Предельная точка

В математике , предельная точка (или точка кластера или точка накопления ) из множества в топологическом пространстве есть точка , которая может быть «приблизить» точки в том смысле , что каждый район в относительно топологии на также содержит точку из другого , чем себя. Предельная точка набора сама по себе не обязательно должна быть элементом${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Предельные точки не следует путать с адгезивными точками , для которых каждая окрестность в содержит точку . В отличие от предельных точек, эта точка может быть самой собой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку сцепления, которая не является изолированной точкой .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$

Предельные точки также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не является предельной точкой) множества в с стандартной топологией . Однако это предельная точка (но не граничная) интервала в стандартной топологии (менее тривиальный пример предельной точки см. В первом заголовке). ^{[1] [2] [3]}${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0.5}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и лежит в основе таких понятий, как замкнутое множество и топологическое замыкание . В самом деле, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Что касается обычной евклидовой топологии , последовательность рациональных чисел не имеет предела (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками ), а именно. -1 и +1. Таким образом, с точки зрения множеств, эти точки являются предельными точками множества.${\ displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ frac {n} {n + 1}}}$${\ displaystyle \ {x_ {n} \}.}$

Существует также очень похожая концепция последовательностей . Точка кластера (или точка накопления ) из последовательности в топологическом пространстве есть точка такая , что для каждых окрестностей из бесконечно многих натуральных чисел таким образом, что эта концепция обобщается сетки и фильтрам .${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {n} \ in V.}$

Определение [ править ]

Пусть подмножество в топологическом пространстве точки А в это предельная точка (или точка кластера или точка накопления ) из , если каждая окрестность из содержит , по меньшей мере , одну точки отличается от самой себя. ${\ displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения «общей окрестности» для получения фактов из известной предельной точки.

Если является пространством (которым являются все метрические пространства ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек. Фактически, пространства характеризуются этим свойством. ${\displaystyle X}$ T 1 {\displaystyle T_{1}} ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle T_{1}}$

Если это Фреш-Урысон (который все метрические пространства и первый счетные пространства есть), то есть предельная точка тогда и только тогда , когда существует последовательность точек , в которых предел является На самом деле, Фреш-Урысон характеризуются это свойство.${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$${\displaystyle x.}$

Множество предельных точек называется производное множество из${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Типы предельной точки [ править ]

Если каждая окрестность содержит бесконечно много точек , то есть тип специфики предельной точки называется точка ω-накопление в${\displaystyle x}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность содержит несчетное множество точек , то есть тип специфики предельной точки называется точкой конденсации из${\displaystyle x}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность из удовлетворяет то тип специфики предельной точки называется точкой полного накопления в${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left|U\cap S\right|=\left|S\right|,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

Для последовательностей и сетей [ править ]

В топологическом пространстве точка называется быть точка кластера (или точка накопления ) последовательности , если для любых окрестностей из бесконечно много таких , что это эквивалентно сказать , что для каждых окрестностей из и каждого есть некоторые такие , что Если - метрическое пространство или пространство с первым счетом (или, в более общем смысле, пространство Фреше – Урысона ), то является кластерной точкой тогда и только тогда, когда является пределом некоторой подпоследовательности${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n}\in V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle x_{n}\in V.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$ Набор всех кластерных точек последовательности иногда называют предельным набором .

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности, означающее точку, к которой сходится последовательность (то есть каждая окрестность точки содержит все, кроме конечного числа элементов последовательности). Вот почему мы не используем термин « предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть - это функция, где - направленное множество и является топологическим пространством. Точка называется быть точкой кластера (или точка накопления ) из сети , если для каждых окрестностей из и каждых есть некоторые такие , что эквивалентно, если имеют подсети , которая сходится к точкам кластера в сети охватывает идею оба точек конденсации и ω-точки накопления. Для фильтров также определены точки кластеризации и ограничения .${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{0}\in P,}$${\displaystyle p\geq p_{0}}$${\displaystyle f(p)\in V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора [ править ]

Каждая последовательность в по определению является просто картой, поэтому ее изображение можно определить обычным образом. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Если существует элемент, который встречается в последовательности бесконечно много раз, это точка накопления последовательности. Но не обязательно быть точкой накопления соответствующего набора. Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением, которое мы имеем, и является изолированной точкой, а не точкой накопления${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является точкой накопления связанного набора.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

И наоборот, учитывая счетное бесконечное множество в, мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и, таким образом, связать с ним множество последовательностей, которые будут удовлетворять${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Любая точка накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой связанной последовательности).${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• Точка, которая не является точкой накопления, не может быть точкой накопления какой-либо из ассоциированных последовательностей без бесконечных повторов (потому что имеет окрестность, которая содержит только конечное количество (возможно, даже ни одной) точек, и эта окрестность может содержать только конечное количество членов таких последовательностей).${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

Свойства [ править ]

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой привязки .

Замыкание множества - это несвязное объединение его предельных и изолированных точек :${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L(S)}$${\displaystyle I(S)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S),L(S)\cap I(S)=\varnothing .}$

Точка является предельной точкой тогда и только тогда , когда он находится в замыкании на${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Если мы будем использовать для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику закрытия : Закрытие равно объединению и этот факт иногда берется как определение о закрытии .${\displaystyle L(S)}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L(S).}$

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.${\displaystyle S}$

Никакая изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.

Пространство является дискретным тогда и только тогда , когда нет подмножества не имеет предельную точку.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками. Если одноэлементное пространство, то каждая точка является предельной точкой пространства.${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle S.}$

См. Также [ править ]

• Точка привязки  - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации
• Конвергентный фильтр
• Производное множество (математика)
• Фильтры в топологии  - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Изолированная точка
• Предел функции  - точка, к которой сходятся функции в топологии.
• Предел последовательности  - значение, к которому "стремятся" элементы последовательности.

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• "Предельная точка множества" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]