Предел функции

${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}}}$
1	0,841471 ...
0,1	0,998334 ...
0,01	0,999983 ...

Хотя функция (sin  x ) / x не определена в нуле, по мере того, как x становится все ближе и ближе к нулю, (sin  x ) / x становится произвольно близким к 1. Другими словами, предел (sin  x ) / x , когда x стремится к нулю, равно 1.

В математике , то предел функции является фундаментальным понятием в исчислении и анализе о поведении этой функции вблизи конкретного входа .

Формальные определения, впервые разработанные в начале 19 века, приведены ниже. Неформально функция f назначает выход f ( x ) каждому входу x . Мы говорим, что функция имеет предел L на входе p, если f ( x ) становится все ближе и ближе к L по мере того, как x перемещается все ближе и ближе к p . Более конкретно, когда F применяется к любому входу достаточно близко к р , выходное значение вынужден произвольно близко к L. С другой стороны, если некоторые входы, очень близкие к p , используются для выходов, которые остаются на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предел не существует .

Понятие предела имеет множество приложений в современном исчислении . В частности, многие определения непрерывности используют понятие предела: грубо говоря, функция непрерывна, если все ее пределы согласуются со значениями функции. Понятие предела также появляется в определении производной : в исчислении одной переменных, это предельное значение наклона от секущих линий к графике функции.

История [ править ]

Современная идея предела функции, хотя и подразумеваемая при развитии исчисления 17 и 18 веков, восходит к Больцано, который в 1817 году ввел основы эпсилон-дельта- техники для определения непрерывных функций. Однако его творчество при жизни не было известно. ^[1]

В 1821 книге Cours d'анализа , Коши обсудили переменные величины, бесконечно малые и пределы, и определенную преемственность , говоря , что изменение ничтожно х обязательно производит изменение ничтожно у , в то время как ( Grabiner 1983 ) утверждает , что он только дал словесный определение. ^[2] Вейерштрасс впервые ввел эпсилон-дельта-определение предела в том виде, в котором оно обычно пишется сегодня. Он также ввел обозначения lim и lim _{x → x 0} . ^[3]${\ Displaystyle у = е (х)}$

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Харди , которое представлено в его книге «Курс чистой математики» в 1908 г. ^[4]

Мотивация [ править ]

Представьте себе человека, идущего по ландшафту, представленному графиком y = f ( x ). Ее горизонтальное положение измеряется значением x , так же как положение, заданное картой местности или глобальной системой позиционирования . Ее высота задается координатой y . Она идет к горизонтальному положению, заданному x = p . Когда она становится все ближе и ближе к ней, она замечает , что ее высота приближается к L . Если вопрос о высоте х = р , она бы тогда ответить L .

Что же тогда означает сказать, что ее высота приближается к L? Это означает, что ее высота становится все ближе и ближе к L, за исключением возможной небольшой ошибки в точности. Например, предположим , что мы поставили перед собой конкретную цель точности для нашего путешественника: она должна получить в течение десяти метров L . Она сообщает назад , что на самом деле она может получить в течение десяти вертикальных метров L , так как она отмечает , что , когда она находится в пределах пятидесяти горизонтальных метров р , ее высота над уровнем моря всегда десять метров или меньше от L .

Затем цель точности меняется: сможет ли она проехать в пределах одного вертикального метра? Да. Если она находится в любом месте в пределах семи горизонтальных метров р , то ее высота над уровнем моря всегда остается в пределах одного метра от мишени L . Таким образом, сказать, что высота путешественника приближается к L, когда его горизонтальное положение приближается к p , значит сказать, что для каждой целевой точности, какой бы маленькой она ни была, существует некоторая окрестность p , высота которой соответствует этой цели точности.

Исходное неформальное утверждение теперь можно пояснить:

Предел функции f ( x ) по мере приближения x к p представляет собой число L со следующим свойством: при любом целевом расстоянии от L существует расстояние от p, в пределах которого значения f ( x ) остаются в пределах целевого расстояния.

Фактически, это явное утверждение довольно близко к формальному определению предела функции со значениями в топологическом пространстве .

