов, которые считаются одинаковыми, поскольку решетка регулярная. R _i - координата положения i- го атома, которую мы теперь измеряем от его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Волны решетки [ править ]

Из-за связей между атомами смещение одного или нескольких атомов из их положений равновесия приводит к возникновению набора вибрационных волн, распространяющихся через решетку. Одна такая волна показана на рисунке справа. Амплитуда волны задаются смещениями атомов из их равновесных положений. Длина волны λ помечается.

Существует минимально возможная длина волны, равная удвоенному равновесному расстоянию между атомами a . Любая длина волны короче, чем эта, может быть отображена на длину волны, превышающую 2 a , из-за периодичности решетки. Это можно рассматривать как одно из следствий теоремы выборки Найквиста – Шеннона , точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не все возможные колебания решетки имеют четко определенные длину волны и частоту. Однако нормальные моды обладают четко определенными длинами волн и частотами .

Одномерная решетка [ править ]

Чтобы упростить анализ, необходимый для трехмерной решетки атомов, удобно смоделировать одномерную решетку или линейную цепочку. Эта модель достаточно сложна, чтобы показать основные особенности фононов.

Классическое лечение [ править ]

Предполагается, что силы между атомами являются линейными и ближайшими соседями, и они представлены упругой пружиной. Предполагается, что каждый атом является точечной частицей, а ядро ​​и электроны движутся пошагово ( адиабатическая теорема ):

п - 1 п п + 1 ← а →        

··· o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++ ++ o ++++++ o ++++++ o ···

→→  →  →→→

u _{n - 1} u _n u _{n + 1}  

где n обозначает n- й атом из общего числа N , a - расстояние между атомами, когда цепочка находится в равновесии, а u _n - смещение n- го атома из его положения равновесия.

Если C - упругая постоянная пружины, а m - масса атома, то уравнение движения n- го атома имеет вид

${\ displaystyle -2Cu_ {n} + C \ left (u_ {n + 1} + u_ {n-1} \ right) = m {\ frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2 }}}.}$

Это набор связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются дискретным преобразованием Фурье для их разделения. ^[5]

Положить

${\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {Nak / 2 \ pi = 1} ^ {N} Q_ {k} e ^ {ikna}.}$

Здесь na соответствует и переходит к непрерывной переменной x скалярной теории поля. Вопрос _к известны как нормальные координаты , режимы континуума полевых ф _к .

Подстановка в уравнение движения дает следующие несвязанные уравнения (это требует значительных манипуляций с использованием соотношений ортонормированности и полноты дискретного преобразования Фурье, ^[6]

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

Это уравнения для развязанных гармонических осцилляторов, которые имеют решение

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

Каждая нормальная координата Q _k представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом k , которая известна как нормальная мода .

Второе уравнение для ω _k известно как дисперсионное соотношение между угловой частотой и волновым числом .

В континуальном пределе a → 0, N → ∞ при фиксированном Na , u _n → φ ( x ) , скалярном поле и . Это составляет классическую теорию свободного скалярного поля , набор независимых осцилляторов.${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

Квантовая обработка [ править ]

Одномерная квантово-механическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, которая позволяет фононам возникать из нее. Формализм этой модели легко обобщается для двух и трех измерений.

В некотором отличие от предыдущего раздела, положения масс не обозначены u _i , а вместо этого x ₁ , x ₂ …, как измерено от их положений равновесия (т.е. x _i  = 0, если частица i находится на своем положение равновесия.) В двух или более измерениях x _i являются векторными величинами. Гамильтониан для этой системы

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

где m - масса каждого атома (при условии, что она одинакова для всех), а x _i и p _i - операторы положения и импульса , соответственно, для i- го атома, а сумма производится по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке также могут появиться волны, которые ведут себя как частицы. Это обычное дело с волнами в пространстве Фурье , которое использует нормальные моды на волновой вектор в качестве переменных вместо координат частиц. Количество нормальных мод такое же, как и количество частиц. Однако пространство Фурье очень полезно с учетомпериодичность системы.

Набор N «нормальные координаты» Q _K может быть введены, определяются как дискретное преобразование Фурье в х _K и N «конъюгат» импульсы П _к определенным как преобразования Фурье р _к :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

Величина k _n оказывается волновым числом фонона, то есть 2 π, деленным на длину волны .

Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

Из общего результата

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

Термин потенциальной энергии

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

куда

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

Связи между переменными позиции были изменены; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты накладываются периодические граничные условия, определяющие ( N  + 1) -й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует соединению цепочки на ее концах. Результирующее квантование

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

Верхняя граница n зависит от минимальной длины волны, которая в два раза больше шага решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения или уровни энергии гармонического осциллятора для моды ω _k :

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Уровни равномерно расположены:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

куда 1/2ħω является энергией нулевых колебаний из гармонического осциллятора квантового .

Точное количество энергии ħω должен подаваться к гармоническому решетке осциллятора , чтобы подтолкнуть его к следующему уровню энергии. По сравнению со случаем фотона, когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волнообразные и корпускулярные свойства. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные техники, описанные ниже. ^[7]

Трехмерная решетка [ править ]

Это может быть обобщено на трехмерную решетку. Волновое число k заменяется трехмерным волновым вектором k . Кроме того, каждому k теперь соответствует три нормальных координаты.

Новые индексы s = 1, 2, 3 маркируют поляризацию фононов. В одномерной модели движение атомов ограничивалось движением вдоль линии, поэтому фононы соответствовали продольным волнам . В трех измерениях вибрация не ограничивается направлением распространения и также может возникать в перпендикулярных плоскостях, как поперечные волны . Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые разновидности фононов.

Отношение дисперсии [ править ]

Для одномерного переменного массива из двух типов ионов или атомов с массой m ₁ , m _2, периодически повторяющихся на расстоянии a , соединенных пружинами жесткости пружины K , возникают две моды колебаний: ^[9]

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

где k - волновой вектор колебания, связанный с его длиной волны соотношением .${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

Связь между частотой и волновым вектором ω  =  ω ( k ) известна как дисперсионное соотношение . Знак плюс означает так называемый оптический режим, а знак минус - акустический режим. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, а в акустическом - вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скоростью звука в решетке, задается наклоном уравнения акустической дисперсии:∂ ω _k/∂ k(см. групповую скорость .) При низких значениях k (т. е. длинных волнах) дисперсионное соотношение почти линейно, а скорость звука приблизительно равна ωa , независимо от частоты фонона. В результате пакеты фононов с разными (но длинными) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не распадаясь на части. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Такое поведение не работает при больших значениях k , то есть на коротких длинах волн, из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, имеющего по крайней мере два атома в своей примитивной ячейке , дисперсионные соотношения демонстрируют два типа фононов, а именно оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой на диаграмме соответственно. Вертикальная ось - это энергия или частота фонона, а горизонтальная ось - волновой вектор . Границы по адресу -π/а и π/аотносятся к первой зоне Бриллюэна . ^[9] Кристалл с N  ≥ 2 различных атомов в примитивной ячейке демонстрирует три акустических моды: одну продольную акустическую моду и две поперечные акустические моды . Число оптических мод составляет 3 N  - 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs в зависимости от волнового вектора k в главных направлениях его зоны Бриллюэна. ^[8]

Многие кривые дисперсии фононов были измерены методом неупругого рассеяния нейтронов .

Физика звука в жидкостях отличается от физики звука в твердых телах, хотя обе являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это связано с тем, что жидкости не могут выдерживать напряжения сдвига (но обратите внимание на вязкоупругие жидкости, которые применимы только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов вторичного квантования [ править ]

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая гамильтонова функция, но если его интерпретировать как оператор , то он описывает квантовую теорию поля невзаимодействующих бозонов . ^[2] Метод второго квантования , подобный методу оператора лестницы, используемому для квантовых гармонических осцилляторов , является средством извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан, а также сопряженное положение и сопряженный импульс, определенные в разделе квантовой обработки выше, мы можем определить операторы рождения и уничтожения${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle \Pi _{k}}$: ^[10]

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   и   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

Следующие коммутаторы легко получить, подставив в каноническое коммутационное соотношение :

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

Используя это, операторы b _k ^† и b _k можно инвертировать, чтобы переопределить сопряженные положение и импульс как:

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   и   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

Прямая подстановка этих определений для и в гамильтониан пространства волновых векторов, как он определен выше, и упрощение затем приводит к тому, что гамильтониан принимает вид: ^[2]${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Это известно как метод второго квантования, также известный как формулировка числа заполнения, где n _k = b _k ^† b _k - число заполнения. Это можно увидеть, что сумма N независимым осциллятора гамильтонианов, каждый с уникальным волновым вектором, и совместима с методами , используемыми для квантового гармонического осциллятора (заметит , что п _к является эрмитами ). ^[10] Когда гамильтониан можно записать как сумму коммутирующих субгамильтонианов, собственные состояния энергии будут заданы произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующий энергетический спектртогда дается суммой индивидуальных собственных значений субгамильтонианов. ^[10]

Как и в случае с квантовым гармоническим осциллятором, можно показать, что b _k ^† и b _k соответственно создают и разрушают единственное возбуждение поля, фонон, с энергией ħω _k . ^{[10] [2]}

С помощью этого метода можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы являются бозонами , поскольку любое количество идентичных возбуждений может быть создано повторным применением оператора рождения b _k ^† . Во-вторых, каждый фонон - это «коллективная мода», вызванная движением каждого атома в решетке. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в импульсном пространстве, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома, когда они записаны в пространстве позиций (см. Пространство позиций и импульсное пространство ). ^[10] Наконец, используя функцию корреляции положение-положение, можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки. ^{[ необходима цитата ]}

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает вид: ^{[10] [2]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Что можно интерпретировать как сумму 3N независимых гамильтонианов осцилляторов, по одному для каждого волнового вектора и поляризации. ^[10]

Акустические и оптические фононы [ править ]

Твердые тела с более чем одним атомом в самой маленькой элементарной ячейке обладают двумя типами фононов: акустическими фононами и оптическими фононами.

Акустические фононы - это когерентные движения атомов решетки из их положений равновесия. Если смещение происходит в направлении распространения, то в некоторых областях атомы будут ближе, в других - дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название акустической). Смещение перпендикулярно направлению распространения сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому смещению всего кристалла и требует нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для длинных волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с увеличением длины волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто обозначают аббревиатурой LA и TA фононы соответственно.

Оптические фононы - это противофазные движения атомов в решетке: один атом движется влево, а его сосед - вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух и более атомов. Они называются оптическими, потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия , колебания смещения создают электрическую поляризацию, которая взаимодействует с электромагнитным полем. ^[2] Следовательно, они могут быть возбуждены инфракрасным излучением , электрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля, а каждый отрицательный ион хлорида - в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать.

Оптические фононы имеют ненулевую частоту в центре зоны Бриллюэна и не показывают дисперсии вблизи этого длинноволнового предела. Это потому, что они соответствуют режиму вибрации, когда положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки колеблются друг против друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент . Оптические фононы, которые таким образом взаимодействуют со светом, называются активными в инфракрасном диапазоне . Оптические фононы, которые являются комбинационно активными, также могут косвенно взаимодействовать со светом через рамановское рассеяние . Оптические фононы часто обозначаются сокращенно как LO и TO фононы для продольной и поперечной мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описываетсяСоотношение Лиддана – Сакса – Теллера .

При экспериментальном измерении энергии оптических фононов частоты оптических фононов иногда задаются в обозначении спектральных волновых чисел , где символ ω представляет обычную частоту (не угловую частоту) и выражается в единицах см ^-1 . Значение получается делением частоты на скорость света в вакууме . Другими слова, волновое число в см ^-1 единиц соответствуют обратной величине длины волны в виде фотона в вакууме, который имеет ту же частоту, что и измеренный фонон. ^[11]

Кристаллический импульс [ править ]

По аналогии с фотонами и волнами материи , фононы рассматривались с волновым вектором k, как если бы он имел импульс ħk , ^[12] однако это не совсем правильно, потому что k на самом деле не является физическим импульсом; его называют импульсом кристалла или псевдомоментом . Это связано с тем, что k определяется только с точностью до добавления постоянных векторов (векторов обратной решетки и их целые кратные). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определены так, что

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

куда

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

для любого целого n . Таким образом, фонон с волновым числом k эквивалентен бесконечному семейству фононов с волновым числом k  ± 2 π/а, k  ± 4 π/а, и так далее. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передавать фонону. Блоховские электроны подчиняются аналогичному набору ограничений.

Обычно удобно рассматривать фононные волновые векторы k, которые имеют наименьшую величину | k | в их «семье». Набор всех таких волновых векторов определяет первую зону Бриллюэна . Дополнительные зоны Бриллюэна могут быть определены как копии первой зоны, сдвинутые на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика [ править ]

В термодинамические свойства твердого вещества непосредственно связаны с его фононной структурой. Весь набор всех возможных фононов, которые описываются соотношением дисперсии фононов, объединяются в так называемую плотность фононных состояний, которая определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения в теплоемкости преобладает высокочастотная часть распределения, в то время как теплопроводность в первую очередь является результатом низкочастотной области. ^{[ необходима цитата ]}

При абсолютном нуле температуры кристаллическая решетка находится в основном состоянии и не содержит фононов. Решетка при ненулевой температуре имеет энергию, которая не является постоянной, а случайным образом колеблется около некоторого среднего значения . Эти флуктуации энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которую можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами. ^[13]

Тепловые фононы могут создаваться и разрушаться случайными колебаниями энергии. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал добавления фонона равен нулю. ^[13] Такое поведение является расширением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов подобно газу фотонов, создаваемому электромагнитной полостью , где фотоны могут излучаться или поглощаться стенками полости. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, порождающих излучение Черного тела . Оба газа подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна.: в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность обнаружения фононов или фотонов в данном состоянии с заданной угловой частотой равна: ^[14]

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

где ω _{k , s} - частота фононов (или фотонов) в состоянии, k _B - постоянная Больцмана , а T - температура.

Фононное туннелирование [ править ]

Было показано, что фононы проявляют квантовое туннельное поведение (или туннелирование фононов ), когда через зазоры шириной до нанометра тепло может течь через фононы, которые «туннелируют» между двумя материалами. ^[15] Этот тип теплопередачи работает на расстояниях, слишком больших для возникновения теплопроводности, но слишком малых для возникновения излучения, и поэтому не может быть объяснен классическими моделями теплопередачи . ^[15]

Формализм оператора [ править ]

Фононный гамильтониан задается формулой

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

В терминах операторов создания и уничтожения они задаются формулами

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

Здесь, выражая гамильтониан в операторном формализме, мы не учли1/2ħω _кв термин , как, учитывая континуум или бесконечной решетки , то1/2ħω _q членов складываются, давая бесконечный член . Следовательно, он « перенормируется », устанавливая коэффициент1/2ħω _q к 0, утверждая, что мы измеряем разницу в энергии, а не ее абсолютное значение. Следовательно1/2Фактор ħω _q отсутствует в операторно формализованном выражении гамильтониана .

Основное состояние, также называемое « вакуумным состоянием », - это состояние, не состоящее из фононов. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ , мы говорим, что имеется n _α фононов типа α , где n _α - число заполнения фононов. Энергия одного фонона типа α определяется выражением ħω _q, а полная энергия общей фононной системы выражается как n ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω _2. +…. Поскольку нет перекрестных членов (например, n ₁ ħω ₂ ), говорят, что фононы не взаимодействуют. Действие операторов создания и уничтожения задается:

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

и,

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

Оператор рождения a _α ^† создает фонон типа α, а оператор _α уничтожает его. Следовательно, они являются операторами рождения и уничтожения фононов соответственно. Аналогично случаю квантового гармонического осциллятора , мы можем определить оператор числа частиц как

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

Числовой оператор коммутирует со строкой произведений операторов создания и уничтожения тогда и только тогда, когда количество операторов создания равно количеству операторов уничтожения.

Как можно показать , что фононы симметрична относительно обмена (т.е. | α , & beta ; ⟩  =  | & beta ; , α ⟩ ), они считаются бозоны . ^[16]

Нелинейность [ править ]

Как и фотоны , фононы могут взаимодействовать посредством параметрического преобразования с понижением частоты ^[17] и образовывать сжатые когерентные состояния . ^[18]

Прогнозируемые свойства [ править ]

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь значительную массу и на них действует гравитация, как и на стандартные частицы. ^[19] В частности, предсказано, что фононы обладают своего рода отрицательной массой и отрицательной гравитацией. ^[20] Это можно объяснить тем, что фононы, как известно, перемещаются быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, указывающая на источник гравитации, находится ближе к объекту, он становится более плотным на этом конце. Исходя из этого, предполагается, что фононы будут отклоняться, поскольку он обнаруживает разницу в плотностях, проявляя качества отрицательного гравитационного поля. ^[21] Хотя эффект будет слишком мал для измерения, возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Было также предсказано, что фононы будут играть ключевую роль в сверхпроводимости материалов и предсказании сверхпроводящих соединений. ^[22]

В 2019 году исследователям впервые удалось выделить отдельные фононы, не уничтожая их. ^[23]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме колебания решетки .

• Цитаты, связанные с Phonon в Wikiquote
• Объяснение: Phonons , MIT News, 2010.
• Оптические и акустические режимы
• Фононы в одномерном микрожидкостном кристалле [1] и [2] с фильмами в [3] .