В математике отношение Лежандра может быть выражено в любой из двух форм: как отношение между полными эллиптическими интегралами или как отношение между периодами и квазипериодами эллиптических функций . Эти две формы эквивалентны, поскольку периоды и квазипериоды могут быть выражены через полные эллиптические интегралы. Он был введен (для полных эллиптических интегралов) А. М. Лежандром ( 1811 , 1825 , стр. 61).
где K и K ′ – полные эллиптические интегралы первого рода для значений, удовлетворяющих k 2 + k ′ 2 = 1 , а E и E ′ – полные эллиптические интегралы второго рода.
Эта форма соотношения Лежандра выражает тот факт, что вронскиан полных эллиптических интегралов (рассматриваемых как решения дифференциального уравнения) является константой.
где ω 1 и ω 2 — периоды эллиптической функции Вейерштрасса , а η 1 и η 2 — квазипериоды дзета-функции Вейерштрасса . Некоторые авторы нормируют их по-другому, с разницей в 2 раза, и в этом случае правая часть соотношения Лежандра равна π i или π i / 2. Это соотношение можно доказать, проинтегрировав дзета-функцию Вейерштрасса относительно границы фундаментальная область и применение теоремы Коши о вычетах .