Отрезок

Геометрическое определение замкнутого отрезка прямой: пересечение всех точек на или справа от A со всеми точками на или слева от B

исторический образ - создать отрезок (1699)

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В геометрии , A отрезок является частью линии , ограниченная два различных конечных точек , и содержит каждую точку на линии между ее концами. Замкнутый отрезок включает в себя как конечные точки, в то время как сегмент открытой линии исключает оба конечных точки; полуоткрытый отрезок включает в себя ровно один из концов. В геометрии сегмент линии часто обозначается с помощью линии над символами двух конечных точек (например, ). ^{[1] [2]}${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$

Примеры сегментов линии включают стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольника или многогранника , линейный сегмент является либо ребром (этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, окружности ), отрезок линии называется хордой (этой кривой).

В реальных или сложных векторных пространствах [ править ]

Если V является векторным пространством над или , и L представляет собой подмножество из V , то L представляет собой отрезок линии , если L может быть параметрироваться${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in [0,1] \}}$

для некоторых векторов . В этом случае, векторы U и U + V называются конечные точки L .${\ Displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ в V \, \!}$

Иногда нужно различать «открытые» и «закрытые» отрезки линии. В этом случае можно определить замкнутый линейный сегмент, как указано выше, и открытый линейный сегмент как подмножество L, которое можно параметризовать как

${\ displaystyle L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in (0,1) \}}$

для некоторых векторов .${\ Displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ в V \, \!}$

Эквивалентно отрезок прямой - это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок линии можно представить как выпуклую комбинацию двух конечных точек отрезка.

В геометрии можно определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C , если расстояние AB, добавленное к расстоянию BC , равно расстоянию AC . Таким образом , в отрезке линии с концами A = ( a _x , a _y ) и C = ( c _x , c _y ) есть следующий набор точек: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ {(x, y) | {\ sqrt {(x-c_ {x}) ^ {2} + (y-c_ {y}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x- a_ {x}) ^ {2} + (y-a_ {y}) ^ {2}}} = {\ sqrt {(c_ {x} -a_ {x}) ^ {2} + (c_ {y} -a_ {y}) ^ {2}}} \}}$.

Свойства [ править ]

• Сегмент линии представляет собой связное , непустое множество .
• Если V является топологическим векторным пространством , то замкнутый отрезок является замкнутым множеством в V . Тем не менее, сегмент открытой линии представляет собой открытое множество в V тогда и только тогда , когда V является одномерным .
• В более общем плане, чем указано выше, понятие линейного сегмента может быть определено в упорядоченной геометрии .
• Пара отрезков может быть любым из следующих: пересекающимся , параллельным , наклонным или ни одним из них. Последняя возможность - это то, чем отрезки прямых отличаются от прямых: если две непараллельные прямые находятся в одной евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно верно для отрезков.

В доказательствах [ править ]

В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается, что удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, набор является выпуклым, если сегмент, соединяющий любые две точки набора, содержится в наборе. Это важно, поскольку при этом часть анализа выпуклых множеств преобразуется в анализ отрезка прямой. Добавление сегмента постулат может быть использован для добавления конгруэнтного сегмента или сегментов с одинаковыми длинами, и , следовательно , заменить другие сегменты в другое заявление , чтобы сделать сегменты конгруэнтны.

Как вырожденный эллипс [ править ]

Сегмент линии можно рассматривать как вырожденный случай из с эллипсом , в котором малая полуось стремится к нулю, в фокусах Перейти к конечным точкам, а эксцентриситет идет к одному. Стандартное определение эллипса - это набор точек, для которых сумма расстояний от точки до двух фокусов является постоянной; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .

В других геометрических формах [ править ]

В дополнении к появлению в качестве ребер и диагоналей из многоугольников и многогранников , линейные сегменты также появляются в многочисленных других местах , по сравнению с другими геометрическими формами .

Треугольники [ править ]

Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольнике включают в себя три высоты (каждая перпендикулярно соединяет сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая соединяет среднюю точку стороны с противоположной вершиной), серединные перпендикуляры сторон ( перпендикулярно соединяющей среднюю точку стороны с одной из других сторон) и биссектрисы внутреннего угла (каждая соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенствасоотнесение длин этих сегментов с другими (обсуждается в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства .

Другие представляющие интерес сегменты в треугольнике включают те, которые соединяют различные центры треугольников друг с другом, в первую очередь центр , центр описанной окружности , центр с девятью точками , центроид и ортоцентр .

Четырехугольники [ править ]

Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , важными сегментами являются два бимедиана (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре солодки (каждый перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).

Круги и эллипсы [ править ]

Любой отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности или эллипсе , называется хордой . Любая хорда в окружности, которая больше не имеет хорды, называется диаметром , а любой сегмент, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .

В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а отрезок от средней точки большой оси (центр эллипса) до любой конечной точки большой оси называется большой полуосью. . Точно так же наименьший диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды ​​эллипса, которые перпендикулярны большой оси и проходят через один из его фокусов , называются боковой прямой частью эллипса. Interfocal сегмент соединяет два фокусы.

Направленный линейный сегмент [ править ]

Когда линейному сегменту задается ориентация (направление), он предполагает перемещение или, возможно, силу, стремящуюся к перемещению. Величина и направление указывают на возможное изменение. Это предположение вошло в математическую физику благодаря концепции евклидова вектора . ^{[3] [4]} Набор всех ориентированных отрезков прямой обычно сокращается путем создания «эквивалентной» любой пары, имеющей одинаковую длину и ориентацию. ^[5] Это применение отношения эквивалентности восходит к введению Джусто Беллавитиса концепции равноправия. направленных отрезков в 1835 г.

Обобщения [ править ]

Аналогично сегментам прямых линий выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .

См. Также [ править ]

• Пунктирная линия
• Интервал (математика)
• Линия (геометрия)
• Пересечение отрезков, алгоритмическая задача поиска пересекающихся пар в наборе отрезков прямых
• Spirangle
• Постулат сложения сегментов

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дэвид Гильберт Основы геометрии . Издательство Open Court, 1950, стр. 4

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме линейного сегмента .

Найдите линейный сегмент в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Отрезок» . MathWorld .
• Отрезок линии в PlanetMath
• Копирование отрезка линии с помощью циркуля и линейки
• Разделение отрезка линии на N равных частей с помощью циркуля и линейки Анимированная демонстрация

Эта статья включает материал из сегмента Line на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .