В математике , А дробно - линейное преобразование , грубо говоря, преобразование вида
который имеет обратное . Точное определение зависит от природы a , b , c , d и z . Другими словами, дробно-линейное преобразование - это преобразование , которое представлено дробью , числитель и знаменатель которой линейны .
В большинстве случаев a , b , c , d и z являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса ) или, в более общем смысле, элементами поля . Тогда условие обратимости ad - bc ≠ 0 . Над полем, дробно - линейное отображение является ограничение на поле проективного преобразования или омографии из проективной прямой .
Когда a , b , c , d являются целыми числами (или, в более общем смысле, принадлежат области целостности ), предполагается , что z является рациональным числом (или принадлежит области дробей области целостности. В этом случае Условие обратимости состоит в том, что ad - bc должна быть единицей области (т. е.1 или−1 в случае целых чисел). [1]
В наиболее общем случае a , b , c , d и z являются квадратными матрицами или, в более общем смысле, элементами кольца . Примером такого дробно-линейного преобразования является преобразование Кэли , которое изначально было определено на кольце вещественных матриц 3 x 3 .
Дробно - линейные преобразования широко используются в различных областях математики и ее приложения в технике, например, классической геометрии , теории чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлс о Великая теорема Ферма ), теории групп , теории управления .
Общее определение
В общем, дробно - линейное преобразование является гомография Р ( А ), на проективной прямой над кольцом A . Когда A - коммутативное кольцо , дробно-линейное преобразование имеет знакомый вид
где , Ь , с , d являются элементами A , так что объявления - Ьс является блок из А (то есть объявления - Ьс имеет мультипликативный обратный в A )
В некоммутативном кольце A с ( z, t ) в A 2 единицы u определяют отношение эквивалентности Класс эквивалентности в проективной прямой над A записывается U [ г, т ] , где скобки обозначают проекционные координаты . Тогда справа от элемента P ( A ) действуют дробно-линейные преобразования :
Кольцо вложено в свою проективную прямую посредством z → U [ z , 1], поэтому t = 1 восстанавливает обычное выражение. Это дробно-линейное преобразование хорошо определено, поскольку U [ za + tb , zc + td ] не зависит от того, какой элемент выбран из его класса эквивалентности для операции.
Дробно-линейные преобразования образуют группу , обозначаемую
Группа дробно-линейных преобразований называется модулярной группой . Он широко изучался из-за его многочисленных приложений к теории чисел , включая, в частности, доказательство Великой теоремы Ферма Уайлсом .
Использование в гиперболической геометрии
В комплексной плоскости обобщен круг является либо прямой или окружности. Когда завершается бесконечно удаленная точка, обобщенные круги на плоскости соответствуют окружностям на поверхности сферы Римана , выражению комплексной проективной линии. Дробно-линейные преобразования переставляют эти окружности на сфере и соответствующие конечные точки обобщенных окружностей на комплексной плоскости.
Для построения моделей гиперболической плоскости единичный диск и верхняя полуплоскость используются для представления точек. Эти подмножества комплексной плоскости снабжены метрикой с метрикой Кэли-Клейна . Затем вычисляется расстояние между двумя точками с использованием обобщенного круга, проходящего через точки и перпендикулярного границе подмножества, используемого для модели. Этот обобщенный круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в перекрестном соотношении, которое определяет метрику Кэли-Клейна. Дробно-линейные преобразования оставляют неизменным поперечное отношение, поэтому любое дробно-линейное преобразование, которое оставляет единичный диск или верхние полуплоскости стабильными, является изометрией метрического пространства гиперболической плоскости . Поскольку Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . Каждая модель имеет группу изометрий, которая является подгруппой группы Мебиуса : группа изометрий для модели диска - это SU (1, 1), где дробно-линейные преобразования являются «специальными унитарными», а для верхней полуплоскости изометрия группа - это PSL (2, R), проективная линейная группа дробно-линейных преобразований с вещественными элементами и определителем, равным единице. [2]
Использование в высшей математике
Мёбиус преобразование обычно появляется в теории цепных дробей , а в аналитической теории чисел из эллиптических кривых и модулярных форм , так как она описывает автоморфизмы верхней полуплоскости под действием модулярной группы . Он также предоставляет канонический пример расслоения Хопфа , где геодезический поток, индуцированный дробно-линейным преобразованием, разбивает комплексное проективное пространство на стабильные и неустойчивые многообразия , причем орициклы появляются перпендикулярно геодезическим. См. Поток Аносова для рабочего примера расслоения: в этом примере геодезические задаются дробно-линейным преобразованием
с a , b , c и d реальными, с. Грубо говоря, центральное многообразие порождается параболическими преобразованиями , неустойчивое многообразие - гиперболическими преобразованиями, а устойчивое многообразие - эллиптическими преобразованиями.
Использование в теории управления
Линейные дробные преобразования широко используются в теории управления для решения проблем взаимосвязи между установкой и контроллером в машиностроении и электротехнике . [3] [4] Общая процедура комбинирования дробно-линейных преобразований со звездным произведением Редхеффера позволяет применять их к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая S-матричный подход в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустические волны в средах (например, термоклины и подводные лодки в океанах и т. д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3x3 относятся к входящему, связанному и исходящему состояниям. Возможно, самый простой пример применения дробно-линейных преобразований происходит при анализе затухающего гармонического осциллятора . Другое элементарное приложение является получение нормальной формы Фробениуса , т.е. компаньона матрицы многочлена.
Конформное свойство
Коммутативные кольца разделенных комплексных чисел и двойственных чисел присоединяются к обычным комплексным числам как кольца, выражающие угол и «вращение». В каждом случае экспоненциальное отображение, примененное к мнимой оси, производит изоморфизм между однопараметрическими группами в ( A , +) и в группе единиц ( U , ×): [5]
«Угол» y - это гиперболический угол , наклон или круговой угол в зависимости от основного кольца.
Показано, что дробно-линейные преобразования являются конформными отображениями с учетом их образующих : мультипликативного обращения z → 1 / z и аффинных преобразований z → az + b . Соответствие можно подтвердить, продемонстрировав, что все генераторы конформны. Перевод z → z + b - это изменение начала координат и не влияет на угол. Для того, чтобы видеть , что г → аз конформен, рассмотрит полярное разложение по и г . В каждом случае угол a добавляется к углу z, в результате чего получается конформная карта. Наконец, инверсия конформна, поскольку z → 1 / z отправляет
Смотрите также
- Дробно-линейное программирование
- Методы H-бесконечности в теории управления
Рекомендации
- ^ NJ Янг (1984) " Дробно- линейные преобразования в кольцах и модулях" , Линейная алгебра и ее приложения 56: 251–90
- ^ CL Siegel (A. Shenitzer & M. Tretkoff, переводчики) (1971) Темы теории сложных функций , том 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X
- ^ Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, «Обзор LFT, LMI и mu», (1991) Труды 30-й конференции по принятию решений и контролю [1]
- ^ Хуан К. Кокберн, "Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью" [2]
- ^ Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R) . Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. DOI : 10,1142 / P835 . ISBN 978-1-84816-858-9. Руководство по ремонту 2977041 .
- Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков (1984) Современная геометрия - методы и приложения , том 1, глава 2, §15 Конформные преобразования евклидова и псевдоевклидова пространств нескольких измерений, Springer-VerlagISBN 0-387-90872-2 .
- Джеффри Фокс (1949) Элементарная теория гиперкомплексной переменной и теория конформного отображения в гиперболической плоскости , магистерская диссертация, Университет Британской Колумбии .
- PG Gormley (1947) "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской Ирландской Академии , Раздел A 51: 67–85.
- AE Motter & MAF Rosa (1998) "Гиперболическое исчисление", Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда 8 (1): 109–28, §4 Конформные преобразования, стр. 119.
- Цурусабуро Такасу (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR14282
- Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страницы 130 и 157, Academic Press