Полет Леви — это случайное блуждание , в котором длины шагов имеют стабильное распределение [ 1] с тяжелым хвостом . Когда это определяется как прогулка по пространству размерностью больше единицы, шаги совершаются в изотропных случайных направлениях. Более поздние исследователи расширили использование термина «полет Леви», включив в него также случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не в непрерывном пространстве. [2]
Термин «полет Леви» был придуман Бенуа Мандельбротом [3] , который использовал его для одного конкретного определения распределения размеров шагов. Он использовал термин « полет Коши» для случая, когда распределение размеров шагов представляет собой распределение Коши , [4] и «полет Рэлея» , когда распределение является нормальным распределением [5] (что не является примером распределения вероятностей с тяжелым хвостом). ).
Частный случай, для которого Мандельброт использовал термин «полет Леви» [3], определяется функцией выживания распределения размеров шагов U , равной [6]
Здесь D — параметр, связанный с фрактальной размерностью , а распределение — это частный случай распределения Парето .
Полеты Леви по своей конструкции являются марковскими процессами . Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала случайного блуждания стремится после большого числа шагов к устойчивому распределению благодаря обобщенной центральной предельной теореме , позволяющей многим процессам моделироваться с использованием полетов Леви.
Плотности вероятностей частиц, совершающих полет Леви, можно смоделировать с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера-Планка , которое обычно используется для моделирования броуновского движения . Уравнение требует использования дробных производных . Для длин прыжков, которые имеют симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса . В одном измерении уравнение читается как