Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с линейного )
Перейти к навигации Перейти к поиску

Линейность - это свойство математической зависимости ( функции ), которую можно графически представить в виде прямой линии . Линейность тесно связана с пропорциональностью . Примеры в физике включают линейную зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике ( закон Ома ) и соотношение массы и веса . Напротив, более сложные отношения нелинейны .

Обобщенная для функций в более чем одном измерении , линейность означает свойство функции совместимости с сложением и масштабированием , также известное как принцип суперпозиции .

Слово linear происходит от латинского linearis , «относящийся к линии или похожий на нее».

По математике [ править ]

В математике линейная карта или линейная функция f ( x ) - это функция, которая удовлетворяет двум свойствам: [1]

  • Аддитивность : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
  • Однородность степени 1: fx ) = α f ( x ) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции. В этом определении x не обязательно является действительным числом , но, как правило, может быть элементом любого векторного пространства . Более специальное определение линейной функции , не совпадающее с определением линейного отображения, используется в элементарной математике (см. Ниже).

Одна аддитивность предполагает гомогенность для рациональных а, поскольку предполагает для любого натурального числа п по математической индукции , а затем вытекает . Плотность рациональных чисел в переАльсу означает , что любая добавка непрерывная функция однородна для любого действительного числа а, и, следовательно , линейная.

Понятие линейности можно распространить на линейные операторы . Важные примеры линейных операторов включают производную, рассматриваемую как дифференциальный оператор , и другие операторы, построенные на ее основе, такие как del и лапласиан . Когда дифференциальное уравнение может быть выражено в линейной форме, его обычно можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решив каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейная алгебра - это раздел математики, связанный с изучением векторов , векторных пространств (также называемых «линейными пространствами»), линейных преобразований (также называемых «линейными отображениями») и систем линейных уравнений.

Описание линейных и нелинейных уравнений см. В разделе « Линейное уравнение» .

Линейные многочлены [ править ]

В другом использовании к приведенному выше определению полином степени 1 называется линейным, потому что график функции этой формы представляет собой прямую линию. [2]

Линейное уравнение над вещественными числами является одной из форм:

где m часто называют уклоном или уклоном ; b - точка пересечения по оси Y , которая дает точку пересечения между графиком функции и осью Y.

Обратите внимание, что это использование термина линейный не то же самое, что и в предыдущем разделе, потому что линейные многочлены над действительными числами, как правило, не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. Фактически, они делают это тогда и только тогда, когда b = 0 . Следовательно, если b ≠ 0 , функцию часто называют аффинной функцией (см. В общих чертах аффинное преобразование ).

Логические функции [ править ]

В булевой алгебре линейная функция - это функция, для которой существует такая, что

, куда

Обратите внимание, что если , указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т.е. не линейной).

Булева функция является линейной, если для таблицы истинности функции выполняется одно из следующих условий :

  1. В каждой строке, в которой значение истинности функции равно T , аргументам присвоено нечетное количество Ts, а в каждой строке, в которой функция - F, аргументам присвоено четное количество Ts. В частности, f (F, F, ..., F) = F , и эти функции соответствуют линейным отображениям в булевом векторном пространстве.
  2. В каждой строке, в которой значение функции равно T, есть четное число Ts, присвоенное аргументам функции; и в каждой строке, в которой значение истинности функции равно F, аргументам присвоено нечетное количество Ts. В этом случае F (F, F, ..., F) = T .

Другой способ выразить это: каждая переменная всегда влияет на истинное значение операции или никогда не имеет значения.

Отрицание , логический biconditional , исключающее или , тавтология и противоречие являются линейными функциями.

Физика [ править ]

В физике , линейность является свойством дифференциальных уравнений , регулирующих многие систем; например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии . [3]

Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то любая линейная комбинация af + bg тоже.

В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной дает такое же изменение выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В общем, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. В отличие от этого, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, если он не превышает определенное абсолютное пороговое количество фотонов.

Электроника [ править ]

В электронике , линейный рабочей области устройства, например транзистор , то , где зависимой переменной (например, коллектор транзистора ток ) прямо пропорционален к независимой переменной (например , как базового тока). Это гарантирует, что аналоговый выход является точным представлением входа, обычно с более высокой амплитудой (усиленный). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный звуковой усилитель , который должен усиливать сигнал без изменения его формы волны. Другие - это линейные фильтры , линейные регуляторы и линейные усилители в целом.

В большинстве научных и технологических , в отличие от математических, приложений что-то может быть описано как линейное, если характеристика является приблизительно, но не совсем прямой линией; и линейность может быть действительной только в определенной рабочей области - например, усилитель с высоким качеством воспроизведения может искажать слабый сигнал, но достаточно мало, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но несовершенная линейность); и может очень сильно искажаться, если ввод превышает определенное значение. [4]

Интегральная линейность [ править ]

Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует количество в другое количество, Бертрам С. Кольтс пишет: [5] [6]

Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с отсчетом от нуля и конечная, или конечная точка, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой. Линейность обычно измеряется в единицах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полной шкалы., или в ppm (миллионных долях) полной шкалы. Обычно прямую линию получают путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактических характеристик устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических рабочих характеристиках устройства.

Военно-тактические соединения [ править ]

В военных строе , «линейные формации» , были адаптированы , начиная с фаланги-подобные образованиям пики , защищенных handgunners, в стороне мелких образований handgunners защищенного прогрессивно меньшим количество пиков. Этот вид образования становился все более тонким, пока не достиг своего предела в эпоху Веллингтонской « Тонкой красной линии ». В конечном итоге он был заменен приказом о перестрелках, когда изобретение казенной винтовки позволило солдатам передвигаться и вести огонь небольшими мобильными подразделениями, не поддерживаемыми крупными соединениями любой формы.

Искусство [ править ]

Линейное искусство - это одна из пяти категорий, предложенных швейцарским историком искусства Генрихом Вельфлином, чтобы отличить «классическое», или искусство эпохи Возрождения , от барокко . Согласно Вельфлину, художники пятнадцатого и начала шестнадцатого веков ( Леонардо да Винчи , Рафаэль или Альбрехт Дюрер ) более прямолинейны, чем « живописные » художники барокко семнадцатого века ( Питер Пауль Рубенс , Рембрандт и Веласкес ), потому что они в основном используют контур для создания формы . [7] На линейность в искусстве можно ссылаться и в цифровом искусстве.. Например, гипертекстовая художественная литература может быть примером нелинейного повествования , но существуют также веб-сайты, разработанные так, чтобы идти определенным, организованным образом, следуя линейному пути.

Музыка [ править ]

В музыке линейный аспект - это последовательность, интервалы или мелодия , в отличие от одновременности или вертикального аспекта.

Измерение [ править ]

При измерении термин «линейный фут» относится к количеству футов на прямой линии материала (такого как брус или ткань), как правило, без учета ширины. Иногда это неправильно называют «прямой ногой»; тем не менее, «lineal» обычно используется для обозначения линий происхождения или наследственности. [1]

См. Также [ править ]

  • Линейный привод
  • Линейный элемент
  • Линейная система
  • Линейная среда
  • Линейное программирование
  • Линейное дифференциальное уравнение
  • Билинейный
  • Полилинейный
  • Линейный двигатель
  • Скрипты Linear A и Linear B.
  • Линейная интерполяция

Ссылки [ править ]

  1. ^ Эдвардс, Гарольд М. (1995). Линейная алгебра . Springer. п. 78. ISBN 9780817637316.
  2. ^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные , 6-е изд., Обучение Брукса Коула Сенсага. ISBN 978-0-495-01166-8 , раздел 1.2 
  3. ^ Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными (PDF) , Аспирантура по математике , 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / gsm / 019 , ISBN  978-0-8218-4974-3, Руководство по ремонту  2597943
  4. Перейти ↑ Whitaker, Jerry C. (2002). Справочник по системам передачи РЧ . CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
  5. ^ Кольтс, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности» (PDF) . analogZONE. Архивировано из оригинального (PDF) 4 февраля 2012 года . Проверено 24 сентября 2014 года .
  6. ^ Кольтс, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности» . Зарубежная электронная измерительная техника . 24 (5): 30–31 . Проверено 25 сентября 2014 года .
  7. ^ Вельфлина, Heinrich (1950). Хоттингер, доктор медицины (ред.). Основы истории искусства: проблема развития стиля в более позднем искусстве . Нью-Йорк: Дувр. С.  18–72 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Словарное определение линейности в Викисловаре