Точнее сказать, что

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L, \,}$

означает, что ƒ ( x ) можно сделать настолько близким к L, насколько это необходимо, сделав x достаточно близким, но не равным  p .

Следующие ниже определения, известные как (ε, δ) -определения , являются общепринятыми определениями пределов функции в различных контекстах.

Функции одной переменной [ править ]

Пусть F : R → R определена на вещественной прямой и р, L ∈ R . Можно было бы сказать, что предел f , когда x приближается к p , равен L и записывается

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L,}$

или, альтернативно, как:

${\ Displaystyle е (х) \ к L}$as (читается как " стремится как стремится к" ) ^[5]${\ displaystyle x \ to p}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

если выполняется следующее свойство:

• Для любого действительного ε  > 0 существует вещественное δ  > 0 такое, что для всех действительных x 0 <|  х  -  р  | <  δ влечет |  f ( x ) -  L  | <  ε . ^[6]

Более общее определение применяется к функциям, определенным на подмножествах реальной прямой. Пусть ( a ,  b ) - открытый интервал в R , а p - точка ( a ,  b ). Пусть f - вещественная функция, определенная на всех ( a ,  b ), кроме, возможно, самой p . Тогда говорят, что предел f при приближении x к p равен L, если для любого действительного ε > 0 существует действительноеδ > 0 такое, что 0 <| х  -  р  | <  δ и x  ∈ ( a ,  b ) следует, что | f ( x ) -  L  | <  ε .

Здесь обратите внимание, что значение предела не зависит от определения f в p или от значения f ( p ) - если оно определено.

Буквы ε и δ можно понимать как «ошибка» и «расстояние». Фактически, Коши использовал ε как сокращение от «ошибки» в некоторых своих работах ^[2], хотя в своем определении непрерывности он использовал бесконечно малую величину, а не ε или δ (см. Cours d'Analyse ). Таким образом, ошибка ( ε ) в измерении предельного значения может быть сделана сколь угодно малой путем уменьшения расстояния ( δ ) до предельной точки. Как обсуждается ниже, это определение также работает для функций в более общем контексте. Идея о том, что δ и ε${\ displaystyle \ alpha}$ Представление расстояний помогает предложить эти обобщения.

Существование и односторонние ограничения [ править ]

В качестве альтернативы x может приближаться к p сверху (справа) или снизу (слева), и в этом случае пределы могут быть записаны как

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р ^ {+}} е (х) = L}$

или же

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р ^ {-}} е (х) = L}$

соответственно. Если эти пределы существуют в точке р и равны там, то это может упоминаться как в пределе е ( х ) при р . ^[7] Если односторонние пределы существуют в p , но не равны, тогда нет предела в p (т.е. предел в p не существует). Если какой-либо односторонний предел не существует в p , то предел в p также не существует.

Формальное определение выглядит следующим образом. Предел f ( x ) при приближении x к p сверху равен L, если для любого ε  > 0 существует такое δ> 0, что | f ( x ) -  L | <  ε, если 0 <  x  -  p  <δ. Предел f ( x ) при приближении x к p снизу равен L, если для любого ε> 0 существует такое δ> 0, что | f ( x ) -  L | <  εвсякий раз, когда 0 <  p  -  x  <  δ .

Если предел не существует, то колебание из е в р не равен нулю.

Более общие подмножества [ править ]

Помимо открытых интервалов, пределы могут быть определены для функций на произвольных подмножествах R следующим образом ( Bartle & Sherbert 2000 ) : пусть f - вещественнозначная функция, определенная на подмножестве S действительной прямой. Пусть р является предельной точкой из S , то есть, р является пределом некоторой последовательности элементов S , отличных от р. Предел f , когда x приближается к p из значений в S , равен L, если для любого ε > 0 существует δошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBartleSherbert2000 ( справка )> 0 такое, что 0 <| х - р | < δ и x ∈ S следует, что | f ( x ) - L | < ε .

Этот предел часто записывается как:

${\ displaystyle L = {\ underset {x \ in S} {\ lim _ {x \ to p}}} f (x).}$

Условием определения f на S является то, что S является подмножеством области определения f . Это обобщение включает в себя как частные случаи ограничения на интервале, так и левосторонние пределы действительных функций (например, принимая S за открытый интервал формы ) и правые пределы (например, принимая S быть открытым интервалом формы ). Он также расширяет понятие односторонних пределов на включенные конечные точки (полу) замкнутых интервалов, поэтому функция квадратного корня f (x) = √ x может иметь предел 0, когда x приближается к 0 сверху.${\ Displaystyle (- \ infty, а)}$${\ Displaystyle (а, \ infty)}$

Удаленные и не удаленные ограничения [ править ]

Приведенное здесь определение предела не зависит от того, как (или от того , определяется ли) f в p . Бартл (1967) называет это удаленным пределом , поскольку он исключает значение f в p . Соответствующий неудаленный предел действительно зависит от значения f в p , если p находится в области f :

• Число L - это неудаленный предел f при приближении x к p, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что |  х  -  р  | <  δ и x  ∈  Dm ( f ) влечет |  f ( x ) -  L  | <  ε .

Определение то же самое, за исключением того, что окрестность |  х  -  р  | <  δ теперь включает точку p , в отличие от удаленной окрестности 0 <|  х  -  р  | <  δ . Это делает определение неудаленного лимита менее общим. Одно из преимуществ работы с неудаленными пределами состоит в том, что они позволяют сформулировать теорему о пределах композиций без каких-либо ограничений на функции (кроме существования их неудаленных пределов) ( Hubbard (2015) ).

Бартл (1967) отмечает, что, хотя под «ограничением» некоторые авторы действительно подразумевают этот не удаленный предел, удаленные ограничения являются наиболее популярными. Например, Апостол (1974) , Курант (1924) , Харди (1921) , Рудин (1964) , Уиттакер и Ватсон (1902) все используют термин «предел» для обозначения удаленного предела. harvtxt error: no target: CITEREFWhittakerWatson1902 (help)

Примеры [ править ]

Отсутствие односторонних ограничений [ править ]

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$

не имеет предела в (левый предел не существует из-за колебательного характера синусоидальной функции, а правый предел не существует из-за асимптотического поведения обратной функции), но имеет предел в каждом другом x -координата.${\displaystyle x_{0}=1}$

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$

(также известная как функция Дирихле ) не имеет предела ни по одной координате x .

Неравенство односторонних пределов [ править ]

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$

имеет предел в каждой ненулевой координате x (предел равен 1 для отрицательного x и равен 2 для положительного x ). Предел при x = 0 не существует (левый предел равен 1, а правый предел равен 2).

Ограничения только в одной точке [ править ]

Функции

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$

и

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$

оба имеют предел при x = 0, и он равен 0.

Ограничения в счетном количестве точек [ править ]

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$

имеет предел в любой x -координате вида , где n - любое целое число.${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2n\pi }$

Функции на метрических пространствах [ править ]

Пусть М и N являются подмножествами метрических пространств A и B , соответственно, и ф : М → N определен между M и N , при х ∈ М, р предельной точкой из M и L ∈ N . Говорят, что предел f при приближении x к p равен L, и пишем

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

если выполняется следующее свойство:

• Для любого ε> 0 существует такое δ> 0, что d _B ( f ( x ), L ) <ε, если 0 <  d _A ( x ,  p ) <  δ .

Опять же , обратите внимание , что р не должно быть в области е , и не L необходимости находиться в диапазоне от е , и даже если е ( р ) определяется она не должна быть равна L .

Альтернативное определение с использованием концепции соседства выглядит следующим образом:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

если для любой окрестности V из L в B , существует окрестность U из р в А такой , что F (U ∩ M - { р }) ⊆ V .

Функции на топологических пространствах [ править ]

Предположим, что X , Y - топологические пространства, причем Y - хаусдорфово пространство . Пусть р будет предельная точка из Ом ⊆  X и L ∈ Y . Для функции f : Ω → Y говорят, что предел f при приближении x к p равен L (т. Е. F ( x ) → L при x → p ) и записывается

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

если выполняется следующее свойство:

• Для каждой открытой окрестности V из L , существует открытая окрестность U из р такая , что F ( U  ∩ Ω - { р }) ⊆ V .

Эта последняя часть определения может быть также сформулирована «существует открытые проколотые окрестности U из р таких , что F ( U ∩Ω) ⊆ V ».

Обратите внимание, что область определения f не обязательно должна содержать p . Если это так, то значение f в точке p не имеет отношения к определению предела. В частности, если область F является Й  - { р } (или все из X ), то предел F , как х → р существует и равно L , если для всех подмножеств Q , из X с предельной точкой р , то предел сужения F на Q , существует и равна L . Иногда этот критерий используется для установленияотсутствие двустороннего предела функции на R , показывая, что односторонние пределы либо не существуют, либо не согласуются. Такой взгляд является фундаментальным в области общей топологии , где пределы и непрерывность в точке определяются в терминах специальных семейств подмножеств, называемых фильтрами или обобщенными последовательностями, известными как сети .

В качестве альтернативы требование, чтобы Y было хаусдорфовым пространством, можно ослабить до предположения, что Y - общее топологическое пространство, но тогда предел функции может быть не единственным. В частности, больше нельзя говорить о пределе функции в точке, а скорее о пределе или наборе ограничений в точке.

Функция непрерывна в граничной точке р из и в своей области , если и только если F ( р ) является (или, в общем случае, ) предел F ( х ) в виде й стремится к р .

Пределы бесконечности [ править ]

Пределы на бесконечности [ править ]

Для f ( x ) действительной функции предел f при приближении x к бесконечности равен L , обозначенный

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$

означает, что для всех существует c такое, что всякий раз , когда x  >  c . Или символически:${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists c\;\forall x>c:\;|f(x)-L|<\varepsilon }$.

Точно так же предел f, когда x стремится к отрицательной бесконечности, равен L , обозначенный

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$

означает, что для всех существует c такое, что всякий раз , когда x  <  c . Или символически:${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists c\;\forall x<c:\;|f(x)-L|<\varepsilon }$.

Например,

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0.\,}$

Бесконечные ограничения [ править ]

Для функции, значения которой неограниченно растут, функция расходится и обычного предела не существует. Однако в этом случае можно ввести пределы с бесконечными значениями. Например, утверждение, что предел f при приближении x к a равен бесконечности , обозначается

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty ,}$

означает, что для всех существует такое, что всякий раз , когда${\displaystyle N>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)>N}$${\displaystyle 0<|x-a|<\delta .}$

Эти идеи можно естественным образом комбинировать для получения определений различных комбинаций, таких как

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty .}$

Например,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty .}$

Пределы на бесконечность связаны с понятием асимптот .

Эти понятия предела пытаются дать интерпретацию метрического пространства предельным значениям на бесконечности. Фактически, они согласуются с определением предела в топологическом пространстве, если

• окрестность −∞ определяется как содержащая интервал [−∞,  c ) для некоторого c  ∈  R ,
• окрестность точки ∞ определяется как содержащая интервал ( c , ∞], где c  ∈  R , и
• окрестность в ∈ R определяется обычным способом метрического пространства R .

В этом случае R является топологическим пространством, и любая функция вида f :  X  →  Y с X ,  Y ⊆  R подлежит топологическому определению предела. Обратите внимание, что с помощью этого топологического определения легко определить бесконечные пределы в конечных точках, которые не были определены выше в метрическом смысле.

Альтернативная нотация [ править ]

Многие авторы ^[8] допускают использование проективно расширенной вещественной линии как способ включения бесконечных значений, а также расширенной вещественной линии . В этих обозначениях расширенная вещественная прямая задается как R ∪ {−∞, + ∞}, а проективно расширенная вещественная прямая имеет вид R  ∪ {∞}, где окрестностью ∞ является множество вида { x : | х | > c }. Преимущество состоит в том, что для охвата всех случаев достаточно трех определений пределов (левого, правого и центрального). Как указано выше, для полностью строгого учета нам нужно будет рассмотреть 15 отдельных случаев для каждой комбинации бесконечностей (пять направлений: −∞, левое, центральное, правое и + ∞; три границы: −∞, конечное или + ∞). Есть и заметные подводные камни. Например, при работе с расширенной реальной линией не имеет центрального ограничения (что нормально):${\displaystyle x^{-1}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$

Напротив, при работе с проективной действительной линией бесконечности (как и 0) беззнаковые, поэтому центральный предел действительно существует в этом контексте:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$

На самом деле существует множество противоречащих друг другу формальных систем. В некоторых приложениях численного дифференцирования и интегрирования , например, удобно иметь нули со знаком . Простая причина связана с обратным , а именно, это удобно, чтобы считаться истинным. Такие нули можно рассматривать как приближение к бесконечно малым .${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty }$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

Бесконечные пределы для рациональных функций [ править ]

Есть три основных правила для оценки пределов на бесконечности для рациональной функции f ( x ) = p ( x ) / q ( x ): (где p и q - многочлены):

• Если степень из р больше , чем степень д , то предел положительная или отрицательная бесконечность в зависимости от признаков старших коэффициентов;
• Если степени p и q равны, предел - это старший коэффициент p, деленный на старший коэффициент q ;
• Если степень p меньше степени q , предел равен 0.

Если предел на бесконечности существует, то он представляет собой горизонтальную асимптоту у = L . Полиномы не имеют горизонтальных асимптот; однако такие асимптоты могут встречаться с рациональными функциями.

Функции более чем одной переменной [ править ]

Отметив, что | х  -  р | представляет собой расстояние, определение предела может быть распространено на функции более чем одной переменной. В случае функции f : R ² → R ,

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$

если

для любого ε > 0 существует такое δ> 0, что для всех ( x , y ) с 0 <|| ( x , y ) - ( p , q ) || <δ, то | f ( x , y ) -  L | <ε

где || ( x , y ) - ( p , q ) || представляет собой евклидово расстояние . Это можно распространить на любое количество переменных.

Последовательные ограничения [ править ]

Пусть F : X → Y отображение из топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y , р ∈ X предельной точки X и L ∈ Y .

Последовательный предел из F , как х стремится к р является L , если для каждой последовательности ( х _п ) в X - { р } , что сходится к р , последовательность F ( х _п ) сходится к L .

Если L является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p , то это также последовательный предел, однако обратное утверждение не обязательно. Если вдобавок X является метризуемым , то L является последовательным пределом f, когда x приближается к p, тогда и только тогда, когда это предел (в указанном выше смысле) f, когда x приближается к p .

Другие характеристики [ править ]

Что касается последовательностей [ править ]

Для функций на действительной прямой один из способов определить предел функции - это предел последовательностей. (Это определение обычно приписывают Эдуарду Гейне .) В этой обстановке:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

тогда и только тогда, когда для всех последовательностей ( не равных a для всех n ) сходящаяся к последовательности сходится к . Как было показано Серпинский в 1916 году , что доказывает эквивалентность этого определения и определение выше, требует и эквивалентно слабой форме аксиомы выбора . Обратите внимание, что для определения того, что означает схождение последовательности, требуется эпсилон, дельта-метод .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x_{n})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle a}$

Аналогично тому, как это было в случае определения Вейерштрасса, более общее определение Гейне применяется к функциям, определенным на подмножествах вещественной прямой. Пусть f - вещественная функция с областью определения Dm ( f ). Пусть a - предел последовательности элементов Dm ( f ) \ { a }. Тогда предел (в этом смысле) F является L в качестве х подходов р , если для любой последовательности  ∈  Dm ( е ) \ { } (так что для всех п , не равно${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$а ) сходящаяся к а , последовательность сходится к . Это то же самое, что определение последовательного предела в предыдущем разделе, полученное путем рассмотрения подмножества Dm ( f ) в R как метрического пространства с индуцированной метрикой.${\displaystyle f(x_{n})}$${\displaystyle L}$

В нестандартном исчислении [ править ]

В нестандартном исчислении предел функции определяется:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

тогда и только тогда, когда для всех , бесконечно мал, когда бесконечно мал. Вот являются числами Гипердействительного и является естественным продолжением е к нестандартным действительным числам. Кейслер доказал, что такое гиперреалистическое определение предела уменьшает кванторную сложность на два квантора. ^[9] С другой стороны, Хрбачек пишет, что определения действительны для всех гиперреальных чисел, они должны неявно основываться на методе ε-δ, и утверждает, что с педагогической точки зрения надежда на нестандартные исчисление может быть выполнено без ε-δ методы не могут быть реализованы в полной мере. ^[10]${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}$${\displaystyle f^{*}(x)-L}$${\displaystyle x-a}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$${\displaystyle f^{*}}$ Bŀaszczyk et al. подробно описывают полезность микропрерывности в разработке прозрачного определения единой непрерывности и охарактеризовывают критику Хрбачека как «сомнительную жалобу». ^[11]

По близости [ править ]

На Международном математическом конгрессе 1908 г. Ф. Рис представил альтернативный способ определения пределов и непрерывности понятия, названный «близостью». Точка определяется как находящаяся рядом с множеством, если для каждого существует точка, такая что . В этой настройке ${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle |x-a|<r}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

если и только если для всех , рядом, когда рядом . Вот набор . Это определение также можно распространить на метрические и топологические пространства.${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}}$

Отношение к непрерывности [ править ]

Понятие предела функции очень тесно связано с концепцией непрерывности. Функция ƒ называется непрерывной в c, если она определена в c и ее значение в c равно пределу f, когда x приближается к c :

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$

(Здесь мы предположили, что c - предельная точка области определения f .)

Свойства [ править ]

Если функция F вещественна, то предел е на р является L , если и только если обе правые предела и левой рукой предел е в р существуют и равны L .

Функция F является непрерывным в р тогда и только тогда , когда предел F ( х ) как х приближается к р существует и равен F ( р ). Если f : M → N - функция между метрическими пространствами M и N , то это эквивалентно тому, что f преобразует каждую последовательность в M, сходящуюся к p, в последовательность в N, сходящуюся к f ( p ).

Если N - нормированное векторное пространство , то предельная операция линейна в следующем смысле: если предел f ( x ) при приближении x к p равен L, а предел g ( x ) при приближении x к p равен P , то предел F ( х ) + д ( х ) как х приближается к р является L + P . Если a - скаляр из базового поля , то пределaf ( x ), когда x приближается к p, является aL .

Если е и г имеют вещественные (или комплекснозначных) функции, то переходя к пределу операции на F ( х ) и г ( х ) (например, , , , , ) при определенных условиях совместим с операцией пределы f (x) и g (x) . Этот факт часто называют алгебраической предельной теоремой.${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f\times g}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f^{g}}$. Основным условием, необходимым для применения следующих правил, является наличие пределов в правых частях уравнений (другими словами, эти пределы являются конечными значениями, включая 0). Кроме того, тождество для деления требует, чтобы знаменатель в правой части был отличным от нуля (деление на 0 не определено), а тождество для возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или нулем, когда показатель степени положительный (конечный ).

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\\\lim \limits _{x\to p}&f(x)^{g(x)}&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)^{\lim \limits _{x\to p}g(x)}}\end{matrix}}}$

Эти правила также действительны для односторонних ограничений, в том числе, когда p равно ∞ или −∞. В каждом приведенном выше правиле, когда одно из пределов справа равно ∞ или −∞, предел слева может иногда все же определяться следующими правилами.

• q + ∞ = ∞, если q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞, если q > 0
• q × ∞ = −∞, если q <0
• q / ∞ = 0, если q ≠ ∞ и q ≠ −∞
• ∞ ^q = 0, если q <0
• ∞ ^q = ∞, если q > 0
• q ^∞ = 0, если 0 < q <1
• q ^∞ = ∞, если q > 1
• q ^−∞ = ∞, если 0 < q <1
• q ^−∞ = 0, если q > 1

(см. также строку с расширенными действительными числами ).

В других случаях предел слева может все еще существовать, хотя правая часть, называемая неопределенной формой , не позволяет определить результат. Это зависит от функций f и g . Эти неопределенные формы:

• 0/0
• ± ∞ / ± ∞
• 0 × ± ∞
• ∞ + −∞
• 0 ⁰
• ∞ ⁰
• 1 ^{± ∞}

См. Далее правило L'Hôpital и неопределенную форму .

Пределы составов функций [ править ]

В общем, зная, что

${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$и ,${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b}$

из этого не следует . Однако это «цепное правило» действительно, если выполняется одно из следующих дополнительных условий:${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c}$

• f ( b ) = c (то есть f непрерывна в b ), или
• g не принимает значение b рядом с a (то есть существует такое, что if then ).${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$${\displaystyle |g(x)-b|>0}$

В качестве примера этого явления рассмотрим следующие функции, которые нарушают оба дополнительных ограничения:

${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}.}$

Поскольку значение в f (0) является устранимым разрывом ,

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$для всех .${\displaystyle a}$

Таким образом, наивное цепное правило предполагает, что предел f ( f ( x )) равен 0. Однако это тот случай, когда

${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

и так

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$для всех .${\displaystyle a}$

Пределы особого интереса [ править ]

Рациональные функции [ править ]

Для неотрицательного целого числа и констант и ,${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}{x}^{n}+a_{2}{x}^{n-1}+a_{3}{x}^{n-2}+...+a_{n}}{b_{1}{x}^{n}+b_{2}{x}^{n-1}+b_{3}{x}^{n-2}+...+b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$

Это можно доказать, разделив числитель и знаменатель на . Если числитель является многочленом более высокой степени, предел не существует. Если знаменатель более высокой степени, предел равен 0.${\displaystyle x^{n}}$

Тригонометрические функции [ править ]

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

Экспоненциальные функции [ править ]

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=\lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}\ln c}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$

Логарифмические функции [ править ]

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b\ln c}}}$

Правило L'Hôpital [ править ]

Это правило использует производные для нахождения пределов неопределенных форм 0/0 или ± ∞ / ∞ и применяется только к таким случаям. Другие неопределенные формы могут быть преобразованы в эту форму. Учитывая две функции f ( x ) и g ( x ) , определенные на открытом интервале I, содержащем желаемую предельную точку c , тогда, если:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ или , и${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }$
2. ${\displaystyle f}$и дифференцируемы , и${\displaystyle g}$${\displaystyle I\setminus \{c\}}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$для всех , и${\displaystyle x\in I\setminus \{c\}}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ существуют,

тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Обычно первое условие является самым важным.

Например:${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Суммирования и интегралы [ править ]

Определение бесконечной границы для суммирования или интеграла - это обычное сокращение для определения предела.

Краткий способ записать предел - . Важным примером пределов сумм, таких как эти, являются серии .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i)}$

Краткий способ записать предел - .${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt}$

Краткий способ записать предел - .${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с ограничением функции .

• Обозначение Big O
• Правило L'Hôpital
• Список лимитов
• Предел последовательности
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее
• Сеть (топология)
• Нестандартное исчисление
• Теорема сжатия

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Аддисон – Уэсли, ISBN 0-201-00288-4
• Бартл, Роберт (1967), элементы реального анализа , Wiley
• Курант, Ричард (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung , Springer Verlag
• Харди, GH (1921), курс чистой математики , Cambridge University Press
• Хаббард, Джон Х. (2015), Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: унифицированный подход (пятое изд.), Matrix Editions
• Пейдж, Уоррен; Херш, Рувим; Селден, Энни; и др., ред. (2002), "Media Highlights", The College Mathematics , 33 (2): 147–154, JSTOR  2687124..
• Рудин, Уолтер (1964), принципы математического анализа , McGraw-Hill
• Сазерленд, Вашингтон (1975), Введение в метрические и топологические пространства , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
• Шерберт, Роберт (2000), Введение в реальный анализ , Wiley
• Уиттакер ; Уотсон (1904), Курс современного анализа , Cambridge University Press

Внешние ссылки [ править ]

• MacTutor История Вейерштрасса.
• MacTutor История Больцано
• Визуальное Исчисление по Лоуренс С. Husch , Университет Теннесси (2001)